初中数学北师大版九年级下册1 二次函数优秀单元测试达标测试

这是一份初中数学北师大版九年级下册1 二次函数优秀单元测试达标测试，共16页。试卷主要包含了抛物线y=2+5的顶点坐标是，已知二次函数的图象等内容，欢迎下载使用。

1．二次函数y=-x2+2x+2化为y=a（x-h）2+k的形式，下列正确的是( )
A. y=-（x-1）2+2 B. y=-（x-1）2+3 C. y=（x-2）2+2 D. y=（x-2）2+4
2．抛物线y=（x-2）2+5的顶点坐标是( )
A. （-2，5） B. （2，5） C. （-2，-5） D. （2，-5）
3．把抛物线y=－x2向左平移1个单位长度，然后向上平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A.y=－(x－1)²－3 B.y=－(x+1)²－3 C.y=－(x－1)²+3 D.y=－(x+1)²+3
4．小明从图所示的二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象中，观察得出了下面四条信息：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ＜0；③ SKIPIF 1 < 0 ；④方程 SKIPIF 1 < 0 必有一个根在－1到0之间．你认为其中正确信息的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知二次函数的图象（﹣0.7≤x≤2）如图所示、关于该函数在所给自变量x的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值1，有最大值2 B. 有最小值-1，有最大值1
C. 有最小值-1，有最大值2 D. 有最小值-1，无最大值
6．二次函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，自变量x与函数y的对应值如下表：
则下列说法正确的是( )
A. 抛物线的开口向下 B. 当x＞ SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而增大
C. 二次函数的最小值是 D. 抛物线的对称轴是x= SKIPIF 1 < 0
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
9．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．9
10．已知二次函数y=kx2﹣5x﹣5的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k>- SKIPIF 1 < 0 B．k- SKIPIF 1 < 0 且k≠0 C．k SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 D．k>- SKIPIF 1 < 0 且k≠0
11．已知抛物线y=x2﹣（k+1）x+4的顶点在x轴上，则k的值是 ．
12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x=﹣1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是 ．
13．利用图象法求方程的解，体现了数形结合的方法，它是将方程的解看成两个函数图象交点的横坐标．若关于x的方程x2+a﹣=0（a＞0）只有一个整数解，则a的值等于 ．
14．已知抛物线p：y= SKIPIF 1 < 0 +bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y= SKIPIF 1 < 0 +2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为 ．
15．已知：关于x的方程：mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．
（1）求证：无论m取何值时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式．
16．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣4，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，直线y=mx+n经过A（﹣4，0）、C（0，3）两点．
（1）写出方程ax2+bx+c=0的解；
（2）若ax2+bx+c＞mx+n，写出x的取值范围．
17．已知抛物线y=x2﹣2x﹣8．
（1）用配方法把y=x2﹣2x﹣8化为y=（x﹣h）2+k形式；
（2）并指出：抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴方程是 ，抛物线与x轴交点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大．
18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+1的对称轴是直线x=1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，请直接写出n的取值范围；
（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，当﹣1＜p＜2时，点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，求k的取值范围．
19．根据下列要求，解答相关问题．
（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集的过程．
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象（只画出图象即可）．
②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为 ；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y＞0的部分．
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集为﹣2＜x＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集．
20．若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2为y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的取值范围．
21．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
22．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．点P是x轴上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求C、D两点坐标及△BCD的面积；
（3）若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD= SKIPIF 1 < 0 S△BCD，求点P的坐标．
23．如图1，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，点P、Q同时从点B出发，以相同的速度分别沿折线B→A→C、射线BC运动，连接PQ．当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设BQ=x，△BPQ与△ABC重叠部分的面积为S．如图2是S关于x的函数图象（其中0≤x≤8，8＜x≤m，m＜x≤16时，函数的解析式不同）．
（1）填空：m的值为 ；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）请直接写出△PCQ为等腰三角形时x的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，﹣4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
评卷人
得分
一、选择题
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
时间x（天）
1≤x＜50
50≤x≤90
售价（元/件）
x+40
90
每天销量（件）
200﹣2x
参考答案
1．B
2．B
3．D
4．C
5．C
6．D
7.B
8．A
9．B．
10．B
11．3或﹣5．
12．x1=1，x2=﹣3．
13．3．
14．y= SKIPIF 1 < 0 ﹣2x﹣3.
