2021届高三数学（文）一轮复习夯基提能作业本：第八章 立体几何 第五节 直线、平面垂直的判定与性质 Word版含解析

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 第五节　直线、平面垂直的判定与性质A组　基础题组1.已知在空间四边形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD是锐角三角形,则必有(　　)A.平面ABD⊥平面ADC B.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面BDC2.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是(　　)A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC3.(2016山东日照实验中学月考)设a、b是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列四个命题:①若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则b∥α;②若a∥α,a⊥β,则α⊥β;③若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a⊂α;④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.其中正确命题的个数为(　　)A.1 B.2 C.3 D.44.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E,要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为(　　)A. B.1 C. D.25.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的有　　　　(写出全部正确命题的序号). ①平面ABC⊥平面ABD;②平面ABD⊥平面BCD;③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.6.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边长都相等,M是PC上的一动点,当点M满足　　　时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 7.如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:①;②1;③;④2;⑤4.当在BC边上存在点Q(Q不在端点B,C处),使PQ⊥QD时,a可以取　　　　.(填上一个你认为正确的数据序号即可) 8.(2016江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.   9.(2015广东,18,14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD;(3)求点C到平面PDA的距离.       B组　提升题组 10.(2016甘肃兰州质检)如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,且E为CD的中点,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,连接DC,则下列说法正确的是　　　　.(写出所有正确说法的序号) ①无论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥平面DEC;②无论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN⊥AE;③无论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥AB;④在折起过程中,一定存在某个位置,使EC⊥AD.11.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知AD=4,BD=4,AB=2CD=8.(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.     12.(2016北京,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求证:DC⊥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;(3)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.     
 答案全解全析A组　基础题组1.C　∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BDC,又AD⊂平面ADC,∴平面ADC⊥平面BDC.2.D　易证BD⊥CD.因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,CD⊂平面BCD,故CD⊥平面ABD,则CD⊥AB.又AD⊥AB,AD∩CD=D,AD⊂平面ADC,CD⊂平面ADC,故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC,∴平面ADC⊥平面ABC.3.D　①由a⊥b,a⊥α,可得b∥α或b⊂α,又b⊄α,∴b∥α,①是正确命题;②由a∥α得在α内存在一条直线m满足m∥a,结合a⊥β,得m⊥β,又m⊂α,∴α⊥β,②是正确命题;③由a⊥β,α⊥β可得出a∥α或a⊂α,故③是正确命题;④由a⊥b,a⊥α可推出b∥α或b⊂α,结合b⊥β,可得出α⊥β,故④是正确命题.4.A　设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥DF,由已知可得A1B1=,设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.又2×=h,所以h=,DE=.在Rt△DB1E中,B1E==.由面积相等得×=x,得x=.5.答案　③解析　因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理,DE⊥AC,由于DE∩BE=E,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.6.答案　DM⊥PC(或BM⊥PC)解析　连接AC,由题意知四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,又AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.7.答案　①(或②)解析　当PQ⊥QD时,有QD⊥平面PAQ,所以QD⊥AQ.在矩形ABCD中,设BQ=x(0<x<2),则CQ=2-x,在Rt△ABQ中,AQ2=a2+x2,在Rt△DCQ中,DQ2=a2+(2-x)2,又由AQ2+DQ2=4,得2a2+2x2-4x=0,则a2=-(x-1)2+1(0<x<2),故a2∈(0,1],即a∈(0,1],故①②符合,③④⑤不符合.8.证明　(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.9.解析　(1)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以AD∥BC.又因为AD⊂平面PDA,BC⊄平面PDA,所以BC∥平面PDA.(2)证明:取CD的中点,记为E,连接PE,因为PD=PC,所以PE⊥DC.又因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,PE⊂平面PDC,所以PE⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD,所以PE⊥BC.因为四边形ABCD为长方形,所以BC⊥DC.又因为PE∩DC=E,所以BC⊥平面PDC.而PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.(3)连接AC.由(2)知,BC⊥PD,又因为AD∥BC,所以AD⊥PD,所以S△PDA=AD·PD=×3×4=6.在Rt△PDE中,PE===.S△ADC=AD·DC=×3×6=9.由(2)知,PE⊥平面ABCD,则PE为三棱锥P-ADC的高.设点C到平面PDA的距离为d,由VC-PDA=VP-ADC,即d·S△PDA=PE·S△ADC,亦即×6d=××9,得d=.故点C到平面PDA的距离为. B组　提升题组10.答案　①②④解析　由已知得,在未折叠的原梯形中,AB?DE,所以四边形ABED为平行四边形,所以BE=AD.折叠后的图形如图所示.①过点M作MP∥DE,交AE于点P,连接NP.因为M是AD的中点,所以点P为AE的中点,又N为BE的中点,故NP∥EC.又MP∩NP=P,DE∩CE=E,所以平面MNP∥平面DEC,故MN∥平面DEC,①正确.②由已知可得AE⊥ED,AE⊥EC,所以AE⊥MP,AE⊥NP,又MP∩NP=P,所以AE⊥平面MNP,又MN⊂平面MNP,所以MN⊥AE,②正确.③假设MN∥AB,则MN与AB确定平面MNBA,从而BE⊂平面MNBA,AD⊂平面MNBA,与BE和AD是异面直线矛盾,③错误.④当EC⊥ED时,EC⊥AD.因为EC⊥EA,EC⊥ED,EA∩ED=E,所以EC⊥平面AED,又AD⊂平面AED,所以EC⊥AD,④正确.11.解析　(1)证明:在△ABD中,∵AD=4,BD=4,AB=8,∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD,∴平面MBD⊥平面PAD.(2)过点P作PO⊥AD于O,∵平面PAD⊥平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD.即PO为四棱锥P-ABCD的高.又△PAD是边长为4的等边三角形,∴PO=4×=2.在Rt△ADB中,斜边AB上的高为=2,此即为梯形ABCD的高.∴S梯形ABCD=×2=12.∴VP-ABCD=×12×2=24.12.解析　(1)证明:因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC,AC∩PC=C,所以DC⊥平面PAC.(2)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.又AC∩PC=C,所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.(3)棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.证明如下:取PB中点F,连接EF,CE,CF.又因为E为AB的中点,所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF,所以PA∥平面CEF.