北师大版九年级下册1 二次函数优秀单元测试课时练习

2021年北师大版数学九年级下册

《二次函数》单元测试

1.在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）

A．y=2x2      B．y=2x﹣2      C．y=ax2      D．

2.已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（　　）

A．x≥1         B．x≥0            C．x≥﹣1          D．x≥﹣2

3.下列抛物线中，与抛物线y=x2﹣2x+4具有相同对称轴的是（　　）

A．y=4x2+2x+1 B．y=2x2﹣4x+1 C．y=2x2﹣x+4 D．y=x2﹣4x+2

4.将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（　　）

A．（3，4）      B．（1，2）       C．（3，2）       D．（1，4）

5.在二次函数y=ax2+bx+c中，如果a＞0，b＜0，c＞0，那么它的图象一定不经过（　　）

A．第一象限       B．第二象限     C．第三象限      D．第四象限

6.已知二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（　　）

A．﹣1          B．2            C．﹣3            D．5

7.在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+b的大致图象是（　　）

8.抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：

9.从上表可知，下列说法中，错误的是（　　）

A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0） 

B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）

C．抛物线的对称轴是直线x=0               

D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的

10. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：

①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜ ⑤b＞c．

其中含所有正确结论的选项是（　　）

A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤

11.如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为　                       　．

   第11题图               第12题图            第14题图

12. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是                         　．

13.直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为　                     　．

14.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出以下结论：①abc＜0 ②b2﹣4ac＞0 ③4b+c＜0 ④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，

其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）　                　．

15.将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．

求：（1）点B、C、D坐标；

（2）△BCD的面积．

16.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；

（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．

17.平面直角坐标系xOy中，对称轴平行于y轴的抛物线过点A（1，0）、B（3，0）和C（4，6）；

（1）求抛物线的表达式；

（2）现将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位，再沿y轴方向平移k个单位，若所得抛物线与x轴交于点D、E（点D在点E的左边），且使△ACD∽△AEC（顶点A、C、D依次对应顶点A、E、C），试求k的值，并注明方向．

18.某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？

（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？

19.如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．

20.如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）

（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．

（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．

21.自主学习，请阅读下列解题过程．

解一元二次不等式：x2﹣5x＞0．

解：设x2﹣5x=0，解得：x1=0，x2=5，则抛物线y=x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=x2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0，或x＞5．

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的　    　和　          　．（只填序号）

①转化思想     ②分类讨论思想    ③数形结合思想

（2）一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为　       ．

（3）用类似的方法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．

22.如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

23.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．

（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

参考答案

1.A 

解：A、是二次函数，故A符合题意；

B、是一次函数，故B错误；

C、a=0时，不是二次函数，故C错误；

D、a≠0时是分式方程，故D错误；

故选：A．

2.A

解：

∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1，

∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，

∴当x≥1时，y随x的增大而减小，

故选A．

3.B.

解：抛物线y=x2﹣2x+4的对称轴为x=1；

A、y=4x2+2x+1的对称轴为x=﹣，不符合题意；

B、y=2x2﹣4x+1的对称轴为x=1，符合题意；

C、y=2x2﹣x+4的对称轴为x=，不符合题意；

D、y=x2﹣4x+2的对称轴为x=2，不符合题意，

故选B．

4.A.

解：∵抛物线y=ax2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1），抛物线y=a（x﹣1）2的顶点坐标是（1，0），

∴将抛物线y=ax2﹣1向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=a（x﹣1）2，

∴将点A（2，3）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点A′的坐标为（3，4），

故选：A．

5.C.

解：①∵a＞0、c＞0，

∴该抛物线开口方向向上，且与y轴交于正半轴；

②∵a＞0，b＜0，

∴二次函数y=ax2+bx+c的函数图象的对称轴是x=﹣＞0，

∴二次函数y=ax2+bx+c的函数图象的对称轴在第一象限；

综合①②，二次函数y=ax2+bx+c的图象一定不经过第三象限．

故选C．

6.A.

解：∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），

∴a+b﹣1=1，

∴1﹣a﹣b=﹣1．

故选A．

7.C.

解：A、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向上，故A错误；

B、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故B错误；

C、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故C正确；

D、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，b＞0，此时抛物线y=ax2+b的顶点的纵坐标大于零，故D错误；

故选：C．

8.CC.

解：当x=﹣2时，y=0，

∴抛物线过（﹣2，0），

∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），故A正确；

当x=0时，y=6，

∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确；

当x=0和x=1时，y=6，

∴对称轴为x=，故C错误；

当x＜时，y随x的增大而增大，

∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；

故选C．

9.A.

