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人教版八年级下册17.1 勾股定理精品当堂检测题
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这是一份人教版八年级下册17.1 勾股定理精品当堂检测题，共10页。试卷主要包含了连接BB',交AC于点G等内容，欢迎下载使用。
第十七章：勾股定理
学校： 姓名： 班级： 考号：
一、选择题 (每小题3分，共30分）
第6题图
第5题图
第2题图
第1题图
1. 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为( )
A. 1.8 B. 2.4 C. 3.2 D. 3.6
2. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在A处，点D落在DD'处.若AB=3，BC=9，则折痕EF的长为( )
A. 10 B. 4 C. 5 D. 210
3. 将下列各组数据作为三角形的边长，能够组成直角三角形的是( )
A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 2，3，4 D. 1，2，3
4. 若三角形三边长分别是6，8，10，则它最长边上的高为( )
A. 6 B. 4.8 C. 2.4 D. 8
5. 如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于M,若CM=5,则CE2+CF2等于( )
A. 75 B. 100 C. 120 D. 125
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为 ( )
A. 2a B. 22a C. 3a D. 433a
7. 一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰,底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据( )
A. 13，10，10 B. 13，10，12 C. 13，12，12 D. 13，10，11
8. 下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的为( )
A. 三个角的比为1:2:3 B. 三条边满足关系a2=b2-c2
C. 三条边的比为2:3:4 D. 三个角满足关系∠B+∠C=∠A
9.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列各组数据中,能作为一个智慧三角形三边长的一组是 ( )
A. 1,2,3 B. 1,1,2 C. 1,1,3 D. 1,2,3
第10题图
10. [2015·黑龙江绥化中考]如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,若点M,N分别是线段AC,AB上的两个动点,则BM+MN的最小值是 ( )
A. 10 B. 8 C. 5 3 D. 6
二、填空题 (每小题4分，共32分）
第11题图
第18题图
第17题图
第15题图
第16题图
11. 如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是_________.
12. 若直角三角形的两直角边长为a,b，且满足a2-6a+9+|b-4|=0则该直角三角形的斜边长为______.
13. 观察勾股数：
ab c
3=1+24=2×1×2 5
5=2+312=2×2×313
7=3+424=2×3×425
9=4+540=2×4×541
………
当a=2n+1时，b=____，c=____.
14. 如果ΔABC的三边长分别为a、b、c，且满足关系式(a+2b-60)2+|b-18|+(c-30)2=0，那么ΔABC是____三角形.
15. 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′ 恰为等腰三角形，则DB′ 的长为 .
16. 如图，D为△ABC的边BC上一点.已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为____.
17. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M,N分别在AB,AD边上，若AM︰MB=AN︰ND=1︰2.则cos∠MCN=______.
18.如图,在矩形ABCD中,已知AB=6,BC=8,BD的垂直平分线交AD于点E,交BC于点F,则△BOF的面积为 .
三、解答题 (19~22每题6分；23~24题每题7分；25~26题每题10分)
19. 如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B到C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米到D点时，滑杆顶端A下滑到E点，求AE的长.
20. 如图，在△ABC中，AB=AC，且周长为16，底边上的高AD=4，求这个三角形各边的长.
21. 欲在一块三角形的废地上挖一条水渠，如图所示，测得AC=80米，BC=60米，AB=100米.若线段CD是一条水渠，且点D在边AB上，已知水渠的造价为100元/米.则点D距点A多远时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
22. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，垂足为E，AD⊥CE，垂足为D.
(1)直线BE与AD的位置关系是 ；BE与AD之间的距离是线段 的长；
(2)若AD=6 cm，BE=2 cm，求BE与AD之间的距离及AB的长.
23. 已知A，B，C为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50=10a+6b+8c，试判断△ABC的形状.
24. 如图所示,MN为我国领海边界线,即MN以西为我国领海,以东为公海.上午9时50分,我反走私艇A发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A,C两艇的距离是13海里,A,B两艇的距离是5海里,反走私艇B离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海?
