八年级下册17.1 勾股定理优秀同步达标检测题

2021年人教版八年级数学下册

《勾股定理》单元培优卷

一、选择题

1.如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（       ）

  A.2个                          B.3个                         C.4个                          D.6个

2.在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（     ）

  A.10                       B.8                      C.6或10                       D.8或10

3.如图,在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（    ）

  A.75                         B.100                        C.120                            D.125

4.已知等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为（      ）

   A.12cm       B.       C.        D.

5.如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（      ）

  A.50       B.62              C.65         D.68 

6.三角形的两边长为6和8，要使这个三角形为直角三角形，则第三边长为(      )

A.9                B.10              C.2或9            D.2或10

7.在△ABC中，若AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是 （     ）

    A.42        B.32        C.42或32         D.37或33

8.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中SA=10，SB=8，SC=9，SD=4，则S=（　　）

A.25                   B.31                      C.32                       D.40

9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4，BC=2时，则阴影部分的面积为（　　）

A．4        B．4π       C．8π           D．8

10.如图1,分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形,面积分别为S1、S2、S3；如图2,分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6.其中S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则S3+S4=(          )

A.86      B.64          C.54        D.48

11.已知△ABC的三边分别长为a、b、c，且满足(a-17)2+｜b-15｜+c2-16c+64=0，则△ABC是(  )．

A．以a为斜边的直角三角形         B．以b为斜边的直角三角形

C．以c为斜边的直角三角形         D．不是直角三角形

12.下列各组线段中的三个长度：

①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a(a＞0）；

⑤m2﹣n2，2mn，m2+n2(m，n为正整数，且m＞n）.

其中可以构成直角三角形的有(　　）

A．5组     B．4组      C．3组      D．2组

二、填空题

13.如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样的点C共　  　个．

14.如图，已知图中每个小方格的边长为1，则点C到AB所在直线的距离等于　　.

15.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，

面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于       .                                         

16.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，沿DE折叠使点A与点C刚好重合，

则CD的长为        ．

17.已知a、b、c是△ABC三边长，且满足关系式+|a﹣b|=0，则△ABC形状为　　 ．

18.在△ABC中，AB=13 cm，AC=20 cm，BC边上的高为12 cm，则△ABC的面积为    cm2.

三              、解答题

19.已知△ABC三边长a,b,c满足a2+b2+c2-12a-16b-20c+200=0，请判断△ABC的形状并说明理由.

20.已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4， 试判定△ABC的形状．

21.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c

根据你发现的规律，请写出

（1）当a=19时，求b、c的值；

（2）当a=2n+1时，求b、c的值；

（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由.

22.我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．

    观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．

（1）请你根据上述的规律写出下两组勾股数：11、     ； 13、       ；

（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别表示为         和          ，请用所学知识说明它们是一组勾股数．

23.如图，在△ABC中，D是BC上一点，且满足AC=AD，请你说明AB2=AC2+BC·BD.

参考答案

1.D

2.C

3.C

4.A

5.D

6.C

7.B

8.A．

9.B.

10.C

11.答案为：A.

12.答案为：B.

13.答案为：4．

14..

15.答案为：2π.

16.答案为：3.125．

17.答案为：等腰直角三角形.

18.答案为：66或126.

19.解：a=6, b=8, c=10, 直角三角形

20.解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4  ，
∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2=0，
∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）=0，
∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=0，
∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）=0
得：a2+b2=c2或a=b，或者a2+b2=c2且a=b，
即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．

21.解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b=1

∵a=19，a2+b2=c2，

∴192+b2=（b+1）2，

∴b=180，

∴c=181；

（2）通过观察知c﹣b=1，

∵（2n+1）2+b2=c2，

∴c2﹣b2=（2n+1）2，

（b+c）（c﹣b）=（2n+1）2，∴b+c=（2n+1）2，

又c=b+1，

∴2b+1=（2n+1）2，

∴b=2n2+2n，c=2n2+2n+1；

22.解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，

∴4=，12=，24=…

∴11，60，61；13，84，85； 故答案为：60，61；84，85；

（2）后两个数表示为和，

∵a2+（）2=a2+==，=，

∴a2+（）2=，

又∵a≥3，且a为奇数，∴由a，，三个数组成的数是勾股数．  

故答案为：，．

23.证明：作AE⊥BC于E，如图所示：

则∠AEB=∠AEC=90°，

由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，AE2=AD2-DE2，

∵AC=AD，AE⊥DC，

∴DE=CE，

∴AB2=AC2+BE2-DE2=AC2+(BE+DE)(BE-DE)=AC2+BC•BD．