2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第八章 概率与统计 53 word版含答案

这是一份2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第八章 概率与统计 53 word版含答案，共14页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。
考点测试53　几何概型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、基础小题1．设x∈，则sinx<的概率为(　　)A.   B.  C.   D.答案　C解析　由sinx<且x∈，借助于正弦曲线可得x∈∪，∴P＝＝.2．有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是(　　)A．0.01   B．0.02  C．0.05   D．0.1答案　C解析　试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故所求概率为P＝＝＝0.05.3．某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为(　　)A.   B.  C.   D.答案　B解析　由已知条件可得，此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为P＝＝.4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是(　　)A.   B.  C.   D.答案　B解析　以时间的长短进行度量，故P＝＝.5．为了测量某阴影部分的面积，做一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可以估计阴影部分的面积是(　　)A．4   B．3  C．2   D．1答案　B解析　由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的总数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为，所以阴影部分的面积约为9×＝3.6．如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为(　　)A.   B.  C.   D.答案　C解析　当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝，A′点在A点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P＝＝，故选C.7．向等腰直角三角形ABC(其中AC＝BC)内任意投一点M，则AM小于AC的概率为(　　)A.   B．1－  C.   D.答案　D解析　以A为圆心，AC为半径画弧与AB交于点D.依题意，满足条件的概率P＝＝＝.8．在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20 cm2的概率为(　　)A.   B.  C.   D.答案　B解析　不妨设矩形的长为x cm，则宽为(12－x) cm，由x(12－x)>20，解得2<x<10，所以该矩形的面积大于20 cm2的概率为＝.9．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)A.   B．1－  C.   D．1－答案　B解析　正方体的体积为：2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：×πr3＝××π×13＝π，则点P到点O的距离大于1的概率为：1－＝1－.10．一只昆虫在边长分别为6,8,10的三角形区域内随机爬行，则其到三角形任一顶点的距离都大于2的概率为(　　)A．1－   B．1－  C.   D.答案　A解析　记昆虫所在三角形区域为△ABC，且AB＝6，BC＝8，CA＝10，则有AB2＋BC2＝CA2，AB⊥BC，该三角形是一个直角三角形，其面积等于×6×8＝24.在该三角形区域内，到三角形任一顶点的距离小于2的区域的面积等于×π×22＝×22＝2π，因此所求的概率等于＝1－.11．在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，则恰有两条线段的长度大于1的概率为(　　)A.   B.  C.   D.答案　B解析　在长度为3的线段上随机取两点，将其分成三条线段，设其长度分别为x，y,3－x－y，则而恰有两条线段的长度大于1，则需满足或或作出可行域可知，恰有两条线段的长度大于1的概率为P＝＝.12．某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．答案　解析　设银行的营业时间为x，甲去银行的时间为y，以横坐标表示银行的营业时间，纵坐标表示甲去银行的时间，建立平面直角坐标系(如图)，则事件“甲去银行恰好能办理业务”表示的平面区域如图中阴影部分所示，所求概率P＝＝.二、高考小题13．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　)A.   B.  C.   D.答案　B解析　行人在红灯亮起的25秒内到达该路口，即满足至少需要等待15秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P＝＝，故选B.14．在区间上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则(　　)A．p1<p2<   B．p1<<p2C．p2<<p1   D.<p2<p1答案　B解析　设点P的坐标为(x，y)，由题意x，y∈，所以点P在正方形OABC内，S正方形OABC＝1×1＝1.画出直线x＋y＝与正方形交于D，E两点，画出曲线xy＝与正方形交于M，N两点．而Rt△OAC的面积S＝.由图可知：S△OED<S△OAC<S曲边形OCMNA，所以p1<<p2.故选B.15．在区间上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为(　　)A.   B.  C.   D.答案　A解析　由－1≤log≤1，得log2≤log≤log，所以≤x＋≤2，所以0≤x≤.由几何概型可知，事件发生的概率为＝.16．设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　　)A.＋   B.＋C.－   D.－答案　C解析　∵|z|＝≤1, ∴(x－1)2＋y2≤1，其几何意义表示为以(1,0)为圆心，1为半径的圆面，如图所示，而y≥x所表示的区域如图中阴影部分，故P＝＝－.17．