人教版 (新课标)必修24.万有引力理论的成就课后练习题

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第4讲 万有引力理论
的成就
[时间：60分钟]
题组一 天体的质量和密度的计算
1．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( )
A．月球的质量 B．地球的质量
C．地球的半径 D．地球的密度
2．一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量可表示为( )
A.eq \f(4π2r3,GT2) B.eq \f(4π2R3,GT2)
C.eq \f(gR2,G) D.eq \f(gr2,G)
3．2001年10月22日，欧洲航天局由卫星观测发现银河系中心存在一个超大型黑洞，命名为MCG63015，由于黑洞的强大引力，周围物质大量掉入黑洞，假定银河系中心仅此一个黑洞，已知太阳系绕银河系中心做匀速圆周运动，下列哪组数据可估算该黑洞的质量(万有引力常量G是已知的)( )
A．地球绕太阳公转的周期和线速度
B．太阳的质量和运行线速度
C．太阳运动的周期和太阳到MCG63015的距离
D．太阳运行的线速度和太阳到MCG63015的距离
4．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A.eq \f(R3t2,r3T2) B.eq \f(R3T2,r3t2) C.eq \f(R3t2,r2T3) D.eq \f(R2T3,r2t3)
5．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A.eq \f(mv2,GN) B.eq \f(mv4,GN)
C.eq \f(Nv2,Gm) D.eq \f(Nv4,Gm)
题组二 天体运动的分析与计算
6．把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行星( )
A．周期越小 B．线速度越小
C．角速度越小 D．加速度越小
7．据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km和100 km，运行速率分别为v1和v2.那么，v1和v2的比值为(月球半径取1 700 km)( )
A.eq \f(19,18) B. eq \r(\f(19,18)) C. eq \r(\f(18,19)) D.eq \f(18,19)
8．两颗行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量之比为eq \f(MA,MB)＝p，两行星半径之比为eq \f(RA,RB)＝q，则两个卫星的周期之比eq \f(Ta,Tb)为( )
A.eq \r(pq) B．qeq \r(p)
C．peq \r(\f(p,q)) D．qeq \r(\f(q,p))
9．(2015·北京理综·16)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )
A．地球公转的周期大于火星公转的周期
B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度
10.如图1所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法中正确的是( )
图1
A．a、b的线速度大小之比是 eq \r(2)∶1
B．a、b的周期之比是1∶2 eq \r(2)
C．a、b的角速度大小之比是3 eq \r(6)∶4
D．a、b的向心加速度大小之比是9∶2
11．我国曾发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设想“嫦娥一号”贴近月球表面做匀速圆周运动，其周期为T.“嫦娥一号”在月球上着陆后，自动机器人用测力计测得质量为m的仪器重力为P.已知引力常量为G，由以上数据可以求出的量有( )
A．月球的半径
B．月球的质量
C．月球表面的重力加速度
D．月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度
题组三 综合应用
12．两个行星质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：
(1)它们与太阳间的万有引力之比；
(2)它们的公转周期之比．
13．2013年4月26日12时13分我国在酒泉卫星发射中心用“长征二号丁”运载火箭，将“高分一号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道．这是我国重大科技专项高分辨率对地观测系统的首发星．设“高分一号”轨道的离地高度为h，地球半径为R，地面重力加速度为g，求“高分一号”在时间t内，绕地球运转多少圈？
14．我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面．宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G.求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的平均密度．
答案精析
第4讲 万有引力理论的成就
1．B [由天体运动的受力特点，得Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T2)·R，可得地球的质量M＝eq \f(4π2R3,GT2).由于不知地球的半径，无法求地球的密度．故选B.]
2．AC [根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r得，M＝eq \f(4π2r3,GT2)，选项A正确，选项B错误；在地球的表面附近有mg＝Geq \f(Mm,R2)，则M＝eq \f(gR2,G)，选项C正确，选项D错误．]
3．CD
4．A [无论地球绕太阳公转，还是月球绕地球公转，统一的公式为eq \f(GMm,R\\al( 2,0))＝meq \f(4π2R0,T\\al( 2,0))，即M∝eq \f(R\\al( 3,0),T\\al( 2,0))，所以eq \f(M日,M地)＝eq \f(R3t2,r3T2).]
