人教版九年级下册29.1 投影优质课教案及反思

第二十九章  投影与视图

29.1  投影

课时1  平行投影与中心投影

【知识与技能】

　1.通过实践探索,了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念.

　2.了解平行投影和中心投影的含义,认识两者之间的区别.

　3.会在投影面上画出平行投影和中心投影.

【过程与方法】

　1.通过联系生活实际,初步感受平行投影和中心投影,体会数学与生活之间的密切联系.

　2.认识中心投影和平行投影的区别与联系,发展空间想象能力.

【情感态度与价值观】

　1.通过观察、分析、探究得出结论,激发学生学习数学的兴趣,培养学生观察能力和实践能力.

　2.使学生学会关注生活中有关投影的数学问题,提高数学的应用意识,增强学好数学的信心.

　理解平行投影和中心投影的特征.

　在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影.

多媒体课件.

导入一:

　【师生活动】　教师课件展示“鸟巢”“水立方”等建筑图片,学生观察欣赏.

　　[过渡语]　你注意过周围物体在日光或灯光下的影子吗?影子和物体有着怎样的联系呢?人们从光线照射物体会产生影子得到启发,得出了投影的有关知识,并用这些知识来绘制视图.在生产实践中,制造机器、建筑高楼、设计火箭……无一不和视图密切相关.本章我们将学习投影的有关知识,并借助投影认识视图.

导入二:

　你看过皮影戏吗?皮影戏又名“灯影子”,是我国民间一种古老而奇特的戏曲艺术,在关中地区非常流行.皮影戏演出简便,表演领域广阔,演技细腻,活跃于广大农村,深受农民的欢迎.

　【师生活动】　教师课件展示图片,学生欣赏图片,有条件的可以放映电影《小兵张嘎》部分片段——小胖墩和他父亲在日军炮台内为日本人表演皮影戏,简单介绍有关皮影戏的知识,导出本节课的课题.

导入三:

　北京故宫中的日晷闻名世界,是我国光辉灿烂的文化瑰宝.它是我国古代利用日影测定时刻的仪器,它由“晷面”与“晷针”组成,太阳光照在日晷中轴上产生投影,晷针的影子就会投向晷面,随着时间的推移,晷针的影子长度发生变化,晷针的影子在晷面上慢慢移动,聪明的古人以此来显示时刻.

　【师生活动】　教师展示图片,引入新课,学生观察思考,初步感知投影的概念.

　[设计意图]　通过欣赏大家熟悉的名建筑导出本章内容,让学生体会数学与生活之间的密切联系,激发学习本章的兴趣.学生通过观看电影片段或欣赏图片,了解中国传统文化,数学课堂上渗透德育教育,通过对皮影和日晷的介绍,让学生初步感知投影的概念,为下面的学习做好铺垫.

　　[过渡语]　影子随处可见,你能举出生活中关于物体在光线的照射下形成影子的实例吗?

一、认识概念

　思路一

　【师生活动】

　(1)学生举出物体在光线的照射下形成影子的例子,教师点评.

　(2)教师出示投影图片,让学生感受日常生活中的一些投影现象.

　(3)学生尝试总结什么是投影,互相补充,最后教师与学生一起归纳总结.

　课件展示图片:

　【结论】　一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.

　　[过渡语]　我们生活中的所有投影是不是都一样呢?

　【师生活动】

　(1)教师展示探照灯发出的光线图片,学生观察.

　(2)学生思考:探照灯发出的光线与灯泡发出的光线是否相同?太阳光线与哪种光线相同?

　(3)学生小组合作交流,共同归纳,小组代表发言,教师点评,然后归纳有关概念.

　【结论】　有时光线是一组互相平行的射线,例如太阳光或探照灯中的光线.由平行光线形成的投影叫做平行投影.例如,物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影.

　由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如,物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影.

　思路二

　【思考】

　(1)物体在日光或灯光的照射下会形成影子,影子的形成与哪些因素有关?

　(物体本身、照射光线、形成影子的平面)

　(2)你能举出生活中的一些实例吗?