25. 细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题.
OA22=(1)2+12=2,S1=12;
OA32=12+(2)2=3,S2=22;
OA42=12+(3)2=4,S3=32…
(1)推算出OA10= ;
(2)若一个三角形的面积是5,则它是第 个三角形;
(3)用含n(n是正整数)的等式表示上述面积变化规律：
(4)求出S12+S22+S32+…+S102的值.
26. 如图所示,在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M,N,使∠MCN=45°,设AM=a,MN=c,BN=b,试判断以c,a,b为边长的三角形的形状.
参考答案
1. 【答案】D【解析】连接BF，交AE与点H，由折叠的性质可得FE=BE，BF⊥AE，
∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又Rt△ABE中，AB=4，由勾股定理得AE=AB2+BE2=5，∴BH=AB∙BEAE=125，则BF=245，在△BFC中，FE=BE=EC，∴∠BFC=90°， ∴CF=BC2-BF2=62-2452=185.故选D.
2. 【答案】A【解析】由翻折可知AE=EC,设BE=x，则AE=9-x在Rt△ABE中，根据勾股定理得： 3²+x²=(9-x)²，解得x=4，∴AE=5.在△ABE和△AD′F中，AB=AD′, ∠BAE=∠FAD′, ∠B=∠D′,∴△ABE≌△AD′F(AAS).∴AF=AE=5.过点F作FH⊥BC交BC于点H,则FH=3，EH=5-4=1.
在△EFH中，根据勾股定理得EF=12+32=10.故选A.
3. 【答案】B【解析】A,∵42+52=41≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；B,∵ 1.52+22=6.25=2.52，∴能构成直角三角形，故本选项正确；C,∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；D,∵12+(2)2=3≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项错误，故选B.
4. 【答案】B【解析】因为62+82=102，由勾股定理的逆定理判断出该三角形是直角三角形，所以斜边上的高=6×810=4.8.
5. 【答案】B【解析】∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12(∠ACB+∠ACD)=90°，∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=5，即EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100.故选B.
6. 【答案】B【解析】因为CD⊥AB,CD=DE=a,所以由勾股定理得,CE=2a,因为点E是线段AB的中点,∠ACB=90°,根据直角三角形的性质可得AB=2CE=22a,故选B.
7. 【答案】B【解析】如图，根据题意画出图形，可知腰AB,高AD和底边BC的一半构成一个直角三角形.当AB2=AD2+(12BC)2时，该三角形为直角三角形，各选项只有B中的数据满足上面的关系，即132=122+(12×10)2，故答案为B.
8. 【答案】C【解析】A：三个角的比为1:2:3，设最小的角为x，则x+2x+3x=180°，x=30°，3x= 90°，故正确；B：三条边满足关系a2=b2-c2，则b2=a2+c2，故正确；C：三条边的比为2:3:4，22+32≠42，故错误；D：三个角满足关系∠B+∠C=∠A，则∠A为90°，故正确.
9. 【答案】D【解析】A. ∵1+2 =3,不能构成三角形,故选项错误;B.∵12+12=(2)2,是等腰直角三角形,故选项错误;
C.底边上的高是 12-322=12,可知是顶角120°,底角30°的等腰三角形,故选项错误;
D.解直角三角形可知是三个角分别是90°,60°,30°的直角三角形,其中90°÷30°=3,符合“智慧三角形”的定义,故选项正确.
10. 【答案】B【解析】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理和垂线段最短的性质等.
如图,作△AB'C≌△ABC(即将△ABC沿线段AC翻折得到△AB'C).连接BB',交AC于点G.过点B作BN'⊥AB'于点N',交AC于点M.在AB上取点N,使AN=AN'.由△AB'C≌△ABC,可得∠1=∠2,AB=AB'=10.∵AB=AB',∠1=∠2,∴AG⊥BB',BB'=2BG(等腰三角形三线合一).
