初中数学人教版九年级下册27.3 位似公开课教案

第二十七章  相似

27.3  位似

课时2 平面直角坐标系中的位似变换

【知识与技能】

　1.了解用坐标描述位似变换的基本原理,理解以原点为位似中心的坐标变化规律.

　2.能利用原点为位似中心的坐标变化规律找出对应点的坐标.

　3.能运用位似原理作出位似图形.

【过程与方法】

　1.进一步提高学生利用图形的变换解决问题的能力及小组合作、共同探究的能力,养成良好的数学思维习惯.

　2.通过总结平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同,进一步理解图形变换的区别.

　3.让学生在应用位似知识解决问题的过程中,体验数形结合思想方法在解题中的应用.

【情感态度与价值观】

　1.使学生亲身经历坐标系下位似变换的基本原理,感受数学学习的应用性和挑战性.

　2.经历坐标系下画位似图形的过程,培养学生动手操作的良好习惯,培养学生的数学应用意识.

　3.进一步体验合作互助及交流能力,感受数学创造的乐趣,增强学好数学的信心.

　运用坐标系下的位似变换原理作出位似图形.

　把一个图形放大或缩小后,理解点的坐标变化的规律.

多媒体课件.

导入一:

　【复习提问】　

　 (1)什么是位似图形?位似图形有什么性质?

　 (2)如何把一个图形放大或缩小?

　 (3)作位似图形需要注意什么?

　【师生活动】　学生思考回答,教师点拨并补充.

导入二:

　 完成下列作图.

　如图,△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3),B(1,1),C(5,1).

　(1)将△ABC向左平移3个单位长度得到△A1B1C1,写出A1,B1,C1的坐标；

　(2)写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的三个顶点A2,B2,C2的坐标；

　(3)将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3,写出点A3,B3,C3的坐标.

　【师生活动】　学生通过平移、对称、旋转的规律回答变化后的坐标,教师点评,导入新课.

　　[过渡语]　在平面直角坐标系中,可以用坐标表示平移、旋转、对称等变换,类似地,位似作为一种图形变换,也可以用图形坐标之间的关系来表示,这就是我们今天要探究的内容.

　[设计意图]　通过复习回顾位似图形的有关知识,为本节课的学习做好铺垫,以实例回顾平移、轴对称、旋转(中心对称)等变换的坐标表示,体会数与形之间的联系,激发学生探究用坐标规律表示位似的兴趣.

一、            位似图形的坐标

　(1)如图,在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为,把线段AB缩小.观察对应点之间坐标的变化,你有什么发现?

　(2)如图,△AOC三个顶点的坐标分别为A(4,4),O(0,0),C(5,0).以点O为位似中心,相似比为2,将△AOC放大.观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现?

　思路一

　【师生活动】　学生在课前准备的坐标系下动手画图,然后小组交流结果.教师在巡视过程中及时关注和提醒学生画出的位似图形是否有两种,对学生展示的结果点评.

　观察各对应顶点坐标之间的关系,小组合作交流,师生共同归纳结论.

　【问题】　运用这个规律时有什么限制?

　一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).

　思路二

　教师引导思考、操作、演示.

　(1)在坐标系下画以原点为位似中心的图形,你能画出几个?如何画?(如图)

　　　　　　　　　　　　（1）　　　　　　　　　　　　（2）

　(2)在课前准备的坐标系下分别画出位似图形.

　(3)图(1)中点A',B'的横、纵坐标与点A,B的横、纵坐标之间有什么关系?

　(利用相似可得点A',B'的横、纵坐标是点A,B的横、纵坐标的)

　(4)图(1)中点A″,B″的横、纵坐标与点A,B的横、纵坐标之间有什么关系?

　(利用相似可得点A″,B″的横、纵坐标的绝对值是点A,B的横、纵坐标的)

　(5)在图(2)中点A″,C'的横、纵坐标与点A,C的横、纵坐标之间有什么关系?