　【师生活动】　教师展示生活中的图片(同思路一),学生观察思考后,小组合作交流,教师结合学生的结论,给出投影的一些概念.

　【结论】　一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.

　【师生活动】　教师展示分别用探照灯和灯泡作为光源,在教室的墙面上形成三角尺的影子.

　【思考】

　(1)探照灯的光线与灯泡发出的光线有什么不同?

　(2)太阳光与哪种光线相同?

　【师生活动】　学生观察思考后小组合作交流,教师对学生的回答进行点评,归纳概念.

　【结论】　有时光线是一组互相平行的射线,例如太阳光或探照灯中的光线.由平行光线形成的投影叫做平行投影.例如,物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)就是平行投影.

　由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如,物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影.

　[设计意图]　通过观察图片,感知数学概念的形成来源于生活,通过观察、思考,抽象出有关概念,对投影的感性认识上升到理性认识,通过理论联系实际,不仅使学生加深了对概念的理解,而且突出了数学与现实的联系,激发了学生的求知欲望.

二、共同探究

　　[过渡语]　通过观察我们知道有两种不同的投影——平行投影和中心投影,下面我们一起来探讨它们的区别和联系.

　【思考】

　(1)如图(1)是同一时刻的两棵树及其影子,请你在图中画出形成树影的光线,并判断它是太阳光线还是灯光的光线.若是灯光的光线,请确定光源的位置.

　(2)请判断如图(2)的两棵树的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的,并画出同一时刻旗杆的影子(用线段表示).

　(3)通过上边的练习,请观察平行投影和中心投影,它们有什么相同点与不同点?

　【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,动手操作后交流答案,教师进行点评,共同归纳.

　【课件展示】

　【课件展示】　平行投影与中心投影的区别与联系:

　[设计意图]　通过解决设计的练习,学生经历观察、思考、操作、交流、归纳等数学活动,得出平行投影和中心投影的区别与联系,不仅加深了对平行投影和中心投影的概念的理解和掌握,同时提高了学生的应用意识和能力,让学生获得了成功的体验.

三、例题讲解

　　(1)地面上直立一根标杆AB,如图(1),杆长为2m.

　①当阳光垂直照射地面时,标杆在地面上的投影是什么图形?

　②当阳光与地面的倾斜角为60°时,标杆在地面上的投影是什么图形?并画出投影示意图.

　(2)一个正方形纸板ABCD和投影面平行(如图(2)),投影线和投影面垂直,点C在投影面上的对应点为C',请画出正方形纸板的投影示意图.

　教师引导分析:

　(1)当阳光垂直照射地面时,点A的影子落在什么地方?

　(2)当阳光与地面的倾斜角为60°时,点A的影子落在什么地方?

　(3)在直角三角形中,已知一锐角和一直角边,怎样求出三角形的另一直角边?

　(4)当投影线与投影面垂直时,如何画出顶点A,B,C,D的投影?

　【师生活动】　学生独立思考,动手操作完成画图及求解,小组代表展示成果,教师点评.

　解:(1)①当阳光垂直照射地面时,标杆在地面上的投影是一个点.因为标杆与地面垂直,阳光垂直照射地面时与标杆平行,使得影子与点B重合.

　②当阳光与地面的倾斜角为60°时,如图(3).

　在Rt△ABC中,∠ACB=60°,AB=2,

　∵tan∠ACB==,∴BC==.

　∴标杆在地面上的投影是长为m的线段,如图(3)的BC.

　(2)因为纸板与投影面平行,投影线和投影面垂直,所以分别过点A,B,D作投影面的垂线,垂足分别为A',B',D',顺次连接A',B',C',D'即可.如图(4)为所画的投影.

　[设计意图]　通过例题的教学进一步加深对投影的理解和掌握,在巩固所学的知识的同时,为下节课的正投影做铺垫,通过分析、思考、交流、解答等数学活动,培养学生分析问题、解决问题的能力.

