数学九年级下册27.2.1 相似三角形的判定一等奖教学设计

第二十七章  相似

27.2  相似三角形

27.2.1 相似三角形的判定

课时2 用三边关系、边角关系判定三角形相似

【知识与技能】

　1.了解三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明过程.

　2.能运用三角形相似的判定定理证明三角形相似.

【过程与方法】

　1.在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明过程中,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想.

　2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.

　3.通过应用三角形相似的判定方法和性质解决简单问题,培养学生的应用意识.

【情感态度与价值观】

　1.探究三角形相似的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.

　2.在三角形相似的判定的探究过程中,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神,同时体验成功带来的快乐.

　3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.

　能运用三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理证明三角形相似.

三角形相似判定定理的证明过程.

多媒体课件.

导入一:

　【复习提问】

　(1)证明三角形相似的方法是什么?

　(三角形相似的定义、平行线证明三角形相似)

　(2)全等三角形如何定义的?证明全等三角形有几种方法?

　(对应角、对应边相等的三角形是全等三角形；SSS,SAS,ASA,AAS,HL)

　(3)全等三角形与相似三角形有什么关系?

导入二:

　【课件展示】　欣赏图片.

　【导入语】　图片中的三角形相似吗?如何证明?除了用定义证明对应角相等、对应边成比例以外,还有简单的方法证明吗?通过今天的学习,我们探究新的方法证明三角形相似.

　[设计意图]　通过复习三角形全等的方法和证明过程,为类比探究证明三角形相似的方法做好铺垫；展示生活图片,让学生体会数学来源于生活,生活中处处有数学,从而激发学生的学习兴趣.

　　[过渡语]　对于任意的两个三角形,现在我们只能运用定义去判定是否相似,我们需知道对应角是否相等,且对应边是否成比例,那么是否存在判定三角形相似的简单方法呢?

一、三边法证明三角形相似

　思路一

　类比三角形全等的方法,同桌两个人分别画三角形.

　【动手操作】　

　(1)同桌分别画边长为2 cm,3 cm,4 cm的三角形和边长为4 cm,6 cm,8 cm的三角形,然后猜想、判断两个三角形是否相似.

　【学生活动】　通过测量三角形的三个内角、计算三角形三边的比,根据相似三角形的定义判定三角形相似.

　(2)如果一个三角形的三边是另一个三角形三边的k倍,那么这两个三角形是否相似?

　【学生活动】　学生动手操作,然后测量三角形的角度,根据定义判定三角形相似.

　(3)猜想:三角形三边对应成比例,两个三角形是否相似?你能证明这个结论吗?

　【课件展示】　如图,已知在△ABC和△A'B'C'中,==.求证△ABC∽△A'B'C'.

　【教师引导分析】　

　(1)除了定义外,还有什么方法可以证明三角形相似?

　(平行线证明三角形相似)

　(2)如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角形相似?

　(在A'B'上截取A'D=AB,过点D作DE∥B'C',交A'C'于点E)

　(3)能否证明△A'DE与△A'B'C'相似?

　(根据平行线分线段成比例基本事实可证明)

　(4)根据已知条件△ABC与△A'DE是否全等?(SAS)

　(5)尝试给出定理的证明过程.

　【课件展示】　

　 证明:如图,在线段A'B'(或它的延长线)上截取A'D=AB,　过点D作DE∥B'C',交A'C'(或A'C'的延长线)于点E,则可得△A'DE∽△A'B'C'，∴==.

　又==,A'D=AB,

　∴=,=,

　∴DE=BC,A'E=AC.

　∴△A'DE≌△ABC,

　∴△ABC∽△A'B'C'.

　(6)类比三角形全等,用文字语言叙述以上得到的结论,并用几何语言表示.

　【课件展示】　判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.

　【几何语言】　如图,∵==,∴△ABC∽△A'B'C'.

　思路二

　(1)类比SSS证明三角形全等的定理,猜想三边成比例,两个三角形相似.

　(2)证明你的猜想.

　如图,已知在△ABC和△A'B'C'中,==.求证△ABC∽△A'B'C'.

　【教师引导】　除了定义,前边学过在同一个三角形中,由平行线可以证明两个三角形相似,如何通过作平行线,将一个三角形转化到另一个三角形中?

　【师生活动】　学生小组合作交流证明思路,然后尝试书写过程,小组代表板书,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生进行点评,规范学生书写证明过程.

　(证明过程同思路一)

　(3)归纳总结:三角形相似的判定定理及几何语言表示.

　【课件展示】　判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.

　【几何语言】　如图,∵==,∴△ABC∽△A'B'C'.

　[设计意图]　通过动手操作、猜想、证明、归纳等数学活动,获得判定三角形相似的条件,体会数学中的类比思想,培养学生分析问题的能力,同时通过规范证明过程,培养学生严谨的数学精神.

