初中人教版28.1 锐角三角函数精品教案设计

第二十八章  锐角三角函数

28.1  锐角三角函数

课时1 正弦函数

【知识与技能】

　1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的锐角确定时,它的对边与斜边的比是固定值,从而引出正弦的概念.

　2.理解锐角的正弦的概念,并能根据正弦的概念进行计算.

【过程与方法】

　1.通过探究锐角的正弦的概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳推理能力.

　2.通过锐角的正弦的学习,逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.

【情感态度与价值观】

　1.通过锐角的正弦的概念的建立,体会从特殊到一般的数学思想方法,渗透数形结合思想.

　2.让学生在通过探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的快乐,感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.

　3.通过主动探究,合作交流,感受探索的乐趣和成功的体验,体会数学的合理性和严谨性,使学生养成积极思考的好习惯,同时培养学生的团队合作精神.

　理解正弦函数的意义,并会求锐角的正弦值.

　理解直角三角形的锐角确定时,它的对边与斜边的比是固定值.

多媒体课件.

导入一:

　意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜,其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1 m.1972年比萨地区发生地震,这座高54.5 m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立,但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2 m,而且还在继续倾斜,有倒塌的危险.当地从1990年起对斜塔维修纠偏,2001年竣工,此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8 cm.

　【师生活动】　学生欣赏比萨斜塔图片,教师介绍比萨斜塔有关知识,然后引出本章课题.

　　[过渡语]　你能用塔身中心线与垂直中心线所成的角来描述比萨斜塔的倾斜程度吗?通过本章的学习,你将能够解决这个问题.

导入二:

　【复习提问】

　1.直角三角形有哪些特殊性质?

　2.有一个锐角是30°的直角三角形有什么特殊性质?

　3.有一个锐角是45°的直角三角形有什么特殊性质?

　【师生活动】　学生思考回答,教师点评.

导入三:

　操场上有一个旗杆,老师让小明去测量旗杆的高度.

　小明在离旗杆底部10米远处目测旗杆的顶部,视线与水平线的夹角为34°,并且已知目高为1.5米,然后他很快就能算出旗杆的高度了.

　　[过渡语]　你想知道小明怎样算出的吗?这就是我们即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测量物体的高度.今天我们学习锐角三角函数的第一种——锐角的正弦.

　[设计意图]　通过大家熟知的意大利比萨斜塔导出本章学习内容,激发学生学习本章的求知欲,同时又以生活实例测旗杆的高度导入本课时的内容,让学生体会测量旗杆的高度不仅可以用上章所学习的相似三角形,还可以应用本章的锐角三角函数,激发学生的学习兴趣,体会生活与数学之间的密切联系.同时由复习导入新课,为本节课的学习做好铺垫.

一、共同探究

　思路一

　为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角(∠A)为30°,为使出水口的高度为35 m,需要准备多长的水管?

　思考一

　(1)你能不能把该实际问题转化为几何语言?

　[在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35 m,求AB(如图)]

　(2)你能求出AB的长度吗?为什么?

　(根据直角三角形中30°的锐角对应的直角边等于斜边的一半,可得AB=2BC=70（m）)

　(3)计算题目中∠A的对边与斜边的比是多少.

　(4)在该题目中,如果出水口的高度为50 m,那么需要准备多长的水管?此时的值是多少?需要准备100 m长的水管,=

　(5)出水口的高度改变,∠A不变时,∠A的对边与斜边的比是否变化?不变,都等于

　【师生活动】　学生独立思考后,小组交流答案,学生展示结果,教师点评,归纳结论.

　【结论】　在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于.

　思考二

　(1)如图,任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=45°,你能计算出∠A的对边与斜边的比吗?

　(2)通过计算,你能得到什么结论?

　【师生活动】　学生思考后,小组合作交流,小组代表展示成果,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评,共同归纳结论.

　【结论】　在直角三角形中,如果一个锐角等于45°,无论这个直角三角形大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于.

　思考三

　【猜想】　一般地,当∠A取其他一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?

　如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,那么与有什么关系?用语言叙述你的结论.

　【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,共同得出结论,教师对学生的展示进行点评.

　【板书】　因为∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,

　所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',

　因此,=,即=.

　【课件展示】　在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都不变,是一个固定值.

　思路二

　动手操作:

　(1)测量自己手中一副三角板中30°,45°,60°角所对的直角边与斜边的长度,并计算它们的比值.其中一同学测量、计算教师手中的三角板中各角所对的直角边与斜边的比值.

　(2)小组内交流计算结果,三角板的大小不同,30°,45°,60°角所对的直角边与斜边的比有什么特点?你能得到什么结论?