15．解：(1)、①当m=0时，原方程可化为x﹣2=0，解得x=2；②当m≠0时，方程为一元二次方程，
△=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2） =m2+2m+1 =（m+1）2≥0，故方程有两个实数根；
故无论m为何值，方程恒有实数根．
(2)、∵二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2，
∴ SKIPIF 1 < 0 =2， 整理得，3m2﹣2m﹣1=0， 解得m1=1，m2=﹣ SKIPIF 1 < 0 ．
则函数解析式为y=x2﹣2x或y=﹣ SKIPIF 1 < 0 x2+2x﹣ SKIPIF 1 < 0 ．
16．解：(1)、根据一元二次方程的解就是抛物线与x轴的交点的横坐标解答即可；(2)、确定出抛物线在直线上方部分的x的取值即可．
试题解析：(1)、∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣4，0）、B（1，0），∴方程ax2+bx+c=0的解为x1=﹣4，x2=1；
(2)、由图可知，ax2+bx+c＞mx+n时，﹣4＜x＜0．
17．解：(1)、y=x2﹣2x﹣8=x2﹣2x+1﹣1﹣8 =（x﹣1）2﹣9．
(2)、由(1)知，抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2﹣9， ∴抛物线的顶点坐标是（1，﹣9）
抛物线的对称轴方程是x=1 当y=0时， （x﹣1）2﹣9=0， 解得x=﹣2或x=4，
∴抛物线与x轴交点坐标是（﹣2，0），（4，0）； ∵该抛物线的开口向上，对称轴方程是x=1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
18．解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，∴x=﹣=1．
解得：m=1．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x．
（2）将x=3代入抛物线的解析式得y=﹣32+2×3=﹣3．
将y=﹣3代入得：﹣x2+2x=﹣3．解得：x1=﹣1，x2=3．
∵a=﹣1＜0，∴当n＜﹣1或n＞3时，y1＜y2．
（3）设点M关于y轴对称点为M′，则点M′运动的轨迹如图所示：
∵当P=﹣1时，q=﹣（﹣1）2+2×（﹣1）=﹣3．∴点M关于y轴的对称点M1′的坐标为（1，﹣3）．
∵当P=2时，q=﹣22+2×2=0，∴点M关于y轴的对称点M2′的坐标为（﹣2，0）．
①当k＜0时，∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，∴﹣2k﹣4≤0．
解得：k≥﹣2．
②当k＞0时，∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，
∴k﹣4≤﹣3．解得；k≤1．
∴k的取值范围是﹣2≤k≤1．
19．解：①图所示：
；
②方程﹣2x2﹣4x=0即﹣2x（x+2）=0，
解得：x1=0，x2=﹣2；
则方程的解是x1=0，x2=﹣2，
图象如图1；
③函数y=x2﹣2x+1的图象是：
当y=4时，x2﹣2x+1=4，解得：x1=3，x2=﹣1．
则不等式的解集是：x≥3或x≤﹣1．
20．解：(1)、设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k， 当a=2，h=3，k=4时，
二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4． ∵2＞0， ∴该二次函数图象的开口向上．
当a=3，h=3，k=4时， 二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4． ∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．
∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，
∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．
∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．
(2)、∵y1的图象经过点A（1，1）， ∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1． 整理得：m2﹣2m+1=0． 解得：m1=m2=1．
∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1， ∴y1+y2=2x2﹣4x+3+x2+bx+c=3x2+（b﹣4）x+（c+3），
∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”， ∴y1+y2=3（x﹣1）2+1=3x2﹣6x+4， ∴函数y2的表达式为：y2=x2﹣2x+1．
∴y2=x2﹣2x+1=（x﹣1）2， ∴函数y2的图象的对称轴为x=1． ∵1＞0，
∴函数y2的图象开口向上． 当0≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上， ∴y2的取值范围为0≤y2≤4．
21．解：(1)、当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，
当50≤x≤90时，
y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，
综上所述：y= SKIPIF 1 < 0 ；
(2)、当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；
(3)、当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，
因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天； 当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，
因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，
所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．