∵S△ABC=12AB·BC=12AC·BG,∴AB·BC=AC·BG,∴10×5=55·BG,∴BG=25,∴BB'=2×25=45.∵AN=AN',∠1=∠2,AM=AM,∴△AMN≌△AMN',∴MN=MN',∴BM+MN=BM+MN',BM+MN'的长度可以看作是点B到直线AB'的距离.根据“垂线段最短”,该距离的最小值为垂线段BN'的长度,故只需求BN'.设AN'=x,则N'B'=AB'-AN'=10-x.在Rt△AN'B中,由勾股定理可得(BN')2=AB2-(AN')2=102-x2.在Rt△BN'B'中,由勾股定理可得(BN')2=(BB')2-(N'B')2=(45)2-(10-x)2,所以102-x2=(45)2-(10-x)2,解得x=6.故BN'=8,则BM+MN的最小值为8.
11. 【答案】512【解析】由题意得，水平距离为132-52=12，∴坡比i=5︰12.
12. 【答案】5 【解析】∵a2-6a+9+|b-4|=0，∴a2-6a+9=0，b-4=0，解得a=3，b=4，∵直角三角形的两直角边长为a,b，∴该直角三角形的斜边长=a2+b2=32+42=5.
13. 【答案】2n(n+1) 2n(n+1)+1 【解析】由于当n=1时，a=2n+1=3.所以当1，2，3，4，…这列数用n表示时，那么2，3，4，5，…这列数就用n+1表示，而3，5，7，9，…这列数用2n+1表示.因此b=2n(n+1)；而c=b+1，故c=b+1=2n(n+1)+1.
14. 【答案】直角 【解析】由平方值和绝对值的非负性质，可知a+2b-60=0,b-18=0,c-30=0，从而求出a=24，b=18，c=30.此时a2+b2=c2，所以ΔABC是直角三角形.
15. 【答案】16或45 【解析】(1)当B′D=B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°，当B′C=B′D时，AG=DH=12DC=8，由AE=3，AB=16，得BE=13.由翻折的性质，得B′E=BE=13，∴EG=AG-AE=8-3=5，∴B′G=B'E2-EG2=132-52=12，∴B′H=GH-B′G=16-12=4，
∴DB′=B'H2+DH2=42+82=45；
(2)当DB′=CD时，则DB′=16(易知点F在BC上且不与点C，B重合)；
(3)当CB′=CD时，∵EB=EB′，CB=CB′，∴点E，C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去.
综上所述，DB′的长为16或45.
16. 【答案】14
【解析】因为12²+5²=13²，即AD2+BD2=AB2，可知△ABD为直角三角形，∠ADB=90°.
在Rt△ACD中，根据勾股定理CD2=AC2-AD2=152-122=81，所以CD=9，所以BC=BD+CD=5+9=14.
17. 【答案】1314【解析】∵AB=AD=6，AM︰MB=AN︰ND=1︰2，∴AM=AN=2，BM=DN=4，
连接MN，AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°,在Rt△ABC与Rt△ADC中，AB=ADAC=AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠BAC=∠DAC=12∠BAD=30°，MC=NC，∵∠BAD=60°，∠BAC=30°，∴BC=12AC，∠BCD=120°，在Rt△ABC中，AC2=BC2+AB2， 即(2BC)2=BC2+AB2，3BC2=AB2，∴BC=23，在Rt△BMC中，CM=BM2+BC2 =42+(23)2=27，∵AN=AM，∠MAN=60°，∴△MAN是等边三角形，∴MN=AM=AN=2，过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=27-x，∴MN2-NE2=MC2-EC2，即4-x2=(27)2-(27-x)2，解得：x=77，∴EC=27-77=1377，∴cos∠MCN=CECM=1314.
18. 【答案】758【解析】本题考查勾股定理、线段的垂直平分线的性质以及三角形的面积.如图所示,连接DF.∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=90°.∵AB=6,BC=8,∴BD=10.又EF是BD的垂直平分线,∴BO=5,∠BOF=90°.设BF为x,则DF=BF=x,CF=8-x.在Rt△DCF中,由勾股定理得CF2+DC2=DF2,即(8-x)2+62=x2,解得x=254.∴在Rt△BOF中,OF=BF2-OB2=2542-52=154,∴S△BOF=12·OF·OB=12×154×5=758.