解：∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，

∴

解得6≤c≤14，

故选A．

10. D.

解：①∵函数开口方向向上，

∴a＞0；

∵对称轴在y轴右侧

∴ab异号，

∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，

∴c＜0，

∴abc＞0，

故①正确；

②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，

∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），

∴当x=2时，y＜0，

∴4a+2b+c＜0，

故②错误；

③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），

∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，

∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，

∵对称轴为直线x=1

∴=1，即b=﹣2a，

∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，

∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0

∵8a＞0

∴4ac﹣b2＜8a

故③正确

④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，

∴﹣2＜c＜﹣1

∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，

∴＞a＞；

故④正确

⑤∵a＞0，

∴b﹣c＞0，即b＞c；

故⑤正确；

故选：D．

11. P＞Q．

解：∵抛物线的开口向下，

∴a＜0，

∵＞0，

∴b＞0，

∴2a﹣b＜0，

∵=1，

∴b+2a=0，

x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．

∴﹣b﹣b+c＜0，

∴3b﹣2c＞0，

∵抛物线与y轴的正半轴相交，

∴c＞0，

∴3b+2c＞0，

∴p=3b﹣2c，

Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c，

∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b＜0

∴P＞Q，

故答案为：P＞Q．

13. （0，4）．

 解：∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，

∴kx+b=，

化简，得  x2﹣4kx﹣4b=0，

∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，

又∵OA⊥OB，

∴，

解得，b=4，

即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4），

故答案为：（0，4）．

14. 解：由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，

∴abc＞0，故①错误．

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，故②正确．

∵抛物线对称轴为x=﹣1，与x轴交于A（﹣3，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），

∴a+b+c=0，﹣=﹣1，

∴b=2a，c=﹣3a，

∴4b+c=8a﹣3a=5a＜0，故③正确．

∵B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，

又点C离对称轴近，

∴y1，＜y2，故④错误，

由图象可知，﹣3≤x≤1时，y≥0，故⑤正确．

∴②③⑤正确，

故答案为②③⑤．

15. 解：（1）抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是y=x2﹣4x+4﹣9，即y=x2﹣4x﹣5．

y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，

则D的坐标是（2，﹣9）．

在y=x2﹣4x﹣5中令x=0，则y=﹣5，

则C的坐标是（0，﹣5），

令y=0，则x2﹣4x﹣5=0，

解得x=﹣1或5，

则B的坐标是（5，0）；

（2）过D作DA⊥y轴于点A．

则S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC=（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．

16. 解：（1）由题意解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2．

（2）∵y=x2﹣x+2=（x﹣1）2+．

∴顶点坐标（1，），

∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3），

∴S△BDC=S△BDH+S△DHC==3．

（3）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，

当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，

∴b=，

当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3，

当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5，

∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，

∴＜b≤3．

17. 解：（1）∵抛物线过点A（1，0）、B（3，0），

∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），

∵C（4，6），

∴6=a（4﹣1）（4﹣3），

∴a=2，

∴抛物线的解析式为y=2（x﹣1）（x﹣3）=2x2﹣8x+6；

（2）如图，设点D（m，0），E（n，0），

∵A（1，0），

∴AD=m﹣1，AE=n﹣1

由（1）知，抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2；

∴将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位，得到抛物线的解析式为y=2（x﹣8）2﹣2；

∴再沿y轴方向平移k个单位，得到的抛物线的解析式为y=2（x﹣8）2﹣2﹣k；

令y=0，则2（x﹣8）2﹣2﹣k=0，

∴2x2﹣32x+126﹣k=0，

根据根与系数的关系得，

∴m+n=16，mn=63﹣，

∵A（1，0），C（4，6），

∴AC2=（4﹣1）2+62=45，

∵△ACD∽△AEC，

∴，

∴AC2=AD•AE，

∴45=（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1，

∴45=63﹣﹣16+1，

∴k=6，

即：k=6，向下平移6个单位．

18. 解：（1）y=300+30（60﹣x）=﹣30x+2100．

（2）设每星期利润为W元，

W=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30（x﹣55）2+6750．

∴x=55时，W最大值=6750．

∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．

（3）由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58，

当x=52时，销售300+30×8=540，

当x=58时，销售300+30×2=360，

∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．

19. 解：（1）∵抛物线y=（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），

∴0=1+m，

∴m=﹣1，

∴抛物线解析式为y=（x+2）2﹣1=x2+4x+3，

∴点C坐标（0，3），

∵对称轴x=﹣2，B、C关于对称轴对称，

∴点B坐标（﹣4，3），

∵y=kx+b经过点A、B，

∴，解得，

∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1，

（2）由图象可知，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤﹣4或x≥﹣1．

20.解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，

解得：m=2，

∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点坐标为：（1，4）．

（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

∵点C（0，3），点B（3，0），

∴，

解得：，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，

当x=1时，y=﹣1+3=2，

∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．

21. 解：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③；

故答案为：①，③；

（2）由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，

此时y＜0，即x2﹣5x＜0，

∴一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为：0＜x＜5；

故答案为：0＜x＜5．

（3）设x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=3，x2=﹣1，

∴抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．

画出二次函数y=x2﹣2x﹣3的大致图象（如图所示），

由图象可知：当x＜﹣1，或x＞3时函数图象位于x轴上方，

此时y＞0，即x2﹣2x﹣3＞0，

∴一元二次不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为：x＜﹣1，或x＞3．

22. 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，

∴，解得．

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；

（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，

∴其对称轴为直线x==2，

连接BC，如图1所示，

∵B（5，0），C（0，﹣），

∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

∴，解得，

∴直线BC的解析式为y=x﹣，

当x=2时，y=1﹣=﹣，

∴P（2，﹣）；

（3）存在．

①     当点N在x轴下方时，

∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），

∴N1（4，﹣）；

②当点N在x轴上方时，

如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，

在△AN2D与△M2CO中，

∴△AN2D≌△M2CO（ASA），

∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．

∴x2﹣2x﹣=，

解得x=2+ 或x=2﹣，

∴N2（2+，），N3（2﹣，）．

综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．

23. 解：（1）依题意得：，解之得：，

∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3

∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），

∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，

得，解之得：，

∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；

（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．

把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，

∴M（﹣1，2），

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；

（3）设P（﹣1，t），

又∵B（﹣3，0），C（0，3），

∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，

①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；

②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，

③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=；

综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．