　(6)你能归纳关于原点对称的图形各对应顶点坐标之间的关系吗?

　【师生活动】　学生在教师的引导下,画出图形,证明对应顶点之间的关系,最后归纳总结结论,教师引导学生思考,对画图及回答作出点评,然后课件展示图形变化过程中坐标之间的变化,最后师生共同归纳总结结论.

　【课件展示】　一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).

　[设计意图]　学生通过动手操作画出图形,通过观察、讨论,得出以原点为位似中心的图形的对应点之间的坐标规律,学生经历知识的形成过程,体验成功的快乐,增强学生学习数学的自信心,同时培养学生归纳总结能力,体会从特殊到一般及数形结合在数学中的应用.

二、例题讲解

　　如图,△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-2,0),O(0,0),以原点O为位似中心,画一个三角形,使它与△ABO的相似比为.

　【思考】　(1)所要画的是三角形,所以解决问题的关键是确定哪些点的坐标?

　(2)确定这些点的坐标与已知点的坐标之间有什么关系?如何确定这些点的坐标?

　【师生活动】　学生独立思考后,画出图形,小组交流答案,学生展示结果,教师点评.

　【追加提问】　你能总结画一个图形以原点为位似中心的位似图形的步骤吗?

　学生小组交流,教师补充,归纳画图步骤:

　(1)根据以原点为位似中心的图形坐标变化规律,求出各顶点的坐标；

　(2)在坐标系下根据各顶点坐标描出各点；

　(3)依次连接各顶点可得所求作的图形.

　　如图,正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形,点F的坐标为(-1,1),点C的坐标为(-4,2),求这两个正方形的位似中心的坐标.

　【教师引导分析】

　(1)两个位似图形的特征是什么?

　(每对对应点与位似中心共线；对应线段平行或在同一条直线上)

　(2)位似中心的位置有几种?哪几种?

　(两种,位似图形在位似中心的同侧或异侧)

　(3)观察图形,当位似中心在位似图形同侧时,位似中心是不是在特殊直线上?

　(DG,AO在x轴上,故位似中心在x轴上)

　(4)当位似中心在位似图形同侧时,位似中心还在哪条与已知有关的直线上?

　(过对应点C,F所在的直线上或过对应点B,E所在的直线上)

　(5)当位似中心在位似图形同侧时,如何求位似中心的坐标?

　(求直线CF(或BE)与x轴的交点坐标)

　(6)观察图形当位似中心在位似图形异侧时,位似中心在什么位置?

　(直线不唯一.直线OC,DE的交点)

　(7)当位似中心在位似图形异侧时,如何求位似中心的坐标?

　(求直线OC与直线DE的交点坐标,直线不唯一)

　解:①当两个位似图形在位似中心同侧时,位似中心就是CF与x轴的交点.

　设直线CF的解析式为y=kx+b,将C(-4,2),F(-1,1)的坐标分别代入,得

　解得

　即y=-x+,令y=0得x=2,

　∴位似中心的坐标是(2,0).

　②当位似中心在两个正方形之间时,

　可求直线OC的解析式为y=-x,直线DE的解析式为y=x+1,

　得

　解得

　即位似中心的坐标为.

　∴位似中心的坐标为(2,0)或.

　[设计意图]　通过例题,巩固位似图形对应点的坐标之间的关系,让学生感受运用新知识解决问题的简捷性,从而获得成功感；例题2是用坐标描述位似图形的拓展,让学生体会位似中心不在坐标原点的有关计算,开阔了学生视野,加强学生对前后知识之间的联系,体会数形结合思想在数学中的应用.

三、平移、旋转、轴对称、位似四种变换的异同

　　[过渡语]　我们已经学习了平移、轴对称、旋转和位似等图形的变化方式,你能在下图的图案中找到它们吗?四种变换有什么异同?