19. 【答案】由题意得AB=DE=2.5米，∠C=90°， 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=2米.在Rt△CED中，根据勾股定理，得CE=1.5米， 所以AE=2-1.5=0.5米，即AE的长为0.5米.
20. 【答案】设BD=x，∵AD是底边BC上的高，AB=AC，∴BD=12BC，所以BC=2x，
∵△ABC的周长为16，∴AB+BD=12×16=8，∴AB=8-x， 在Rt△ABD中，AB2=BD2+AD2，即(8-x)2=x2+42，解得x=3，∴AB=8-3=5，BC=2BD=2×3=6，∴△ABC的边AB，AC的长均为5，边BC的长为6.
21. 【答案】过点C作CD⊥AB于点D，此时水渠的造价最低.在ΔABC中，∵AC=80米，BC=60米，AB=100米，∴AC2+BC2=AB2，∴ΔABC是直角三角形，且∠ACB=90°.∴SΔABC=12CD⋅AB=12AC⋅BC，∴CD=48米.∴最低造价为48×100=4800(元).在RtΔACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-CD2=642，∴AD=64米.即点D距点A 64米时，水渠的造价最低，最低造价为4800元.
22.(1) 【答案】平行；ED. (2) 【答案】∵AD⊥CE，∠ACB=90°，∴∠CAD与∠DCA互余，∠BCE与∠DCA互余，∴∠CAD=∠BCE，∵AC=BC，BE⊥CE， ∴ΔCBE≌ΔACD(AAS)，∴EC=AD，BE=CD， ∴BE与AD之间的距离ED=EC-CD=AD-BE=6-2=4(cm).
又∵AC=BC=AD2+CD2=40(cm)，
∴AB=80=45(cm).
23. 【答案】因为a2+b2+c2+50=10a+6b+8c， 所以(a2-10a+25)+(b2-6b+9)+(c2-8c+16)=0，即(a-5)2+(b-3)2+(c-4)2=0.所以a=5，b=3，c=4.
因为52=32+42，即a2=b2+c2. 所以△ABC是直角三角形.
24. 【答案】设MN交AC于点E,则∠BEC=90°,又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2,∴△ABC是直角三角形,∴∠ABC=90°.又∵MN⊥CE,∴走私艇C进入我国领海的最近距离是CE的长.由CE2+BE2=CB2=144,(13-CE)2+BE2=25,得26CE=288,∴CE=14413.
14413÷13≈0.85(小时),0.85×60=51(分).
9时50分+51分=10小时40分.
答:走私艇C最早约在10时41分进入我国领海.
25.(1) 【答案】10 (2) 【答案】20 (3) 【答案】Sn=n2; (4) 【答案】S12=14;S22=24;S32=34;…;Sn2=n4,S12+S22+S32+…+Sn2=14+24+34+…+n4=n(n+1)8,
当n=10时,S12+S22+S32+…+S102=554.
26. 【答案】如图,作CD⊥CM,且CD= CM,连接ND,BD.
∵AC⊥BC,CD⊥ CM,∴∠ACB=∠MCD=90°,∴∠ACB-∠MCB=∠MCD-∠MCB,即∠ACM=∠BCD.在△CAM和△CBD中,
∵AC=BC,∠ACM=∠BCD,CM=CD,
∴△CAM≌△CBD,∴∠CBD=∠A=45°,BD=AM=a.
∵∠MCN=45°,∠MCD=90°. ∴∠DCN=∠MCD-∠MCN=45°,∠MCN=∠DCN.在△MCN和△DCN中,CM=CD,∠MCN=∠DCN,CN=CN, ∴△MCN≌△DCN,∴MN=ND=c.
易知∠CBN=∠CBD=45°,∴∠NBD=∠CBN+∠CBD=90°.∴△NBD为直角三角形,∴NB2+BD2=ND2,即b2+a2=c2,∴以c,a,b为边长的三角形是直角三角形.