二、两边及夹角法证明三角形相似

　【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,小组代表板书,教师帮助有困难的学生,规范学生的证明过程.

　【课件展示】　判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

　如图,已知在△ABC和△A'B'C'中,=,∠A=∠A'.求证△ABC∽△A'B'C'.

　 证明:如图,在线段A'B'(或它的延长线上)截取A'D=AB,过点D作DE∥B'C',交A'C'(或它的延长线)于点E,则可得△A'DE∽△A'B'C'，∴=.

　又∵=,A'D=AB,

　∴=,

　∴A'E=AC.

　又∵∠A=∠A',

　∴△A'DE≌△ABC,

　∴△ABC∽△A'B'C'.

　【几何语言】　如图,∵=,∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'.

　【追加提问】　在△ABC和△A'B'C'中,=,∠B=∠B',这两个三角形一定相似吗?

　【师生活动】　学生通过画图举出反例,说明这两个三角形不一定相似,教师强调该判定方法的易错点:角必须是两边的夹角.

　[设计意图]　学生通过动手操作,小组合作交流,经历猜想、验证、归纳出三角形相似的判定方法,培养学生与他人交流的能力,提高学生解决问题的能力及数学思维.

三、例题讲解

　　根据下列条件,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由.

　(1)AB=4 cm,BC=6 cm,AC=8 cm,A'B'=12 cm,B'C'=18 cm,A'C'=24 cm；

　(2)∠A=120°,AB=7 cm,AC=14 cm,∠A'=120°,A'B'=3 cm,A'C'=6 cm.

　〔解析〕　(1)已知两个三角形的三条边,考虑应用“三边成比例的两个三角形相似”判定,所以只需要计算三边的比,三边的比相等,则两个三角形相似,反之,则两个三角形不相似.

(2)已知三角形的两条边和一个角,考虑应用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定,所以需要计算两条边的比是否相等,且这两条边的夹角是否相等.

　解:(1)∵==,==,==,

　∴==,∴△ABC∽△A'B'C'.

　(2)∵=,==,

　∴=.

　又∵∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'.

　[设计意图]　通过分析题意,学生独立完成用判定定理证明三角形相似,达到巩固所学知识的目的,通过简单例题的解答,让学生体会到成功的快乐,激发学生学习数学的热情.

　[知识拓展]　(1)当已知条件中有三边时,可考虑用“三边成比例的两个三角形相似”证明三角形相似.

　(2)在应用相似三角形的判定定理1时,一定要注意先求两个三角形中大边与大边,中间边与中间边,小边与小边的比值,然后判断上述比值是否相等,从而判断两个三角形是否相似.

　(3)对于已知两组边的长度及边的夹角相等的情况,常用相似三角形的判定定理2判定两个三角形相似.

　(4)在应用相似三角形的判定定理2时,一定要注意必须是两边夹角相等才行.

　(5)在应用相似三角形的判定定理2时,还要注意一些隐含条件,如公共角、对顶角等.

　1.三边成比例的两个三角形相似.

　2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

　第2课时

　1.三边法证明三角形相似

　2.两边及夹角法证明三角形相似

　3.例题讲解

　例题

一、教材作业

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图,已知△MNP,则下列四个三角形中与△MNP相似的是　　(　　)

2.在△ABC中,BC=15 cm,CA=45 cm,AB=63 cm,另一个和它相似的三角形的最短边长是5 cm,则最长边长是　　(　　)

A.18 cm　　B.21 cm　　C.24 cm　　D.19.5 cm

3.如图,与左图中的三角形相似的是　　(　　)

4.如果三角形的每条边都扩大为原来的3倍,那么三角形的每个角　　(　　)

A.都扩大为原来的3倍

B.都扩大为原来的6倍

C.都扩大为原来的9倍

D.都与原来相等

5.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且将这个四边形分成①②③④四个三角形,若OA∶OC=OB∶OD,则下列结论中一定正确的是　　(　　)

A.①与②相似　　B.①与③相似

C.①与④相似　　D.②与④相似

6.在△ABC和△A1B1C1中,∠A=∠A1,=,可得出△ABC　　　　△A1B1C1,理由是　　　　　　　　. 

7.△ABC的三边长分别为2,,,△A1B1C1的两边长分别为1和,当△A1B1C1的第三边长为　　　　时,△ABC∽△A1B1C1. 

8.已知线段AB,CD相交于点O,AO=3,OB=6,CO=2,则当CD=　　　　时,AC∥BD. 

9.如图,已知==,∠BAD=20°,求∠CAE的大小.

10.如图,点C,D在线段AB上,且△PCD是等边三角形.

(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB?

(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.