　【师生活动】　学生小组合作交流后回答,教师对学生的回答点评,观察角度不同,学生的答案也不同.

　【四种变换的异同】　图形经过平移、旋转、轴对称后,图形的位置虽然改变了,但是图形的大小和形状没有改变,即两个图形是全等的；而图形经过位似变换后,图形是相似的.

　[设计意图]　设计开放性的题目让学生回顾思考各种图形变换,并归纳异同,将平移、旋转、轴对称和位似联系,完善认知结构,与课前导入首尾呼应,使教学过程通顺、流畅.

　[知识拓展]　(1)以原点为位似中心的位似变换,其对应点的坐标关系可表示为(新图形与原图形的相似比为k):与P(x,y)位于位似中心同侧的对应点P1(kx,ky)；与P(x,y)位于位似中心异侧的对应点P2(-kx,-ky).当k>1时,是将图形扩大；当0<k<1时,是将图形缩小.

　(2)在直角坐标系中,把一个图形进行平移、轴对称、旋转和位似变换,其对应点的坐标都有各自的变化规律:①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离.②轴对称变换,以x轴为对称轴,则对应点的横坐标相等,纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴,则对应点的纵坐标相等,横坐标互为相反数.③在旋转变换中,一个图形绕原点旋转180°,则旋转前后两个图形上的对应点的横坐标与纵坐标分别互为相反数.④位似变换中,当以原点为位似中心时,变换前后两个图形上的对应点的横(或纵)坐标之比的绝对值等于相似比.

　1.位似变换中对应点坐标的变化规律:一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).

　2.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同.

　第2课时

　1.位似图形的坐标

　2.例题讲解

　例1

　例2

　3.平移、旋转、轴对称、位似四种变换的异同

一、教材作业

二、课后作业

【基础巩固】

1.将平面直角坐标系中某个图案的各点坐标作如下变化,其中属于位似变换的是　　(　　)

A.将各点的纵坐标乘2,横坐标不变

B.将各点的横坐标乘2,纵坐标不变

C.将各点的横坐标、纵坐标都乘2

D.将各点的纵坐标都减2,横坐标都加2

2.如图,在平面直角坐标系中,以原点为位似中心,将△AOB扩大为原来的2倍,得到△OA'B'.若点A的坐标是(1,2),则点A'的坐标是　　(　　)

A.(2,4)　　B.(-1,-2)C.(-2,-4)　　D.(-2,-1)

3.如图,在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为　　(　　)

A.(2,1)　　B.(2,0)　　C.(3,3)　　D.(3,1)

4.在平面直角坐标系中,已知E(-4,2),F(-2,-2),以原点O为位似中心,相似比为,把△EFO缩小,则点E的对应点E'的坐标是　　(　　)

A.(-2,1)　　B.(-8,4)C.(-8,4)或(8,-4)　　D.(-2,1)或(2,-1)

5.如图是△AOB和△COD,它们是位似图形,则△COD与△AOB的相似比是　　　　. 

6.△ABO的顶点坐标分别为A(-3,3),B(3,3),O(0,0),试将△AOB缩小为△A'OB',使△A'B'O与△ABO的相似比为1∶2,且A与A'在O点同侧,则A'点的坐标为　　　　,B'点的坐标为　　　　. 

7.如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶,点A的坐标为(1,0),则E点的坐标为　　　　. 

【能力提升】

8.某学习小组在讨论“变化的鱼”时,知道大鱼与小鱼是位似图形(如图),则小鱼上的点(a,b)对应大鱼上的点是　　　　. 

9.如图，在平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别为(3,0),(2,-3),△AB'O'是△ABO关于A的位似图形,且O'的坐标为(-1,0),则点B'的坐标为　　　　. 

10.如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-2,1),C(-5,2).

(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘-2,得到对应的点A2,B2,C2,请画出

△A2B2C2；

(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比,即∶=　　　　(不写解答过程,直接写出结果). 

