初中人教版6.1 平方根优秀学案设计

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第04讲
讲
平方根及算术平方根
概述
【知识导图】

教学过程
一、课堂导入
问题：学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴．想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
师：∵ ＝25，
∴ 这个正方形画框的边长应取5 dm.
二、知识讲解
知识点1 平方根
平方根
如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：.因此：
2. 当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
3. 当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：.
当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根.
考点2
知识点2算术平方根
算术平方根
1.如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数. 特别规定：0的算术平方根仍然为0.
2.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：.
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根. 因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：.
知识点3 开方与平方
开方与平方
开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，其中那个数叫做被开方数.
平方与开平方有何联系？
平方与开平方互为逆运算．
三、例题精析
四、例题精析
例题1
4的平方根是（ ）
A. 4B. ±4C. ±2D.2
【答案】C
【解析】±2的平方等于4.

例题2
求下列各数的算术平方根：
(1)100； (2)eq \f(49,64)； (3)0.0001.
【答案】
解：(1)∵102＝100，
∴100的算术平方根是10.
即eq \r(100)＝10.
(2)∵(eq \f(7,8))2＝eq \f(49,64)，
∴eq \f(49,64)的算术平方根是eq \f(7,8)，即eq \r(\f(49,64))＝eq \f(7,8).
(3)∵0.012＝0.0001，
∴0.0001的算术平方根是0.01，
即eq \r(0.0001)＝0.01.
【解析】根据算术平方根的定义解答．
例题3
根据表中的信息判断，下列语句中正确的是
A．
B． 235的算术平方根比15.3小
C．只有3个正整数满足
D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比256增大3.19
【答案】C
【解析】被开方数扩大100倍，对应的算术平方根扩大10倍，根据表格能够清楚得出结论.
例题4
小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
【答案】
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm.
根据边长与面积的关系得
3x·2x＝300，
6x2＝300，
x2＝50，
x＝eq \r(50).
因此长方形纸片的长为3eq \r(50) cm.
因为50＞49，所以eq \r(50)＞7.
由上可知3eq \r(50)＞21，即长方形纸片的长应该大于21 cm.
因为eq \r(400)＝20，所以正方形纸片的边长只有20 cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长．
不能同意小明的说法．小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．
【解析】 根据正方形的面积公式,求出边长与长方形纸片的长比较.
四、课堂运用
五、课堂应用
基础
1.若x是64的算术平方根，则x=( )
A.8 B.-8 C.64 D.-64
2.的算术平方根是( )
A.±4 B.4 C.±2 D.2
3. 下列各数没有算术平方根的是( )
A.0 B.-1 C.10 D.102
答案与解析
1.【答案】 A.
【解析】64的平方根是,算术平方根是8. 故答案为:A
2.【答案】 D.
【解析】 因为,所以题目相当于问4的算术平方根.不能直接进行计算它的算术平方根.
3.【答案】 B.
【解析】 负数没有平方根，也没有算术平方根.
巩固
已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求a＋2b的值.
已知求的算术平方根
已知，求 的平方根．
答案与解析
1.【解析】首先根据题意得出关于a和b的方程，然后进行求解.
根据题意得： 解得：a=5 b=2
∴a+2b=9
2.【解析】根据非负数的性质求出x和y的值，然后计算算术平方根.
根据题意得 解得： ∴=25
∴==5
3.【解析】由二次根式的意义知被开方数大于等于0，可求得x与y，再代入求值．
由题意可知：x=3 y=8
则=3×3＋2×8=25
所以的平方根为±5
拔高
1.请在方格中，画出一个边长为的正方形. （2分） （注意：直尺可用来连线，不能度量）
2. 求下列各数的算术平方根.
(1)0.062 5； (2)(-3)2； (3)； (4)108.
3. 一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（ ）
A．x+1 B．x2+1 C．+1 D．
答案与解析
1.如下图
2.【答案】 (1)0.25； (2)3； (3)； (4)104.
【解析】根据算术平方根的定义求解即可.
3.【答案】D.
【解析】这个自然数是x2，所以它后面的一个数是x2+1，
则x2+1的算术平方根是．
五．课堂小结
掌握平方根的定义，会求平方根, 掌握数的开方意义、平方根的意义、平方根的表示法, 能区别平方根和算术平方根.
六．拓展延伸
基础
1. 9的算术平方根是（ ）
A．-3 B．3 C．±3 D．81
2.2的算术平方根是( )
A.± B. C.±4 D.4
3.下列说法中：①一个数的算术平方根一定是正数；②100的算术平方根是10,记为±=10；③(-6)2的算术平方根是6；④a2的算术平方根是a.正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案与解析
1.【答案】B.
【解析】根据算术平方根的定义解答.
2.【答案】B.
【解析】根据算术平方根的定义解答.
3.【答案】A.
【解析】第一个错, 0不是正数, 第二个写法错误, 第四个错误,因为a可以为负数，但它的算术平方根就为它的相反数.
巩固
1.求解: （2x-1）2-169=0；
2. 某公司要设计一块面积为10平方米的正方形广告牌，公司在设计广告时，必须知道这个正方形的边长.这个正方形的边长是多少？估计边长的值(结果精确到十分位).
答案与解析
1.【答案】.
【分析】
2.【答案】设这个正方形的边长为x米，于是x2=10.
∵x>0，∴x=.
∵32=9，42=16,
∴3