2021高考数学（文科）习题 第八章 立体几何 课时撬分练8-4 word版含答案

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基础组
1.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n
B．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n
C．m∥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β
D．m⊂α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β
答案 B
解析 对于A，m，n的位置关系应该是平行、相交或异面，故A不正确；对于B，由面面垂直及线面垂直的性质知，m⊥n，故B正确；对于C，α与β还可以平行或相交，故C不正确；对于D，α与β还可以相交，所以D不正确．故选B.
2．已知不同直线m、n及不重合平面α、β给出下列结论：
①m⊂α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β
②m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β
③m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β
④m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β
其中的假命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 C
解析 ①为假命题，m不一定与平面β垂直，所以平面α与β不一定垂直．命题②与③为假命题，②中两平面可以相交，③α与β可能相交．只有④是真命题，因为两平面的垂线所成的角与两平面所成的角相等或互补．
3．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当l⊥α时，l⊥m且l⊥n.
但当l⊥m，l⊥n时，若m、n不是相交直线，则得不到l⊥α.
即l⊥α是l⊥m且l⊥n的充分不必要条件．故选A.
4．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )
A．α⊥β，且m⊂α B．m∥n，且n⊥β
C．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β
答案 B
解析 根据定理、性质、结论逐个判断．因为α⊥β，m⊂α，则m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．
5．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.
6．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是( )
①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；
③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC.
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
答案 A
解析 易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC.又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB.
7．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
答案 DM⊥PC(答案不唯一)
解析 由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
8．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：
①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；
②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；
③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；
④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，l⊄α，则l⊥α.
其中正确命题的序号是________．
答案 ②③
解析 ①在正方体A1B1C1D1－ABCD中，令平面A1B1CD为α，平面DCC1D1为β，平面A1B1C1D1为γ，又平面A1B1CD∩平面DCC1D1＝CD，平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1＝C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表示a，b，CD∥C1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即α与γ不平行，故①错误．②因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β， 故②正确．③如果两平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线和另一个平面垂直，故③正确．④当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不能得出l⊥α，故④错误．
9．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)证明：CD⊥AE；
(2)证明：PD⊥平面ABE.
证明 (1)在四棱锥P－ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，
∴CD⊥AE，
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，
∴AE⊥PD，
∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，
AB⊥AD，∴AB⊥PD，
又∵AB∩AE＝A，
综上可得PD⊥平面ABE.
10．如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.
(1)求证：AC⊥平面BCE；
(2)求三棱锥E－BCF的体积．
解 (1)证明：过点C作CM⊥AB，垂足为M，因为AD⊥DC，
所以四边形ADCM为矩形，所以AM＝MB＝2，
又AD＝2，AB＝4，所以AC＝2eq \r(2)，CM＝2，BC＝2eq \r(2)，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.
又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，且BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
(2)因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CM，
又CM⊥AB，AF⊂平面ABEF，
AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以CM⊥平面ABEF.
VE－BCF＝VC－BEF＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×BE×EF×CM＝eq \f(1,6)×2×4×2＝eq \f(8,3).
11.如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝eq \f(1,2)PD.
(1)证明：PQ⊥平面DCQ；
(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．
解 (1)证明：由条件知四边形PDAQ为直角梯形，
因为QA⊥平面ABCD，QA⊂平面PDAQ，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ，
又PQ⊂平面PDAQ，所以PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得
DQ＝PQ＝eq \f(\r(2),2)PD，则PQ⊥QD.
又DC∩QD＝D，所以PQ⊥平面DCQ.
(2)设AB＝a.由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高，
所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝eq \f(1,3)a3.
由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高，
而PQ＝eq \r(2)a，△DCQ的面积为eq \f(\r(2),2)a2，
所以棱锥P－DCQ的体积V2＝eq \f(1,3)a3.
故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1.
12．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝eq \f(1,2)CD＝1.现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF，然后沿边AD将矩形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直．
(1)求证：BC⊥平面BDE；
(2)若点D到平面BEC的距离为eq \f(\r(6),3)，求三棱锥F－BDE的体积．
解 (1)证明：在矩形ADEF中，ED⊥AD，
因为平面ADEF⊥平面ABCD，
所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC.
又在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，∠BDC＝45°，所以BC＝eq \r(2)，
在△BCD中，BD＝BC＝eq \r(2)，CD＝2，所以BD2＋BC2＝CD2，
所以BC⊥BD，所以BC⊥平面BDE.
(2)由(1)得，平面DBE⊥平面BCE，作DH⊥BE于点H，则DH⊥平面BCE，
所以DH＝eq \f(\r(6),3).在△BDE中，BD·DE＝BE·DH，
即eq \r(2)·DE＝eq \f(\r(6),3)(eq \r(DE2＋2))，解得DE＝1.
所以VF－BDE＝VB－EFD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×1＝eq \f(1,6).
能力组
13.已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则( )
A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直
B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直
D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
答案 C
解析 如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．
14．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝AC，AC1⊥A1B，M，N分别为A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1；②A1B⊥AM；③平面AMC1∥平面CNB1.其中正确结论的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
解析 由于ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以A1A⊥C1M.由B1C1＝A1C1，M为A1B1的中点，得C1M⊥A1B1.又AA1∩A1B1＝A1，所以C1M⊥平面A1ABB1，所以①正确．因为C1M⊥平面A1ABB1，所以C1M⊥A1B.又AC1⊥A1B，C1M∩AC1＝C1，所以A1B⊥平面AMC1，所以AM⊥A1B，所以②正确．由AM∥B1N，C1M∥CN，可得平面AMC1∥平面CNB1，所以③正确．故正确结论共有3个．
15．如图，过底面是矩形的四棱锥F－ABCD的顶点F作EF∥AB，使AB＝2EF，且平面ABFE⊥平面ABCD，若点G在CD上且满足DG＝GC.
(1)求证：FG∥平面AED；
(2)求证：平面DAF⊥平面BAF.
证明 (1)因为DG＝GC，AB＝CD＝2EF，AB∥EF∥CD，所以EF∥DG，EF＝DG.
所以四边形DEFG为平行四边形，
所以FG∥ED.
又因为FG⊄平面AED，ED⊂平面AED，
所以FG∥平面AED.
(2)因为平面ABFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，
AD⊥AB，AD⊂平面ABCD，
所以AD⊥平面BAF，又AD⊂平面DAF，
所以平面DAF⊥平面BAF.
16．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，E、F分别是A1C1、BC的中点．
(1)证明：平面AEB⊥平面BB1C1C；
(2)证明：C1F∥平面ABE；
(3)设P是BE的中点，求三棱锥P－B1C1F的体积．
解 (1)证明：在△ABC中，∵AC＝2BC＝4，∠ACB＝60°，
∴AB＝2eq \r(3)，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，
由已知AB⊥BB1，且BC∩BB1＝B，可得AB⊥平面BB1C1C，
又AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面BB1C1C.
(2)证明：取AC的中点M，连接C1M，FM，
在△ABC中，FM∥AB，
而FM⊄平面ABE，∴直线FM∥平面ABE，
在矩形ACC1A1中，E、M分别是A1C1、AC的中点，∴C1M∥AE，而C1M⊄平面ABE，∴C1M∥平面ABE，
∵C1M∩FM＝M，∴平面ABE∥平面FMC1，
又C1F⊂平面FMC1，故C1F∥平面ABE.
(3)取B1C1的中点H，连接EH，则EH∥AB，且EH＝eq \f(1,2)AB＝eq \r(3)，
又AB⊥平面BB1C1C，∴EH⊥平面BB1C1C，