22．解：(1)、∵抛物线的顶点为A（1，4）， ∴设抛物线的解析式y=a（x﹣1）2+4，
把点B（0，3）代入得，a+4=3， 解得a=﹣1， ∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4；
(2)由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4； 令y=0，则0=﹣（x﹣1）2+4，
∴x=﹣1或x=3， ∴C（﹣1，0），D（3，0）； ∴CD=4，∴S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；
(3)由(2)知，S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；CD=4， ∵S△PCD=S△BCD，
∴S△PCD=CD×|yP|= SKIPIF 1 < 0 ×4×|yP|=3， ∴|yP|= SKIPIF 1 < 0 ， ∵点P在x轴上方的抛物线上，
∴yP＞0， ∴yP= SKIPIF 1 < 0 ， ∵抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4； ∴ SKIPIF 1 < 0 =﹣（x﹣1）2+4，
∴x=1± SKIPIF 1 < 0 ， ∴P（1+ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），或P（1﹣ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）．
考点：二次函数综合题．
23．解：（1）如图1中，作AM⊥BC，PN⊥BC，垂足分别为M，N．
由题意AB=AC=8，∠A=120°，
∴∠BAM=∠CAM=60°，∠B=∠C=30°，
∴AM= SKIPIF 1 < 0 AB=4，BM=CM= SKIPIF 1 < 0 ，
∴BC= SKIPIF 1 < 0 ，
∴m=BC= SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）①当0≤m≤8时，如图1中，
在RT△PBN中，∵∠PNB=90°，∠B=30°，PB=x，
∴PN= SKIPIF 1 < 0 x．
s= SKIPIF 1 < 0 •BQ•PN= SKIPIF 1 < 0 •x• SKIPIF 1 < 0 •x= SKIPIF 1 < 0 ．
②当 SKIPIF 1 < 0 ＜x≤16时，如图2中，
在RT△PBN中，∵PC=16﹣x，∠PNC=90°，∠C=30°，
∴PN= SKIPIF 1 < 0 PC=8﹣ SKIPIF 1 < 0 x，
∴s= SKIPIF 1 < 0 •BQ•PN= SKIPIF 1 < 0 •x•（8﹣ SKIPIF 1 < 0 x）= SKIPIF 1 < 0 +4x．
③当 SKIPIF 1 < 0 ＜x≤16时，
s= SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 •（8﹣ SKIPIF 1 < 0 x）= SKIPIF 1 < 0 ，
综上，当0≤m≤8时，s = SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ＜x≤16时，s= SKIPIF 1 < 0 +4x；当 SKIPIF 1 < 0 ＜x≤16时，s= SKIPIF 1 < 0 .
（3）①当点P在AB上，点Q在BC上时，△PQC不可能是等腰三角形．
②当点P在AC上，点Q在BC上时，PQ=QC，
∵PC= SKIPIF 1 < 0 QC，
∴16﹣x= SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ﹣x），
∴x= SKIPIF 1 < 0 +4．
③当点P在AC上，点Q在BC的延长线时，PC=CQ，
即16﹣x=x﹣ SKIPIF 1 < 0 ，
∴x=8+ SKIPIF 1 < 0 ．
∴△PCQ为等腰三角形时x的值为 SKIPIF 1 < 0 +4或8+ SKIPIF 1 < 0 ．
考点：动点问题的函数图象．
24．（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣3x﹣4；
（2）存在，P点的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ，﹣2）；
（3）此时P点的坐标为：（2，﹣6），四边形ABPC的面积的最大值为18．
解：（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
试题解析：（1）将B、C两点的坐标代入得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ；
所以二次函数的表达式为：y=x2﹣3x﹣4；
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；
设P点坐标为（x，x2﹣3x﹣4），PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；
如图1，连接PP′，则PE⊥CO于E，
∵C（0，﹣4），
∴CO=4，
又∵OE=EC，
∴OE=EC=2
∴y=﹣2；
∴x2﹣3x﹣4=﹣2
解得：x1= SKIPIF 1 < 0 ，x2= SKIPIF 1 < 0 （不合题意，舍去），
∴P点的坐标为（ SKIPIF 1 < 0 ，﹣2）；
（3）如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣3x﹣4），设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴直线BC的解析式为：y=x﹣4，
则Q点的坐标为（x，x﹣4）；
当0=x2﹣3x﹣4，
解得：x1=﹣1，x2=4，
∴AO=1，AB=5，
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
= SKIPIF 1 < 0 ABOC+ SKIPIF 1 < 0 QPBF+QPOF
=×5×4+（4﹣x）[x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）]+ x[x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）]
=﹣2x2+8x+10
=﹣2（x﹣2）2+18
当x=2时，四边形ABPC的面积最大，
此时P点的坐标为：（2，﹣6），四边形ABPC的面积的最大值为18．