如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(　　)A.   B.  C.   D.答案　B解析　如图，设f(x)与y轴的交点为E，则E(0,1)．∵B(1,0)，∴yC＝1＋1＝2.∴C(1,2)．又四边形ABCD是矩形，∴D(－2,2)．∴S△DCE＝××1＝.又S矩形＝3×2＝6，∴由几何概型概率计算公式可得所求概率P＝＝.故选B.18．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)答案　解析　设小张和小王到校的时间分别为x和y，则则满足条件的区域如图中阴影部分所示．故所求概率P＝＝.三、模拟小题19．在面积为S的△ABC内部任取一点P，则△PBC的面积大于的概率为(　　)A.   B.  C.   D.答案　D解析　设AB、AC上分别有点D、E满足AD＝AB且AE＝AC，则△ADE∽△ABC，DE∥BC且DE＝BC.∵点A到DE的距离等于点A到BC的距离的，∴DE到BC的距离等于△ABC高的.当动点P在△ADE内时，P到BC的距离大于DE到BC的距离，∴当P在△ADE内部运动时，△PBC的面积大于，∴所求概率为＝2＝，故选D.20．在区间上随机取两个数m、n，则关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有实数根的概率为(　　)A.   B.  C.   D.答案　A解析　∵方程x2－x＋m＝0有实数根，∴Δ＝n－4m≥0，如图，易知不等式组表示的平面区域与正方形的面积之比即为所求概率，即P＝＝＝.21．甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面，并约定先到达者等10分钟后另一人还没有到就离开．如果甲是8：30到达，假设乙在8：00～9：00之间到达，且乙在8：00～9：00之间何时到达是等可能的，则两人见面的概率是(　　)A.   B.  C.   D.答案　C解析　由题意知 ，若以8：00为起点，则乙在8：00～9：00之间到达这一事件对应的集合是Ω＝{x|0<x<60}，而满足条件的事件对应的集合是A＝{x|20≤x≤40}，所以两人见面的概率是＝.22．任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图所示，若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形中的概率是(　　)A.   B.  C.   D.答案　C解析　依题意可知，第四个正方形的边长是第一个正方形边长的倍，所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的倍，由几何概型可知，所投点落在第四个正方形中的概率为，故选C.23．设有一个等边三角形网格(无限大)，其中各个最小等边三角形的边长都是4 cm，现将直径为2 cm的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线没有公共点的概率为________．答案　解析　如图所示，记事件A为“硬币落下后与格线没有公共点”，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形对应三边的距离都为1 cm，则小等边三角形的边长为4－2＝2(cm)，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝＝.24．如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C作射线CM交AB于M，则使得AM小于AC的概率为________．答案　解析　当AM＝AC时，△ACM为以∠A为顶点的等腰三角形，∠ACM＝＝67.5°.当∠ACM<67.5°时，AM<AC，所以AM小于AC的概率P＝＝＝.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．已知Ω＝，直线y＝mx＋2m和曲线y＝有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P(M)，若P(M)∈，求实数m的取值范围．解　画出图形，不难发现直线恒过定点(－2,0)，圆是上半圆，直线过(－2,0)，(0,2)时，它们围成的平面区域为M，此时P(M)＝，当直线与x轴重合时，P(M)＝1，∴直线斜率范围为．2．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解　这是一个几何概型问题，设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24,0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈，y∈}．A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部，所求概率为P(A)＝＝＝.3．设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x∈，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)＝ax，g(x)＝.(1)若a∈{1,4}，b∈{－1,1,4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率；(2)若a∈，b∈，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率．解　(1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”，则|f(x)＋g(x)|(x∈)所有的情况有：x－，x＋，x＋，4x－，4x＋，4x＋，共6种且每种情况被取到的可能性相同．又当a>0，b>0时，ax＋在上递减，在上递增；x－和4x－在(0，＋∞)上递增，∴对x∈可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的有x－，x＋，x＋，4x－，故事件A包含的基本事件有4种，∴P(A)＝＝，故所求概率是.(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”，∵a是从区间中任取的数，b是从区间中任取的数，∴点(a，b)所在区域是长为3，宽为3的矩形区域．要使x∈时，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立，需f(1)＋g(1)＝a＋b≤8且f(2)＋g(2)＝2a＋≤8，∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分．∴P(B)＝＝，故所求概率是.