5．B [设卫星的质量为m′
由万有引力提供向心力，得Geq \f(Mm′,R2)＝m′eq \f(v2,R)①
m′g＝eq \f(m′v2,R)②，由已知条件，m的重力为N得N＝mg③
由②③得：R＝eq \f(mv2,N)④
代入①④得：M＝eq \f(mv4,GN)，故A、C、D三项均错误，B正确．]
6．BCD [行星绕太阳做匀速圆周运动，所需的向心力由太阳对行星的引力提供，由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))，可知r越大，线速度越小，B正确．由Geq \f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝ eq \r(\f(GM,r3))，可知r越大，角速度越小，C正确．又由T＝eq \f(2π,ω)知，ω越小，周期T越大，A错．由Geq \f(Mm,r2)＝ma得a＝eq \f(GM,r2)，可知r越大，a越小，D正确．]
7．C [根据卫星运动的向心力由万有引力提供，有Geq \f(Mm,r＋h2)＝meq \f(v2,r＋h)，那么卫星的线速度跟其轨道半径的平方根成反比，则有eq \f(v1,v2)＝eq \f( \r(r＋h2), \r(r＋h1))＝ eq \r(\f(18,19)).]
8．D [卫星做圆周运动时，万有引力提供圆周运动的向心力，则有：Geq \f(Mm,R2)＝mR(eq \f(2π,T))2，得T＝ eq \r(\f(4π2R3,GM))，解得：eq \f(TA,TB)＝qeq \r(\f(q,p))，故D正确，A、B、C错误．]
9．D [两行星绕太阳运动的向心力均由万有引力提供，所以有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r＝ma，解得v＝ eq \r(\f(GM,r))，T＝ eq \r(\f(4π2r3,GM))，ω＝ eq \r(\f(GM,r3))，a＝eq \f(GM,r2)，根据题意r火＞r地，所以有T地＜T火，v地＞v火，a地＞a火，ω地＞ω火，故A、B、C错误，D正确．]
10．C [两卫星均做匀速圆周运动，F万＝F向，向心力选不同的表达形式分别分析，如下表：]
11.ABC [万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，设卫星质量为m′，有Geq \f(Mm′,R2)＝m′Req \f(4π2,T2)，又月球表面万有引力等于重力，Geq \f(Mm,R2)＝P＝mg月，两式联立可以求出月球的半径R、质量M、月球表面的重力加速度g月，故A、B、C都正确．]
12．(1)eq \f(m1r\\al( 2,2),m2r\\al( 2,1)) (2)eq \r(\f(r\\al( 3,1),r\\al( 3,2)))
解析 (1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，
两行星与太阳间的万有引力之比为eq \f(F1,F2)＝eq \f(G\f(Mm1,r\\al( 2,1)),G\f(Mm2,r\\al( 2,2)))＝eq \f(m1r\\al( 2,2),m2r\\al( 2,1)).
(2)两行星绕太阳的运动看做匀速圆周运动，
向心力由万有引力提供，则有Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r.
所以，行星绕太阳运动的周期为T＝2π eq \r(\f(r3,GM)).
则两行星绕太阳的公转周期之比为eq \f(T1,T2)＝ eq \r(\f(r\\al( 3,1),r\\al( 3,2))).
13.eq \f(t,2π) eq \r(\f(gR2,R＋h3))
解析 在地球表面mg＝eq \f(GMm,R2)
在轨道上eq \f(GMm,R＋h2)＝m(R＋h)eq \f(4π2,T2)
所以T＝2πeq \r(\f(R＋h3,GM))＝2πeq \r(\f(R＋h3,gR2))
故n＝eq \f(t,T)＝eq \f(t,2π) eq \r(\f(gR2,R＋h3))
14．(1)eq \f(2hv2,L2) (2)eq \f(3hv2,2πGRL2)
解析 (1)小球在星球表面做平抛运动，有L＝vt，h＝eq \f(1,2)gt2
解得g＝eq \f(2hv2,L2)
(2)在星球表面满足eq \f(GMm,R2)＝mg
又M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，解得ρ＝eq \f(3hv2,2πGRL2).选项
内容指向、联系分析
结论
A
由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)得eq \f(v1,v2)＝ eq \r(\f(r2,r1))＝ eq \r(\f(3R,2R))＝eq \r(\f(3,2))
错误
B
由eq \f(GMm,r2)＝mreq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2得eq \f(T1,T2)＝ eq \r(\f(r\\al( 3,1),r\\al( 3,2)))＝eq \f(2,3) eq \r(\f(2,3))
错误
C
由eq \f(GMm,r2)＝mrω2得eq \f(ω1,ω2)＝ eq \r(\f(r\\al( 3,2),r\\al( 3,1)))＝eq \f(3 \r(6),4)
正确
D
由eq \f(GMm,r2)＝ma得eq \f(a1,a2)＝eq \f(r\\al( 2,2),r\\al( 2,1))＝eq \f(9,4)
错误