人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用优秀教学设计

这是一份人教版九年级下册28.2 解直角三角形及其应用优秀教学设计，共13页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观，复习提问，师生活动，课件展示，基础巩固，能力提升等内容，欢迎下载使用。
第二十八章  锐角三角函数28.2  解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例课时2  俯角、仰角问题【知识与技能】　1.了解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等有关概念,知道坡度与坡角之间的关系.　2.经历对实际问题的探究,会利用解直角三角形的知识解决实际问题.　3.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题.【过程与方法】　1.通过画示意图,将实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.　2.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,体会数形结合思想的应用.　3.通过探究将实际问题转化为数学问题的过程,培养学生分析问题和解决问题的能力,培养学生思维能力的灵活性.【情感态度与价值观】　1.学生积极参与探索活动,并在探索过程中发表自己的见解,体会三角函数是解决实际问题的有效工具.　2.通过探索三角函数在实际问题中的应用,感受数学来源于生活又应用于生活以及勇于探索的创新精神.　3.让学生在自主探索、合作交流中获得成功的体验,建立自信心,让学生在解决问题的过程中体会学数学、用数学的乐趣.    　能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系.    正确理解题意,将实际问题转化为数学模型的建模过程.     多媒体课件.    导入一:　【复习提问】　1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.　(1)三边a,b,c有什么关系?　(2)∠A,∠B有怎样的关系?　(3)边与角之间有怎样的关系?　2.解直角三角形应具备怎样的条件?　【师生活动】　学生回答问题,教师点评归纳.导入二:　如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子AB的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一架长6m的梯子.　(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙?　(2)当梯子底端距离墙面2.4m时,α等于多少度?此时人能否安全使用这架梯子?　【师生活动】　学生小组内讨论解题思路,小组代表回答解题思路,教师巡视中帮助有困难的学生,对学生的回答作出点评,然后导出新课.　[设计意图]　通过复习解直角三角形的有关知识,为本节课的用解直角三角形解决实际问题做好铺垫,以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,以解决生活实际问题引出新课,激发学生的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义.  　　[过渡语]　刚才的导入中用解直角三角形的知识解决了实际生活问题,在生活实际中还有许多问题可以用解直角三角形的知识解决,让我们一起去探究吧!一、活动一　　2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行,如图,当组合体运行到地球表面P点的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400km,π取3.142,结果取整数)?　思路一　师生合作探究:　(1)从组合体上最远能直接看到的地球上的点,应该是视线与地球相切时的切点.　(2)根据题意画出平面图形.　(3)所要求的距离是图形中的哪条线段的长度?　(4)已知中有哪些条件?求弧长需要知道哪些条件?　(5)弧所对的圆心角在哪个三角形中?你能求出这个角的度数吗?　(如图②,☉O表示地球,点F是组合体的位置,FQ是☉O的切线,切点Q是从组合体中观测地球时的最远点.弧PQ的长就是地面上P,Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出∠POQ(即α)的度数)　【师生活动】　教师通过提出的问题引导学生分析思考,指导学生画出平面图形,分析已知条件和所求的结论,师生共同分析题意及解题思路后,学生独立完成并板书解题过程.　【课件展示】　解:设∠POQ=α,在图②中,FQ是☉O的切线,△FOQ是直角三角形.　∵cosα==≈0.9491,　∴α≈18.36°.　∴弧PQ的长为×6400≈×6400≈2051(km).　由此可知,当组合体在P点正上方时,从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km.　思路二　教师引导思考:　(1)要解决实际问题,首先要做什么?(将实际问题抽象成数学问题)　(2)如何根据题意画出平面图形?(地球平面图形是圆,组合体近似看作点)　(3)从组合体中看到的地球表面最远的点在什么位置?(过点作圆的切线,切点即为所求)　学生操作:画出平面示意图.　