【拓展探究】

11.如图，在△ABC中,BC=1,AC=2,∠C=90°.

(1)在图(1)中,画△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC,且相似比为2∶1；

(2)若将(1)中△A'B'C'称为“基本图形”,请你利用“基本图形”,借助旋转、平移或轴对称变换,在图(2)中设计一个以点O为对称中心,并且以直线l为对称轴的图案.

【答案与解析】

1.C解析:将各点的纵坐标乘2,横坐标不变,是将图形竖直方向拉伸,将各点的横坐标乘2,纵坐标不变,是将图形水平方向拉伸,图形的形状发生变化,故A,B不属于位似变换；将各点的纵坐标都减2,横坐标都加2,是将图形平移,故D不属于位似变换；将各点的横坐标、纵坐标都乘2,是以坐标原点为位似中心的位似变换.故选C.

2.C解析:根据以原点为位似中心的坐标变化规律,可得△AOB扩大为原来的2倍,对应点的坐标为(2,4)或(-2,-4).故选C.

3.A解析:∵线段CD和线段AB关于原点位似,∴△ODC∽△OBA,∴==,即==,

∴CD=1,OD=2,∴C(2,1).故选A.

4.D解析:根据题意得点E的对应点E'的坐标是(-2,1)或(2,-1).故选D.

5.3∶5解析:由图可知=,即为两三角形的相似比.

6.　解析:∵△ABO的顶点坐标分别为A(-3,3),B(3,3),O(0,0),△AOB缩小为△A'OB',使△A'B'O与△ABO的相似比为1∶2,且A与A'在O点同侧,∴A'点的坐标为,B'点的坐标为.

7.(,)解析:∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,O为位似中心,相似比为1∶,∴OA∶OD=1∶.∵点A的坐标为(1,0),即OA=1,∴OD=.∵四边形ODEF是正方形,

∴DE=OD=.∴E点的坐标为(,).

8.(-2a,-2b)解析:根据题意易得两个图形是以原点O为位似中心的位似图形,且大鱼与小鱼的相似比是2∶1,∴对应点的坐标是(-2a,-2b).

9.解析:如图,过点B作BE⊥x轴于点E,过点B'作B'F⊥x轴于点F.∵点A,B的坐标分别为(3,0),(2,-3),△AB'O'是△ABO关于点A的位似图形,且O'的坐标为(-1,0),

∴==.由题知AE=1,EO=2,BE=3,∴==,∴=,解得AF=.∴EF=,∴FO=2-=.

由=,解得B'F=4,则点B'的坐标为.

10.解:(1)如图的△A1B1C1即为所求.　(2)如图的△A2B2C2即为所求.　(3)1∶4

11.解:答案不唯一.(1)如图(1).　(2)如图(2).

　通过复习回顾位似图形的有关知识,为本节课的学习做好铺垫,以实例回顾平移、轴对称、旋转等变换的坐标表示,体会数与形之间的联系,激发学生探究用坐标规律表示位似图形的兴趣.本节课的重点是探究位似图形坐标之间的规律,并能应用规律解决有关问题,通过学生动手操作、小组合作交流,共同归纳出结论,在学生探究过程中突出了学生是课堂的主体,让学生在课堂上展示自己,增强自信心.例题的设计把本节课的内容进行了拓展,即位似中心不是坐标原点的情况,联系了前后知识,开阔了学生的视野,拓展了学生的思维,提高数学思维能力.

　本节课是位似的第2课时,主要探究位似图形坐标的特征,并能应用探索的规律解决有关问题,在教学设计中关注学生的课堂参与,表面看课堂气氛活跃了,但是只有部分学生积极发言,调动学生的积极性的技巧还存在问题,另外例2的设计目的是把本节课知识进行拓展,但题的难度有点大,给予讨论的时间不够长,有些学生没有真正掌握,在以后的教学中,要注重难易程度的把握.