　[知识拓展]　(1)光线移动时,物体影子的大小、方向也随着变化,物体的形状与影子的形状有密切的联系.

　(2)光是沿直线传播的,因此我们可以由投影与物体确定光线方向.

　(3)平行投影的应用:①根据阳光下影子的大小、位置的变化判断时刻的不同；②已知一个物体及其在阳光下的影子,可作出同一时刻另一个物体在阳光下的影子；③根据物高和影长的关系可以求物高或影长.

　(4)中心投影的应用:①根据点光源下两种或两种以上物体及影子的情况判断点光源的位置；②已知点光源的位置,可以画物体在点光源下的影子.

　1.一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.

　2.有时光线是一组互相平行的射线,例如太阳光或探照灯中的光线.由平行光线形成的投影叫做平行投影.

　3.由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.

　第1课时

　1.认识概念

　平行投影

　中心投影

　2.共同探究

　3.例题讲解

　例题

一、教材作业

二、课后作业

【基础巩固】

1.下面说法正确的是　　(　　)

A.所有的光线都是平行的

B.太阳光线是平行的

C.同一组物体的平行投影与中心投影是相同的

D.以上说法都不对

2.在同一时刻,两根长度不等的竹竿置于阳光之下,但它们的影长相等,那么这两根竹竿的相对位置是　　(　　)

A.两根都垂直于地面　B.两根平行斜插在地上

C.两根竹竿不平行　　D.一根倒在地上

3.下列投影不是中心投影的是　　(　　)

4.如图,晚上小亮在路灯下散步,在小亮由A处走到B处这一过程中,他在地上的影子　　(　　)

A.逐渐变短

B.逐渐变长

C.先变短后变长

D.先变长后变短

5.下列结论正确的有　　(　　)

①同一时刻物体在阳光照射下影子的方向是相同的；②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的；③物体在路灯照射下,影子的方向与路灯的位置有关；④物体在光线照射下,影子的长短仅与物体的长短有关.

A.1个　　B.2个C.3个　　D.4个

6.如图,小华为了测量所住楼房的高度,他请来同学帮忙,测得同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米,已知小华的身高为1.6米,那么他所住楼房的高度为　　　　米. 

7.如图,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是2.7m,则AB与CD之间的距离是　　　　m. 

8.如图,赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度,他在某一时刻直立1米长的标杆测得其影长为1.2米,同时旗杆的影子一部分在地面上,另一部分在某一建筑的墙上,分别测得其长度分别为9.6米和2米,则学校旗杆的高度为　　　　米. 

9.如图,AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m,某一时刻AB在阳光下的投影BC=

3m.

(1)请在图中画出此时DE在阳光下的投影；

(2)在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长为6m,请你计算DE的长.

10.如图,小华、小军、小丽同时站在路灯下,其中小军和小丽的影子分别是AB,CD.

(1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置(用点P表示)；

(2)画出小华此时在路灯下的影子(用线段EF表示).

【能力提升】

11.三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子(如图).现测得OA=20cm,OA'=50cm,这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比值是　　　　. 

12.如图,小明在A时测得某树的影长为2m,B时又测得该树的影长为8m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为　　　　m. 

13.如图,光源L距地面(LN)8米,距正方形顶端(LM)2米,已知在光源照射下,正方形在左侧的影子BE长5米,求正方形在右侧的影子CF的长.

【拓展探究】

14.如图,王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B,当他行到P处时发现,他在路灯B下的影长为2米,且恰好位于路灯A的正下方,接着他又走了6.5米到Q处,此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方.(已知王琳身高1.8米,路灯B高9米)

(1)标出王琳站在P处在路灯B下的影子；

(2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长；

(3)计算路灯A的高度.

【答案与解析】

1.B解析:只有平行投影的光线是平行的,而中心投影的光线是不平行的,故A错误；太阳光线是平行的,B正确；根据平行投影及中心投影的定义及特点知同一组物体的平行投影与中心投影是不相同的,故C错误；因为B选项正确,所以D选项错误.故选B.

