考点23 与圆有关的位置关系—2021年《三步冲刺中考•数学》（广东专版）之第1步小题夯基础

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真题回顾

1．（2020•哈尔滨）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD，OA，若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为（ ）
A．25°B．20°C．30°D．35°
【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解析】∵AB为圆O的切线，
∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°，
∵∠ADC＝35°，
∴∠AOB＝2∠ADC＝70°，
∴∠ABO＝90°﹣70°＝20°．
故选：B．
2．（2020•重庆）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB．若∠B＝35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．65°B．55°C．45°D．35°
【分析】根据切线的性质得到∠OAB＝90°，根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
【解析】∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝90°﹣∠B＝55°，
故选：B．
3．（2020•重庆）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B＝20°，则∠AOB的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】根据切线的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解析】∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴∠A＝90°，
∵∠B＝20°，
∴∠AOB＝90°﹣20°＝70°，
故选：D．
4．（2020•金华）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65°B．60°C．58°D．50°
【分析】如图，连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．
【解析】如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB＝∠OFB＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∴∠EPF=∠EOF＝60°，
故选：B．
5．（2020•南京）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（ ）
A．（9，2）B．（9，3）C．（10，2）D．（10，3）
【分析】设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标．
【解析】设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，
则PE⊥y轴，PF⊥x轴，
∵∠EOF＝90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∵PE＝PF，PE∥OF，
∴四边形PEOF为正方形，
∴OE＝PF＝PE＝OF＝5，
∵A（0，8），
∴OA＝8，
∴AE＝8﹣5＝3，
∵四边形OACB为矩形，
∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB，
∴EG∥AC，
∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形，
∴CG＝AE＝3，EG＝OB，
∵PE⊥AO，AO∥CB，
∴PG⊥CD，
∴CD＝2CG＝6，
∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，
∵PD＝5，DG＝CG＝3，
∴PG＝4，
∴OB＝EG＝5+4＝9，
∴D（9，2）．
故选：A．
6．（2020•泰安）如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥AB．则∠BAC等于（ ）
A．20°B．25°C．30°D．50°
【分析】连接OA，根据切线的性质得到∠PAO＝90°，求出∠AOP，根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出∠BOC，根据圆周角定理解答即可．
【解析】连接OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO＝90°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝80°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∵OC∥AB，
∴∠BOC＝∠OBA＝50°，
由圆周角定理得，∠BAC=∠BOC＝25°，
故选：B．
7．（2020•台州）如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为 ．
【分析】由直径所对的圆周角为直角得∠AED＝90°，由切线的性质可得∠ADC＝90°，然后由同角的余角相等可得∠C＝∠ADE＝55°．
【解析】∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90°；
∵⊙O与BC相切，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠DAE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∵∠ADE＝55°，
∴∠C＝55°．
故答案为：55°．
8．（2020•泰州）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为 ．
【分析】当点O在点H的左侧⊙O与直线a相切时，OP＝PH﹣OH；当点O在点H的右侧⊙O与直线a相切时，OP＝PH+OH，即可得出结果．
【解析】∵直线a⊥b，O为直线b上一动点，
∴⊙O与直线a相切时，切点为H，
∴OH＝1cm，
当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示：
OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）；
当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示：
OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）；
∴⊙O与直线a相切，OP的长为3cm或5cm，
故答案为：3cm或5cm．
9．（2020•上海）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 ．
【分析】根据勾股定理得到AC＝10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，
则OE⊥AD，
∴OE∥CD，
∴△AOE∽△ACD，
∴，
∴，
∴AO，
如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，
则OF⊥BC，
∴OF∥AB，
∴△COF∽△CAB，
∴，
∴，
∴OC=，
∴AO=，
∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是故答案为：10．（2020•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝ ．
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP＝90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP＝54°，结合圆周角定理得出答案．
【解析】∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝36°，
∴∠AOP＝54°，
∴∠B∠AOP＝27°．
故答案为：27°．
模拟预测
1.(2020深圳福田一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C作△ABC外接圆☉O的切线,交AB的垂直
平分线于点D,AB的垂直平分线交AC于点E.若OE=2,AB=8,则CD= .
【分析】本题考查了切线的性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理,正确地识别图形是解题的关键.连接OC,设DE=DC=x,则OD=2+x,在Rt△OCD中根据勾股定理列方程即可得到结论.
【解析】如图,连接OC.
∵CD是☉O的切线,∴∠OCD=90°.
又∵∠ACB=90°,∴∠DCE=∠OCB.
∵OD⊥AB,∴∠AOE=90°,
∴∠A+∠B=∠A+∠AEO=90°,∴∠AEO=∠B.
∵OC=OB,∴∠OCB=∠B,∴∠AEO=∠OCB=∠DCE.
∵∠DEC=∠AEO,∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC.
设DE=DC=x,则OD=2+x.
∵OD2=OC2+CD2,∴(2+x)2=42+x2,解得x=3,∴CD=3
2.(2020广州模拟)平面内,☉O的半径为2,点P到O的距离为2,过点P可作☉O的切线条数为( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
【分析】过一点可以做出圆的两条切线，即可求解。
【解析】因为点P到O的距离为2，等于半径2，所以点P在圆上，所以过点P可作☉O的切线条数1条。
故选B
3.(2020中山模拟)如图,四边形ABCD是☉O的外切四边形,且AB=10,CD=15,则四边形ABCD的周长为 .
【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等求出AD+BC，根据四边形的周长公式计算即可。
【解析】∵AB=10,CD=15
∴AB+CD=10+15=25
∴四边形ABCD是☉O的外切四边形
∴AD+BC=AB+CD=25
所以四边形ABCD的周长为AD+BC+AB+CD=50
4.(2019佛山禅城一模如图,AB为☉O的直径,点C为圆上一点,将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D,连接CD,点D与圆心O不重合,∠BAC=26°,则∠DCA的度数为 ( )
A.38° B.40° C.42° D.44°
【解析】连接BC.
∵AB是直径,∴∠ACB=90°,又∵∠BAC=26°,
∴∠B=90°-∠BAC=90°-26°=64°.
根据翻折的性质, 所对的圆周角为∠B, 所对的圆周角为∠ADC,
∴∠ADC+∠B=180°,∴∠ADC=180°-64°=116°.
在△ADC中,∠BAC=26°,∠ADC=116°,
∴∠DCA=180°-116°-26°=38°
故选A.
5.(2019广州荔湾一模)如图,AB为半圆O的直径,AD,BC分别切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,连接OD,OC.下列结论:①∠DOC=90°,②AD+BC=AB,③S梯形ABCD=CD·OA,④BO2·S△AOD=BC2·S△BOC,其中正确的结论有 (填序号).
【解析】连接OE,如图所示:

∵AD与圆O相切,DC与圆O相切,BC与圆O相切,
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°,DA=DE,CE=CB,
∴AD∥BC.
在Rt△ADO和Rt△EDO中,
∴Rt△ADO≌Rt△EDO(HL),
∴∠AOD=∠EOD.
同理,Rt△CEO≌Rt△CBO,∴∠EOC=∠BOC.
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°,
∴2(∠DOE+∠EOC)=180°,
即∠DOC=90°,故①正确.
由①得AD=ED,CE=CB,
∴AD+BC=DE+EC=CD,故②错误.
S梯形ABCD=AB·(AD+BC)=AB·CD=OA·CD,故③正确.
∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°,
∴∠ADO=∠COB,
又∵∠A=∠B=90°,
∴△AOD∽△BCO,∴==,
∴S△AOD·BC2=S△BOC·BO2,故④错误.
故正确的结论为①③.