第十七章：勾股定理
学校： 姓名： 班级： 考号：
一、选择题 (每小题3分，共30分）
第6题图
第5题图
第2题图
第1题图
1. 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为( )
A. 1.8 B. 2.4 C. 3.2 D. 3.6
2. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在A处，点D落在DD'处.若AB=3，BC=9，则折痕EF的长为( )
A. 10 B. 4 C. 5 D. 210
3. 将下列各组数据作为三角形的边长，能够组成直角三角形的是( )
A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 2，3，4 D. 1，2，3
4. 若三角形三边长分别是6，8，10，则它最长边上的高为( )
A. 6 B. 4.8 C. 2.4 D. 8
5. 如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于M,若CM=5,则CE2+CF2等于( )
A. 75 B. 100 C. 120 D. 125
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为 ( )
A. 2a B. 22a C. 3a D. 433a
7. 一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰,底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据( )
A. 13，10，10 B. 13，10，12 C. 13，12，12 D. 13，10，11
8. 下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的为( )
A. 三个角的比为1:2:3 B. 三条边满足关系a2=b2-c2
C. 三条边的比为2:3:4 D. 三个角满足关系∠B+∠C=∠A
9.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列各组数据中,能作为一个智慧三角形三边长的一组是 ( )
A. 1,2,3 B. 1,1,2 C. 1,1,3 D. 1,2,3
第10题图
10. [2015·黑龙江绥化中考]如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,若点M,N分别是线段AC,AB上的两个动点,则BM+MN的最小值是 ( )
A. 10 B. 8 C. 5 3 D. 6
二、填空题 (每小题4分，共32分）
第11题图
第18题图
第17题图
第15题图
第16题图
11. 如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是_________.
12. 若直角三角形的两直角边长为a,b，且满足a2-6a+9+|b-4|=0则该直角三角形的斜边长为______.
13. 观察勾股数：
ab c
3=1+24=2×1×2 5
5=2+312=2×2×313
7=3+424=2×3×425
9=4+540=2×4×541
………
当a=2n+1时，b=____，c=____.
14. 如果ΔABC的三边长分别为a、b、c，且满足关系式(a+2b-60)2+|b-18|+(c-30)2=0，那么ΔABC是____三角形.
15. 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′ 恰为等腰三角形，则DB′ 的长为 .
16. 如图，D为△ABC的边BC上一点.已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为____.
17. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M,N分别在AB,AD边上，若AM︰MB=AN︰ND=1︰2.则cos∠MCN=______.
18.如图,在矩形ABCD中,已知AB=6,BC=8,BD的垂直平分线交AD于点E,交BC于点F,则△BOF的面积为 .
三、解答题 (19~22每题6分；23~24题每题7分；25~26题每题10分)
19. 如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B到C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米到D点时，滑杆顶端A下滑到E点，求AE的长.
20. 如图，在△ABC中，AB=AC，且周长为16，底边上的高AD=4，求这个三角形各边的长.
21. 欲在一块三角形的废地上挖一条水渠，如图所示，测得AC=80米，BC=60米，AB=100米.若线段CD是一条水渠，且点D在边AB上，已知水渠的造价为100元/米.则点D距点A多远时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
22. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，垂足为E，AD⊥CE，垂足为D.
(1)直线BE与AD的位置关系是 ；BE与AD之间的距离是线段 的长；
(2)若AD=6 cm，BE=2 cm，求BE与AD之间的距离及AB的长.
23. 已知A，B，C为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50=10a+6b+8c，试判断△ABC的形状.
24. 如图所示,MN为我国领海边界线,即MN以西为我国领海,以东为公海.上午9时50分,我反走私艇A发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A,C两艇的距离是13海里,A,B两艇的距离是5海里,反走私艇B离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海?
25. 细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题.