(4)最远点与P点的距离在示意图中指的是什么的长?　(5)如何求这段距离?和圆有什么关系?　(6)如何将所需数据转化为解直角三角形的知识?　【师生活动】　学生尝试根据图形写出解题思路,教师巡视过程中及时帮助有困难的学生,课件展示解题过程,规范解题格式.　【课件展示】　解答同思路一.　[设计意图]　引导学生画出示意图,把实际问题转化为数学问题,分析实际问题中的数量关系,利用解直角三角形的知识解决实际问题,让学生经历作图、分析过程,体会数形结合思想在数学中的应用,提高学生分析问题、解决问题的能力.二、活动二　【思考】　平时我们观察物体时,我们的视线相对于水平线来说可有几种情况?　【归纳】　视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角是仰角,视线在水平线下方的角是俯角.　热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高(结果取整数)?　教师引导分析:　(1)如何根据题意画出符合题意的几何图形?(画出示意图如图)　(2)分析题意,已知条件有哪些?　(3)你能直接求出AB的长吗?　(4)如何求出BC的长?(线段BD与线段CD的和)　(5)在Rt△ABD中,能否求线段BD的长?　(6)在Rt△ACD中,能否求线段CD的长?　【师生活动】　教师引导学生思考问题,然后独立完成解题过程,教师巡视过程中及时发现问题,并帮助有困难的学生解决问题,然后课件展示解题过程,规范解题格式.　【课件展示】　解:如图,α=30°,β=60°,AD=120.　∵tanα=,tanβ=,　∴BD=AD·tanα=120×tan30°　=120×=40,　CD=AD·tanβ=120×tan60°　=120×=120.　∴BC=BD+CD=40+120　=160≈277(m).　因此,这栋楼高约为277m.　[设计意图]　学生在教师设计的问题串的引导下思考,独立完成解题过程,进一步让学生体会将实际问题转化为数学问题的建模过程,培养学生建模思想,灵活应用解直角三角形知识解决有关线段的长的计算问题,提高学生的数学思维及解题能力.三、活动三:　【思考】　你能总结利用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程吗?　【师生活动】　学生思考后小组合作交流,共同归纳解题过程,教师对学生的回答以鼓励为主,将学生的回答补充完整.　【归纳】　　(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题)；　(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数解直角三角形；　(3)得到数学问题的答案；　(4)得到实际问题的答案.　[设计意图]　通过例题的探究,归纳解决实际问题的一般步骤,培养学生归纳总结能力和建模思想.　[知识拓展]　仰角与俯角都是视线与水平线的夹角.    　用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般过程:　(1)将实际问题抽象成数学问题(画出示意图,将其转化为解直角三角形的问题)；　(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形；　(3)得到数学问题的答案；　(4)得到实际问题的答案.    　　第1课时　1.活动一　2.活动二　3.活动三       一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.课外活动小组测量学校旗杆的高度.如图,当太阳光线与地面成30°角时,测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米,那么旗杆AB的高度是　　(　　)A.12米　　B.8米　　C.24米　　D.24米2.如图,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30米的B处,测得树顶A的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为　　(　　)A.米　　B.30sinα米C.30tanα米　　D.30cosα米3.如图,小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度,已知她与树之间的水平距离BE为5m,AB为1.5m(即小颖的眼睛到地面的距离),那么这棵树高是　　(　　)A.m　　B.mC.m　　D.4m4.一棵树因雪灾于A处折断,如图,测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米,∠ABC约45°,树干AC垂直于地面,那么此树在未折断之前的高度约为　　　　米(答案保留根号). 5.如图,两建筑物的水平距离BC为18m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°,则建筑物CD的高度为　　　　m. 6.如图,张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°,旗杆底部B点的俯角为45°.若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9米,旗杆台阶高1米,求旗杆顶点A离地面的高度.(结果保留根号)【能力提升】7.如图,小阳发现垂直于地面的电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=8米,BC=20米,CD与地面成30°角,且此时测得垂直于地面的1米杆的影长为2米,则电线杆的高度为　　(　　)A.9米　　B.28米C.