【能力提升】

11.如图,在△ABC中,点P在边AB上,在下列四个条件中:①AP∶AC=AC∶AB；②AC2=AP·AB；③AB·CP=AP·CB.能满足△APC和△ACB相似的有　　(　　)

A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个

12. 如图,D是∠ABC平分线上的一点,AB=15 cm,BD=12 cm,要使△ABD∽△DBC,则BC的长

为　　　　cm. 

13.如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端分别在CB,CD上滑动,那么当CM为多少时,△ADE与△MNC相似?

【拓展探究】

14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.若△BPQ与△ABC相似,求t的值.

【答案与解析】

1.C解析:△MNP是等腰三角形,底角是75°,则顶角是30°,C中三角形与△MNP的三角对应相等,且夹30°角的两边对应成比例,所以两个三角形相似.故选C.

2.B解析:根据题意,这两个相似三角形的相似比是15∶5=3∶1,因此所求最长边长是63÷3=21(cm).故选B.

3.B解析:设小正方形的边长为1,那么已知三角形的三边长分别为,2,,所以三边之比为1∶2∶,A中三角形的三边长分别为2,,3,三边之比为∶∶3,故此选项错误；B中三角形的三边长分别为2,4,2,三边之比为1∶2∶,故此选项正确；C中三角形的三边长分别为2,3,,三边之比为2∶3∶,故此选项错误；D中三角形的三边长分别为,,4,三边之比为∶∶4,故此选项错误.故选B.

4.D解析:若三角形的每条边都扩大为原来的3倍,则两个三角形的对应边成比例,则这两个三角形相似,由相似三角形的对应角相等可得三角形的每个角都与原来相等.故选D.

5.B解析:∵OA∶OC=OB∶OD,∠AOB=∠COD(对顶角相等),∴①与③相似.故选B.

6.∽　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

7.解析:由三边对应成比例的两个三角形相似,易得相似比为,故要使△ABC和

△A1B1C1的三边成比例,则第三边长为2÷=.故填.

7. 6解析:因为两条线段相交,对顶角相等,所以=时,△AOC∽△BOD,所以∠A=∠B,所以AC∥BD,故此时=,所以OD=4.所以CD=CO+OD=2+4=6.故填6.

9.解:∵==,∴△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE=20°.

10.解:(1)∵△PCD是等边三角形,∴PC=CD=PD,∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°,∴∠PCA=

∠PDB=120°,∴当=时,△ACP∽△PDB,即=,∴当CD2=AC·DB时,△ACP∽△PDB.　

(2)∵△PDB∽△ACP,∴∠BPD=∠A.∴∠APC+∠BPD=∠APC+∠A=∠PCD=60°,∴∠APB=∠APC+∠BPD+∠CPD=60°+60°=120°.

11.B解析:因为∠A是△APC和△ACB的公共角,所以夹这个角的两条边对应成比例时,这两个三角形相似,所以AP∶AC=AC∶AB,即AC2=AP·AB.故选B.

12.9.6解析:∵△ABD∽△DBC,∴=,∴BD2=AB·BC.∵AB=15 cm,BD=12 cm,∴BC=9.6 cm.故填9.6.

13.解:设CM的长为x.在Rt△MNC中,∵MN=1,∴NC=.①当Rt△AED∽Rt△CMN时,有=,即=,解得x=或x=-(不合题意,舍去)；②当Rt△AED∽Rt△CNM时,有=,即=,解得x=或x=-(不合题意,舍去).综上所述,CM=或时,△AED与△MNC相似.

14.解:①当△BPQ∽△BAC时,易知=,又BP=5t cm,QC=4t cm,AB=10 cm,BC=8 cm,∴=,∴t=1.②当△BPQ∽△BCA时,易知=,∴=,∴t=.∴t=1或时,△BPQ与△ABC相似.

　本节课通过复习全等三角形的判定方法,类比猜想SSS能否证明三角形相似,学生迅速完成由旧知识向新知识的转化,激发了学生学习本节课的兴趣,达到了较好的导入效果.在探究判定定理的证明过程中,教师以小问题的形式引导,层层深入分析证明定理的思路,降低了学习难度,再通过小组合作交流完成定理的证明过程,学生在课堂上思维活跃,合作意识较强,顺利完成判定定理1的证明,为探究相似三角形的判定定理2打下了基础,降低了难度.在整个教学过程中注重学生思维能力的提升及知识的形成过程.

　本节课的难点是判定定理的证明,教学过程中教师以小问题的形式,引导学生分析证明方法,利于突破难点,但是在实际操作中,学生第一次遇到截取、作平行线这样的辅助线,不容易理解和掌握,在分析辅助线的作法时有些粗糙,造成课堂气氛只是部分学生活跃,在判定定理2的证明过程中部分学生出现困难,不能类比判定定理1的证明顺利完成.