OA22=(1)2+12=2,S1=12;
OA32=12+(2)2=3,S2=22;
OA42=12+(3)2=4,S3=32…
(1)推算出OA10= ;
(2)若一个三角形的面积是5,则它是第 个三角形;
(3)用含n(n是正整数)的等式表示上述面积变化规律：
(4)求出S12+S22+S32+…+S102的值.
26. 如图所示,在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M,N,使∠MCN=45°,设AM=a,MN=c,BN=b,试判断以c,a,b为边长的三角形的形状.
参考答案
1. 【答案】D【解析】连接BF，交AE与点H，由折叠的性质可得FE=BE，BF⊥AE，
∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又Rt△ABE中，AB=4，由勾股定理得AE=AB2+BE2=5，∴BH=AB∙BEAE=125，则BF=245，在△BFC中，FE=BE=EC，∴∠BFC=90°， ∴CF=BC2-BF2=62-2452=185.故选D.
2. 【答案】A【解析】由翻折可知AE=EC,设BE=x，则AE=9-x在Rt△ABE中，根据勾股定理得： 3²+x²=(9-x)²，解得x=4，∴AE=5.在△ABE和△AD′F中，AB=AD′, ∠BAE=∠FAD′, ∠B=∠D′,∴△ABE≌△AD′F(AAS).∴AF=AE=5.过点F作FH⊥BC交BC于点H,则FH=3，EH=5-4=1.
在△EFH中，根据勾股定理得EF=12+32=10.故选A.
3. 【答案】B【解析】A,∵42+52=41≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；B,∵ 1.52+22=6.25=2.52，∴能构成直角三角形，故本选项正确；C,∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；D,∵12+(2)2=3≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项错误，故选B.
4. 【答案】B【解析】因为62+82=102，由勾股定理的逆定理判断出该三角形是直角三角形，所以斜边上的高=6×810=4.8.
5. 【答案】B【解析】∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12(∠ACB+∠ACD)=90°，∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=5，即EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100.故选B.
6. 【答案】B【解析】因为CD⊥AB,CD=DE=a,所以由勾股定理得,CE=2a,因为点E是线段AB的中点,∠ACB=90°,根据直角三角形的性质可得AB=2CE=22a,故选B.
7. 【答案】B【解析】如图，根据题意画出图形，可知腰AB,高AD和底边BC的一半构成一个直角三角形.当AB2=AD2+(12BC)2时，该三角形为直角三角形，各选项只有B中的数据满足上面的关系，即132=122+(12×10)2，故答案为B.
8. 【答案】C【解析】A：三个角的比为1:2:3，设最小的角为x，则x+2x+3x=180°，x=30°，3x= 90°，故正确；B：三条边满足关系a2=b2-c2，则b2=a2+c2，故正确；C：三条边的比为2:3:4，22+32≠42，故错误；D：三个角满足关系∠B+∠C=∠A，则∠A为90°，故正确.
9. 【答案】D【解析】A. ∵1+2 =3,不能构成三角形,故选项错误;B.∵12+12=(2)2,是等腰直角三角形,故选项错误;
C.底边上的高是 12-322=12,可知是顶角120°,底角30°的等腰三角形,故选项错误;
D.解直角三角形可知是三个角分别是90°,60°,30°的直角三角形,其中90°÷30°=3,符合“智慧三角形”的定义,故选项正确.
10. 【答案】B【解析】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理和垂线段最短的性质等.
如图,作△AB'C≌△ABC(即将△ABC沿线段AC翻折得到△AB'C).连接BB',交AC于点G.过点B作BN'⊥AB'于点N',交AC于点M.在AB上取点N,使AN=AN'.由△AB'C≌△ABC,可得∠1=∠2,AB=AB'=10.∵AB=AB',∠1=∠2,∴AG⊥BB',BB'=2BG(等腰三角形三线合一).