　【师生活动】　学生动手测量、计算,小组内交流结果,共同归纳结论,教师及时发现学生存在的问题并及时纠正,对学生的结论进行点拨.

　【结论】　不论三角板大小如何,30°,45°,60°角的对边与斜边的比都是一个固定值.

　【猜想】　如果是任意一个直角三角形,当一个锐角的度数固定时,这个角的对边与斜边的比是否也是固定值呢?

　【验证】　如图,Rt△ABC和Rt△A'B'C',∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,那么与有什么关系?用语言叙述你的结论.

　【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,共同得出结论,教师对学生的展示进行点评.

　【板书】　因为∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,

　所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',

　因此,=,即=.

　【课件展示】　在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都不变,是一个固定值.

　[设计意图]　思路一由实际问题入手,计算直角三角形中特殊锐角所对的直角边与斜边的比是固定值,然后类比探索出直角三角形中锐角确定时,它所对的直角边与斜边的比是固定值；思路二通过操作、测量、猜想、验证,得出结论,让学生体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳总结能力.

二、形成概念

　　[过渡语]　在直角三角形中,锐角的度数一定时,它所对的直角边与斜边的比是固定值,这个固定值就是这个锐角的正弦值.

　【课件展示】　如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sin A,即sin A==.

　【思考】　

　(1)当∠A=30°或∠A=45°时,∠A的正弦为多少?当∠A=30°时,sin A=sin 30°=；当∠A=45°时,sin A=sin 45°=

　(2)∠A的正弦sin A表示的是sin与A的乘积还是一个整体?(sin A表示的是一个整体)

　(3)当∠A的大小变化时,sin A是否变化?(sin A随着∠A的大小变化而变化)

　(4)sin A有单位吗?(sin A是一个比值,没有单位)

　(5)∠B的正弦怎么表示?

　(6)要求一个锐角的正弦值,我们需要知道直角三角形中的哪些边?(需要知道这个锐角的对边和斜边)

　【师生活动】　学生思考,小组合作交流,小组代表回答问题,教师点拨.

　[设计意图]　在一系列的问题解决中,经历从特殊到一般建立数学概念的过程,让学生理解、认识正弦的概念及写法和意义,教师强调概念中需注意的事项,加深对正弦概念的理解和掌握.

三、例题讲解

　　如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sin A和sin B的值.

　教师引导思考:

　(1)求sin A实际上要确定什么?依据是什么?sin B呢?

　(2)sin A,sin B的对边和斜边是已知的吗?

　(3)直角三角形中已知两边如何求三角形的第三边?

　【师生活动】　学生思考后回答问题,然后书写解题过程,小组交流结果,小组代表板书过程,教师规范解题步骤.

　【课件展示】　解:如图(1),在Rt△ABC中,由勾股定理得AB===5.

　因此sin A==,sin B==.

　如图(2),在Rt△ABC中,由勾股定理得AC===12.

　因此sin A==,sin B==.

　[设计意图]　学生在教师的引导下,根据正弦的概念求出角的正弦值,教师规范学生的解题过程,让学生体会数学的严谨性,培养学生分析问题和解决问题的能力.

　[知识拓展]　(1)正弦是一个比值,没有单位.

　(2)正弦值只与角的大小有关,与三角形的大小无关.

　(3)sin A是一个整体符号,不能写成sin ·A.

　(4)当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如sin∠ABC.

　(5)sin2A表示(sin A)2,不能写成sin A2.

　1.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.

　2.正弦的定义:在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sin A,即sin A==.

　第1课时

　1.共同探究

　2.形成概念

　在Rt△ABC中,∠C=90°,则sin A==.

　3.例题讲解

　例题

一、教材作业

二、课后作业

【基础巩固】

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=1,则sin B的值为　　(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.2

2.三角形在正方形网格(每个小正方形的边长均为1)中的位置如图,则sin α的值是　　(　　)

A.　　　　　B.C.　　　　　D.

3.在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sin A=,则BC等于　　(　　)

A.45　　B.5　　C.　　D.

4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,则sin B的值为　　(　　)

A.　　B.　　C.　　D.1

5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,若AC=,BC=2,则sin∠ACD的值为　　(　　)

A.　　B.　　C.　　D.

6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=8,则sin A=　　　　. 

7.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,sin A=,则AB=　　　　. 

8.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,且AB=5,BC=3,则sin∠BAC=　　　　,

sin∠ADC=　　　　,sin∠ABC=　　　　. 

9.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1 cm,BC=2 cm,求sin A和sin B的值.