2.C解析:在同一时刻,两根长度不等的竹竿置于阳光之下,但它们的影长相等,那么这两根竹竿不平行.故选C.

3.D解析:分别连接头顶和影子的端点,A,B,C中的两条光线交于一点,是中心投影,D中的两条光线平行,是平行投影.故选D.

4.C解析:因为小亮由A处走到B处这一过程中,离光源是由远到近再到远的过程,所以他在地上的影子先变短后变长.故选C.

5.B解析:①因为太阳光线是平行光线,所以同一时刻物体在阳光照射下,影子的方向是相同的,故①正确；②物体在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关,故②错误；③物体在路灯照射下,影子的方向与路灯的位置有关,故③正确；④物体在点光源的照射下,影子的长短与物体的长短和光源的位置有关,故④错误.所以正确的有2个.故选B.

6.48解析:如图,易证△ABC∽△DEF,则有AC∶BC=DF∶EF,解得DF=48米.

7. 1.8解析:∵AB∥CD,∴△PAB∽△PCD,∴AB∶CD=点P到AB的距离∶点P到CD的距离.∴2∶6=点P到AB的距离∶2.7,∴点P到AB的距离为0.9m,则AB与CD之间的距离为2.7-0.9=1.8(m).
8. 10解析:如图,作DE⊥AB于点E.根据题意得=,即=,解得AE=8米,则AB=AE+BE=8+2=10(米).即旗杆的高度为10米.

9.解:(1)如图,连接AC,过点D作DF∥AC,交直线BC于点F,线段EF即为DE的投影.　

(2)∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.∵∠ABC=∠DEF=90°,∴△ABC∽△DEF,∴=,∴=,

∴DE=10m.

10.解:如图.(1)点P为所求的点.　(2)EF为小华此时在路灯下的影子.

11.解析:由题意知三角尺与其影子相似,它们周长的比就等于相似比.因为==,所以三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比值是.

12.4解析:如图,过点C作CD⊥EF.由题意，得△EFC是直角三角形,且∠ECF=90°.

又∠EDC=∠CDF=90°,∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°,∴∠E=∠DCF,∴Rt△EDC∽Rt△CDF,则有=,即DC2=ED·FD,代入数据可得DC2=16,则DC=4m.

13.解:由题意知四边形DEFG是正方形,且LN⊥BC,∴DG∥EF,MN=DE=FG,四边形DENM与四边形MNFG是矩形,∴△DLM∽△BLN,∴=,解得DM=,∴MG=,同理,=,解得FC=13.∴正方形在右侧的影子CF的长为13米.

14.解:(1)线段CP为王琳站在P处在路灯B下的影子.　

(2)由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD,∴=,∴=,解得QD=1.5,即影长为1.5米.　(3)由题意得Rt△DFQ∽Rt△DAC,∴=,∴=,解得AC=12.

答:路灯A的高度为12米.

　本节课由鸟巢、水立方等建筑实物图片引出教学内容,激发学生学习本节课内容的兴趣,学生欣赏皮影和日晷了解中国文化的同时,导出本节课的课题,让学生体会数学与生活之间的联系,激发学生学习本节课的欲望.结合生活中的影子图片,感知投影的概念,并观察不同的投影之间的区别与联系,归纳出平行投影和中心投影的概念.师生通过解决实际问题,画出图形,共同探究平行投影与中心投影的区别和联系,学生在教师的引导下,通过观察、思考、交流等数学活动,加深对有关投影概念的理解和掌握的同时,培养了归纳总结能力,并为下节课做好铺垫,学生在课堂上思维活跃,人人学有价值的数学.

　本节课的主要内容是投影的有关概念,通过联系生活实际,观察、思考、交流、归纳等数学活动,感知投影、平行投影与中心投影的概念,课堂上学生气氛活跃,回答问题积极,但是由实际问题抽象出数学概念使学生难于理解和掌握,没有给学生更多的时间交流,在以后的教学中,应多举一些实例,让学生通过思考、交流,更深入地理解和掌握数学概念.