∵S△ABC=12AB·BC=12AC·BG,∴AB·BC=AC·BG,∴10×5=55·BG,∴BG=25,∴BB'=2×25=45.∵AN=AN',∠1=∠2,AM=AM,∴△AMN≌△AMN',∴MN=MN',∴BM+MN=BM+MN',BM+MN'的长度可以看作是点B到直线AB'的距离.根据“垂线段最短”,该距离的最小值为垂线段BN'的长度,故只需求BN'.设AN'=x,则N'B'=AB'-AN'=10-x.在Rt△AN'B中,由勾股定理可得(BN')2=AB2-(AN')2=102-x2.在Rt△BN'B'中,由勾股定理可得(BN')2=(BB')2-(N'B')2=(45)2-(10-x)2,所以102-x2=(45)2-(10-x)2,解得x=6.故BN'=8,则BM+MN的最小值为8.
11. 【答案】512【解析】由题意得，水平距离为132-52=12，∴坡比i=5︰12.
12. 【答案】5 【解析】∵a2-6a+9+|b-4|=0，∴a2-6a+9=0，b-4=0，解得a=3，b=4，∵直角三角形的两直角边长为a,b，∴该直角三角形的斜边长=a2+b2=32+42=5.
13. 【答案】2n(n+1) 2n(n+1)+1 【解析】由于当n=1时，a=2n+1=3.所以当1，2，3，4，…这列数用n表示时，那么2，3，4，5，…这列数就用n+1表示，而3，5，7，9，…这列数用2n+1表示.因此b=2n(n+1)；而c=b+1，故c=b+1=2n(n+1)+1.
14. 【答案】直角 【解析】由平方值和绝对值的非负性质，可知a+2b-60=0,b-18=0,c-30=0，从而求出a=24，b=18，c=30.此时a2+b2=c2，所以ΔABC是直角三角形.
15. 【答案】16或45 【解析】(1)当B′D=B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°，当B′C=B′D时，AG=DH=12DC=8，由AE=3，AB=16，得BE=13.由翻折的性质，得B′E=BE=13，∴EG=AG-AE=8-3=5，∴B′G=B'E2-EG2=132-52=12，∴B′H=GH-B′G=16-12=4，
∴DB′=B'H2+DH2=42+82=45；
(2)当DB′=CD时，则DB′=16(易知点F在BC上且不与点C，B重合)；
(3)当CB′=CD时，∵EB=EB′，CB=CB′，∴点E，C在BB′的垂直平分线上，∴EC垂直平分BB′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去.
综上所述，DB′的长为16或45.
16. 【答案】14
【解析】因为12²+5²=13²，即AD2+BD2=AB2，可知△ABD为直角三角形，∠ADB=90°.
在Rt△ACD中，根据勾股定理CD2=AC2-AD2=152-122=81，所以CD=9，所以BC=BD+CD=5+9=14.
17. 【答案】1314【解析】∵AB=AD=6，AM︰MB=AN︰ND=1︰2，∴AM=AN=2，BM=DN=4，
连接MN，AC，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°,在Rt△ABC与Rt△ADC中，AB=ADAC=AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠BAC=∠DAC=12∠BAD=30°，MC=NC，∵∠BAD=60°，∠BAC=30°，∴BC=12AC，∠BCD=120°，在Rt△ABC中，AC2=BC2+AB2， 即(2BC)2=BC2+AB2，3BC2=AB2，∴BC=23，在Rt△BMC中，CM=BM2+BC2 =42+(23)2=27，∵AN=AM，∠MAN=60°，∴△MAN是等边三角形，∴MN=AM=AN=2，过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=27-x，∴MN2-NE2=MC2-EC2，即4-x2=(27)2-(27-x)2，解得：x=77，∴EC=27-77=1377，∴cos∠MCN=CECM=1314.
18. 【答案】758【解析】本题考查勾股定理、线段的垂直平分线的性质以及三角形的面积.如图所示,连接DF.∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=90°.∵AB=6,BC=8,∴BD=10.又EF是BD的垂直平分线,∴BO=5,∠BOF=90°.设BF为x,则DF=BF=x,CF=8-x.在Rt△DCF中,由勾股定理得CF2+DC2=DF2,即(8-x)2+62=x2,解得x=254.∴在Rt△BOF中,OF=BF2-OB2=2542-52=154,∴S△BOF=12·OF·OB=12×154×5=758.