10.在Rt△ABC中,∠C=90°.

(1)若sin A=,BC=9,求AB的长；

(2)若sin B=,AB=10,求BC的长.

【能力提升】

11.如图,圆O的直径CD=10 cm,且AB⊥CD,垂足为P,AB=8 cm,则sin∠OAP=　　　　. 

12.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=20,则sin B=　　　　. 

13.如图,菱形ABCD的周长为40 cm,DE⊥AB,垂足为E,sin A=.则下列结论正确的有　　　　.(填序号) 

①DE=6 cm；②BE=2 cm；③菱形的面积为60 cm2；④BD=4 cm.

14.如图,将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠,B点恰好落在AD边上,设此点为F,若AB∶BC=4∶5,求sin∠CFD,sin∠DCF的值.

【拓展探究】

15.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD为AC边上的中线,求sin∠ABD的值.

【答案与解析】

1.A解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,sin B==.故选A.

2.C解析:观察网格图,可知在直角三角形中,α的对边长为3,邻边长为4.根据勾股定理可得斜边长为5,所以根据正弦定义可得sin α=.故选C.

3.B解析:∵sin A==,AB=15,∴BC=5.故选B.

4.C解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC.设BC=a,则AB=2a,根据勾股定理可得AC===a,∴sin B===.故选C.

5.A解析:在Rt△ABC中,根据勾股定理可得AB===3.由题意知

∠B+∠BCD=90°,∠ACD+∠BCD=90°,∴∠B=∠ACD.∴sin∠ACD=sin B==.故选A.

6.解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=8,∴BC===,

∴sin A==.

7. 6解析:∵sin A===,∴AB=6.

8.　　解析:∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵AB=5,BC=3,∴sin∠BAC==,

AC===4,∴sin∠ADC=sin∠ABC==.故依次填,,.

9.解:由勾股定理可得AB==(cm),所以sin A===,sin B===.

10.解:(1)∵sin A==,又BC=9,∴AB=15. 　(2)∵sin B==,又AB=10,∴BC=8.

11.解析:∵AB⊥CD,∴AP=BP=AB=×8=4(cm).在Rt△OAP中,OA=CD=5 cm,

∴OP==3 cm,∴sin∠OAP==.

12.解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,即=.设CB=4x,则AB=5x,∴根据勾股定理可得AC=3x.∴sin B==.

13.①②③解析:∵菱形ABCD的周长为40 cm,∴AD=AB=BC=CD=10 cm.∵DE⊥AB,垂足为E,∴sin A===,∴DE=6 cm,∴AE=8 cm,∴BE=2 cm.∴菱形的面积为AB×DE=10×6=60(cm2).在Rt△BED中,BE=2 cm,DE=6 cm,∴BD=2 cm.∴①②③正确,④错误.

14.解:由AB∶BC=4∶5,可设AB=4k,BC=5k,由折叠可知CF=CB=5k.在矩形ABCD中,

CD=AB=4k.在Rt△CDF中,由勾股定理可得DF==3k,∴sin∠CFD==,

sin∠DCF==.

15.解:如图,作DE⊥AB于E.设BC=AC=2x.∵BD为AC边上的中线,∴CD=AD=AC=x.在

Rt△BCD中,根据勾股定理,得BD=x.∵∠C=90°,AC=BC,∴∠A=∠CBA=45°,又∵DE⊥AB,∴∠A=∠EDA=45°,∴AE=DE=x.在Rt△BDE中,sin∠ABD===.

　通过复习含特殊角的直角三角形的性质,为本节课的探究做好铺垫,用具体情景引入新课,把教学内容转化为具有潜在意义的问题,让学生带着问题进入课堂,然后用具体实例的探究,层层递进,由特殊到一般,引导学生归纳总结出:直角三角形的锐角确定时,它的对边与斜边的比是固定值的特点,从而自然引出正弦的概念,顺理成章完成知识的迁移,学生通过动手操作、合作探究、归纳总结等数学活动突破了本节课的重点和难点,培养了学生发现问题、探究思考与合作交流的能力.在课堂上,学生参与意识较强,课堂气氛活跃,让不同的学生得到不同的发展,突出了学生在课堂上的主体作用.

　本节课的重点是探究直角三角形中锐角确定时,它的对边和斜边的比是固定值,由此归纳总结正弦定义,在教学设计中,注重知识间的联系,由前边所学知识自然推导结论,由结论自然导出正弦的概念,但在授课过程中忽略了学生的认知能力,部分学生对锐角的正弦的理解有困难,在以后的教学中,给出正弦的定义后,应给出几个简单练习加深学生对概念的理解和掌握.