初中数学人教版七年级下册第六章 实数6.3 实数优质导学案

实数

【知识导图】

【教学建议】

有理数和无理数统称为实数，即实数这个大家庭里有有理数和无理数两大成员．学习时应注意分清有理数和无理数是两类完全不同的数，就是说如果一个数是有理数，那么它一定不是无理数；反之，如果一个数是无理数，那么它一定不是有理数．

请同学们使用计算器，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？

3，－， ， ， ，

3＝3.0　　－＝－0.6　　＝5.875

＝0.81　　＝0.12　　＝0.5

这些有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数．

无理数

 1.无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件. 在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等. 应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：

2. 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式.

实数

1.       有理数与无理数统称为实数. 在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1.

2.实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a≠0）；实数a的绝对值|a|=

3.实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于

负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小.（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小.

4.实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算. 运算法则和运算顺序与有理数的一致.

实数的分类

实数的分类：

按照定义分类如下：                           

实数     

按照正负分类如下：

实数

若a＝，把实数a在数轴上对应的点的位置表示出来，可能正确的是（  ）

A． 

B． 

C． 

D．

【答案】C.

【解析】解：∵6.25＜8＜9，

∴2.5＜＜3，

（1）       的平方是64，所以64的平方根是       .

（2）        的平方根是它本身.

（3）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？

【答案】

(1) ,. （2）1和0 . （3）m=2,4

【解析】 利用平方根的定义解答问题.

下列说法中： ①都是27的立方根， ②， ③的立方根是2，

④.   其中正确的有         （    ）

A、1个       B、2个        C、3个      D、4个

【答案】B.

【解析】正数的立方根是正数，27的立方根是3，所以①错误； 一个数的立方后再开立方结果还是这个数，故 ②正确；=8,8的立方根是2，故③正确. 正数的立方根是正数，故④不正确.

数 的大小关系是 (     )

A.             B.

C.       D.

【答案】B.

【解析】

1.写出一个大于﹣3的负无理数     ．

2.

3.当x       时，有意义.

4.一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？

答案与解析

1.【解析】-

【解析】无理数是无限不循环小数，有无数个

2.【解析】先将各式化简求值，然后按照加减法法则计算即可．

原式=

  =

=

3. 【解析】16；.

4. 【解析】.

1. 若，则b等于（    ）

　A. 1000000　   B. 1000　   C. 10   　D. 10000

2. 若，且，则：=       .

3. 下列语句正确是（   ）

A．无限小数是无理数

B．无理数是无限小数

C．实数分为正实数和负实数

D．两个无理数的和还是无理数

答案与解析

1.【答案】B.

【解析】 被开方数扩大倍，开方后结果扩大倍；根据开方与乘法互逆运算可得.

2.【答案】 -7.

【解析】

又，则a-b = -7.

3.【答案】B.

【解析】 解: A.无限不循环小数是无理数, 故A不符合题意;B.无理数是无限小数, 符合题意. C.实数分为正实数、负实数和0, 故C不符合题意 D.互为相反数的两个无理数的和是0,不是无理数, 故D不符合题意. 故答案为:B.

1.画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”连接：

-， ，0 ，

2.如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b−的值

3.你能找出规律吗?

（1）计算：        ,           .

      ,         .

（2）请按找到的规律计算：①；         ② 

（3）已知：，则=      （用含的式子表示）。

1.【解析】，-<0< < 

先将化简成2，然后比较大小，最后在数轴上表示．

因为=2，所以-<0< <，数轴上表示如图：

2.【解析】 

3.【解析】（1）6,6,20,20   （2）10,4   （3） 

（1）利用二次根式的性质，依次计算即可；（2）利用规律计算；（3）将化成符合规律的形式，然后利用规律次计算.

（1）2×3=6  , 6         .

4×5=20  , 20        .

（2）请按找到的规律计算：①=； 

② =

（3）=.

本章中，我们通过类比有理数及运算，引入了实数的相反数、绝对值等概念，以及实数的运算和运算律，学习时应注意体会类比这种研究方法的作用. 实数与数轴上的点一一对应的. 因此，我们可以利用数轴将“数”与“形”联系起来，这对理解实数的有关概念及运算很有帮助.

1. 下列说法不正确的是(   )

A．8的立方根是2           B．－8的立方根是－2

C．  0的立方根是0           D．125的立方根是±5

2.所有和数轴上的点组成一一对应的数组成（   ）

A．整数     B．有理数     C．无理数     D．实数

3. 若2m-1没有平方根，则m的取值范围是________.

答案与解析

1.【答案】D.

【解析】 125的立方根是5,D选项错误.根据立方根的定义,因为一个数的立方根只有一个,一个正数的立方根是正数,一个负数的立方根仍是负数.

2.【答案】D.

【解析】数轴上的点和实数是一一对应的关系.

3.【答案】

【解析】 解: 负数没有平方根.  , .

故答案为:.

1. 估计的值在(  )

A．4和5之间           B．5和6之间

C．6和7之间           D．7和8之间

2. 化简式子 结果正确的是（     ）

A．±4       B．4       C．-4      D．±2

3. 一个正数x的平方根是3a－4和1－6a，求a及x的值．

答案与解析

1.【答案】C．

  【解析】因为6的平方是36, 7的平方是49.而38在36和49 的中间，所以的值在6和7之间.

2.【答案】B.

【解析】应先算 , 再将求16的算数平方根即可.

3.【答案】 解: 由题意得3a-4+1-6a=0, 解得a=-1

则3a-4=-7, .

答:a的值是-1,x的值是49.

1. 如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　）  

A．       B．        C．     D．2.5

2. 已知x+12平方根是±，2x+y﹣6的立方根是2，求3xy的算术平方根．

3. 已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是4，求a+b的平方根．

答案与解析

1.【答案】C．

【解析】解答：2＜＜2.5＜，2与 离的最近，故选C．由图可知这个点与2离的最近，而其中四个选项中的数与2离的最近且大于1的数是．

2.【答案】 解: 由题意可知: X+12=13,2X+y-6=8,∴ x=1,y=1

3×y=3×1×12=36. 36的算术平方根为6.

3.【答案】 ∵ 2a﹣1的平方根是±3， ∴ 2a﹣1=9， ∴ a=5，

∵ 3a+b﹣1的立方根是4，  ∴ 3a+b﹣1=64，

∴ b=50，  ∴ a+b=55，

∴ a+b的平方根是 ．