(7+)米　　D.(14+2)米8.如图,在建筑平台CD的顶部C处,测得大树AB的顶部A的仰角为45°,测得大树AB的底部B的俯角为30°,已知平台CD的高度为5m,则大树的高度为　　　　m(结果保留根号). 9.如图,为了知道空中一静止的广告气球A的高度,小宇在B处测得气球A的仰角为18°,他向前走了20m到达C处后,再次测得气球A的仰角为45°,已知小宇的眼睛距地面1.6m,则此时气球A距地面的高度约为　　　　(结果精确到1m). 10.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高5米的小区超市,超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.(1)超市以上的居民住房采光是否受影响?为什么?(2)若要使超市以上的居民住房采光不受影响,两楼至少应相距多少米?结果保留整数,参考数据:sin32°≈,cos32°≈,tan32°≈【拓展探究】11.如图,在电线杆上的C处引拉线CE,CF固定电线杆,拉线CE和地面成60°角,在离电线杆6米的B处安置测角仪,在A处测得电线杆上C处的仰角为30°,已知测角仪AB高为1.5米,求拉线CE的长(结果保留根号).【答案与解析】1.B解析:在Rt△ABC中,BC=24米,tan∠ACB=,∴AB=BC·tan30°=24×=8(米).故选B.2.C解析:由题意得OB=30米,tanα=,∴OA=OBtanα=30tanα(米).故选C.3.A解析:在Rt△ACD中,∠CAD=30°,AD=BE=5m,∴CD=ADtan30°=5×=(m),∴CE=CD+DE=CD+AB=m.故选A.4.(4+4)解析:在△ACB中,∠C=90°,∵∠ABC=45°,∴∠A=45°,∴∠ABC=∠A,∴AC=BC.∵BC=4,∴AC=4.由AC2+BC2=AB2，得AB==4,∴此树在未折断之前的高度为(4+4)米.5.12解析:如图,过点D作DE⊥AB于点E,则四边形BCDE是矩形.根据题意得∠ACB=β=60°,∠ADE=α=30°,BC=18m,∴DE=BC=18m,CD=BE.在Rt△ABC中,AB=BC·tan∠ACB=18×tan60°=18(m).在Rt△ADE中,AE=DE·tan∠ADE=18×tan30°=6(m),∴DC=BE=AB-AE=18-6=12(m).6.解:如图,作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中,∵∠ACH=30°,tan30°=,∴AH=CH·tan30°=9×=3(米).在Rt△CHB中,∵∠HCB=45°,tan45°=,∴BH=CH·tan45°=9米,∴旗杆顶点A离地面的高度为AH+BH+1=10+3（米）.7.D解析:如图,延长AD交BC的延长线于F点,作DE⊥CF于E点.DE=8sin30°=4,CE=8cos30°=4.∵测得1米杆的影长为2米，∴EF=2DE=8,∴BF=BC+CE+EF=20+4+8=28+4,∴电线杆AB的高度是(28+4)=14+2(米).故选D.8.(5+5)解析:作CE⊥AB于点E.在Rt△BCE中,BE=CD=5m,CE==5m.在Rt△ACE中,AE=CE·tan45°=5m,∴AB=BE+AE=5+5（m）.9.11m解析:如图,过点A作AD⊥BC于点D,交FG于点E.∵∠AGE=45°, ∴AE=GE.在Rt△AFE中,设AE长是xm,则tan∠AFE=,即tan18°=,解得x≈9.6.由题意知ED=FB=1.6,∴AD≈9.6+1.6=11.2≈11(m).10.解:(1)受影响.理由如下:如图,延长光线交CD于F,作FE⊥AB于E.在Rt△AEF中, tan∠AFE=tan32°==≈,解得AE≈=9,故可得FC=EB=20-9=10>5,即超市以上的居民住房采光要受影响.　(2)要使采光不受影响,则EB=5米,AE=15米,tan32°=≈,解得EF≈24米,即要使超市以上的居民住房采光不受影响,两楼应至少相距24米.11.解:如图,过点A作AH⊥CD,垂足为H.由题意可知四边形ABDH为矩形,∠CAH=30°,∴DH=AB=1.5,AH=BD=6.在Rt△ACH中,tan∠CAH=,∴CH=AH·tan∠CAH,∴CH=6tan30°=6×=2.∵DH=1.5,∴CD=2+1.5.在Rt△CDE中,∵∠CED=60°,sin∠CED=,∴CE===4+(米).答:拉线CE的长为(4+)米.    　本节课的内容是应用解直角三角形的知识解决实际问题.教学的重、难点是建立数学模型,把实际问题转化为数学问题,通过对知识点的梳理、分析例题的解题思路、例题变式练习及巩固练习等教学设计,学生在教师的引导下,通过独立思考、自主学习、合作探究等数学活动,充分调动学生参与课堂的积极性,让学生敢于提出问题、分析问题,使不同层次的学生在数学课堂上都得到发展,提高了解决问题的能力,课堂上绝大部分学生能很好地掌握了如何构建模型的解决方法,很好地达到了本节课的教学目的.　本节课是锐角三角函数的应用举例,学生对教材例1画出示意图,建立数学模型的理解较难,给学生思考、交流时间较少,造成学生认为本节课的学习较难,失去了学习兴趣,在以后对例1的教学中,教师多设计几个问题引导学生思考,给学生较长时间交流、计算,把理解的难度通过问题降低.另外,对基础较差的学生,对该数学的应用不是那么得心应手,不会合理找出边角关系,所以在以后教学中不宜多讲,多给学生时间思考与交流.