微专题六 圆—2021年《三步冲刺中考•数学》（广东专版）之第1步小题夯基础

【知识梳理】

知识点一：圆的有关概念及性质

(1)圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,圆既是轴对称图形也是中心对称图形.

(2)圆具有对称性和旋转不变性.

(3)不共线的三点确定一个圆.

(4)圆上各点到圆心的距离都等于半径.

(5)圆上任意两点间的部分叫做弧,大于半圆周的弧称为优弧,小于半圆周的弧称为劣弧.

(6)连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.

(7)弧、弦、圆心角的关系

定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 

推论:在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也分别相等. 

知识点二：*垂径定理

(1)定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 

(2)推论1:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 

②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧. 

③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 

(3)推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等. 

注意:轴对称性是圆的基本性质,垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的,它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线.

知识点三：与圆有关的角及其性质

(1)圆心角:顶点在圆心,角的两边和圆相交的角叫做圆心角.

圆周角:顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.

(2)圆周角定理

定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 

推论:

①同弧或等弧所对的圆周角相等. 

②半圆(或直径)所对的圆周角是直径,90°的圆周角所对的弦是圆的直径. 

③圆内接四边形的对角互补. 

知识点四：圆周长、弧长计算

(1)半径为R的圆周长：C=πd=2πR. 

(2)半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长为l,则l=. 

知识点五：圆、扇形面积计算

(1)半径为R的圆面积S=

(2)半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇=或S扇=. 

知识点六：圆柱、圆锥的有关计算

(1)圆柱的侧面展开图是长方形,圆柱侧面积S=2πRh,全面积S=2πRh+2πR2(R表示底面圆的半径,h表示圆柱的高). 

(2)圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥侧面积S=πRl,全面积S=πRl+πR2(R表示底面圆的半径,l表示圆锥的母线). 

(3)圆柱的体积=底面积×高,即V=Sh=πR2h. 圆锥的体积=×底面积×高,即V=πR2h. 

知识点七：正多边形与圆

(1)正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形.

(2)圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

(3)正多边形的内角和=(n-2)·180°;

正多边形的每个内角= ; 

正多边形的周长=边长×边数;

正多边形的面积=×周长×边心距.

知识点八：点、线与圆的位置关系:

1. 如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么:

(1)点在圆外⇔d>r;

(2)点在圆上⇔d=r;

(3)点在圆内⇔d<r.

2.直线与圆的位置关系有三种:相离、相切和相交

3.切线的性质与判定

(1)切线的性质定理:

圆的切线垂直于经过切点的半径.

(2)切线的判定定理:

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 

4.*切线长定理

(1)切线长:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.

(2)定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.