19. 【答案】由题意得AB=DE=2.5米，∠C=90°， 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=2米.在Rt△CED中，根据勾股定理，得CE=1.5米， 所以AE=2-1.5=0.5米，即AE的长为0.5米.
20. 【答案】设BD=x，∵AD是底边BC上的高，AB=AC，∴BD=12BC，所以BC=2x，
∵△ABC的周长为16，∴AB+BD=12×16=8，∴AB=8-x， 在Rt△ABD中，AB2=BD2+AD2，即(8-x)2=x2+42，解得x=3，∴AB=8-3=5，BC=2BD=2×3=6，∴△ABC的边AB，AC的长均为5，边BC的长为6.
21. 【答案】过点C作CD⊥AB于点D，此时水渠的造价最低.在ΔABC中，∵AC=80米，BC=60米，AB=100米，∴AC2+BC2=AB2，∴ΔABC是直角三角形，且∠ACB=90°.∴SΔABC=12CD⋅AB=12AC⋅BC，∴CD=48米.∴最低造价为48×100=4800(元).在RtΔACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-CD2=642，∴AD=64米.即点D距点A 64米时，水渠的造价最低，最低造价为4800元.
22.(1) 【答案】平行；ED. (2) 【答案】∵AD⊥CE，∠ACB=90°，∴∠CAD与∠DCA互余，∠BCE与∠DCA互余，∴∠CAD=∠BCE，∵AC=BC，BE⊥CE， ∴ΔCBE≌ΔACD(AAS)，∴EC=AD，BE=CD， ∴BE与AD之间的距离ED=EC-CD=AD-BE=6-2=4(cm).
又∵AC=BC=AD2+CD2=40(cm)，
∴AB=80=45(cm).
23. 【答案】因为a2+b2+c2+50=10a+6b+8c， 所以(a2-10a+25)+(b2-6b+9)+(c2-8c+16)=0，即(a-5)2+(b-3)2+(c-4)2=0.所以a=5，b=3，c=4.
因为52=32+42，即a2=b2+c2. 所以△ABC是直角三角形.
24. 【答案】设MN交AC于点E,则∠BEC=90°,又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2,∴△ABC是直角三角形,∴∠ABC=90°.又∵MN⊥CE,∴走私艇C进入我国领海的最近距离是CE的长.由CE2+BE2=CB2=144,(13-CE)2+BE2=25,得26CE=288,∴CE=14413.
14413÷13≈0.85(小时),0.85×60=51(分).
9时50分+51分=10小时40分.
答:走私艇C最早约在10时41分进入我国领海.
25.(1) 【答案】10 (2) 【答案】20 (3) 【答案】Sn=n2; (4) 【答案】S12=14;S22=24;S32=34;…;Sn2=n4,S12+S22+S32+…+Sn2=14+24+34+…+n4=n(n+1)8,
当n=10时,S12+S22+S32+…+S102=554.
26. 【答案】如图,作CD⊥CM,且CD= CM,连接ND,BD.
∵AC⊥BC,CD⊥ CM,∴∠ACB=∠MCD=90°,∴∠ACB-∠MCB=∠MCD-∠MCB,即∠ACM=∠BCD.在△CAM和△CBD中,
∵AC=BC,∠ACM=∠BCD,CM=CD,
∴△CAM≌△CBD,∴∠CBD=∠A=45°,BD=AM=a.
∵∠MCN=45°,∠MCD=90°. ∴∠DCN=∠MCD-∠MCN=45°,∠MCN=∠DCN.在△MCN和△DCN中,CM=CD,∠MCN=∠DCN,CN=CN, ∴△MCN≌△DCN,∴MN=ND=c.
易知∠CBN=∠CBD=45°,∴∠NBD=∠CBN+∠CBD=90°.∴△NBD为直角三角形,∴NB2+BD2=ND2,即b2+a2=c2,∴以c,a,b为边长的三角形是直角三角形.
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