2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习十(含答案)

中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习十

1.如图，抛物线y=ax2+4x+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），点E（4，5），与y轴交于点B，连接AB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F．

①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积；

②当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，

请直接写出交点坐标．

2.如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）D是笫一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连结BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．

①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围；

②当m为何值时，S有最大值，并求这个最大值；

③直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．

3.如图，抛物线y=ax2﹣2ax﹣4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，且OA=OB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点M为AB的中点，且∠PMQ=45°，∠PMQ在AB的同侧，以点M为旋转中心将∠PMQ旋转，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．

设AD=m（m＞0），BC=n，求n与m之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，当∠PMQ的一边恰好经过该抛物线与x轴的另一个交点时，直接写出∠PMQ的另一边与x轴的交点坐标．

4.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为E。
（1）若b=2，c=3，求此时抛物线顶点E的坐标；
（2）将（1）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE=S△ABC，求此时直线BC的解析式；
（3）将（1）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE=2S△AOC，且顶点E恰好落在直线y=-4x+3上，求此时抛物线的解析式。

5.如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．

（1）求AD的长及抛物线的解析式；

（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？

（3）在抛物线的对称轴上有一点M，使MD+ME的值最小，试求出点M的坐标，并求MD+ME的最小值．

6.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c(b为常数)与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+.

(1)求该抛物线的函数关系式与C点坐标；

(2)已知点M(m，0)是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？

(3)在(2)问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON(旋转角在0°到90°之间)；

①探究：线段OB上是否存在定点P(P不与O、B重合)，无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

②试求出此旋转过程中，(NA+NB)的最小值.

7.已知抛物线y=ax2＋bx＋c经过A（-4,3）、B（2,0）两点，当x=3和x=-3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0,-2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点．

（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；

（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A,判断直线l与⊙A的位置关系,并说明理由；

（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y=ax2＋bx＋c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．

8.已知抛物线y=x2+bx+c(b,c为常数)与x轴交于点A(-1,0),点B(3,0),与y轴交于点C,其顶点为D,点P(不与点A,B重合)为抛物线上的一个动点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）直线PA,PB分别于抛物线的对称轴交于M,N两点,设M,N两点的纵坐标分别为y1,y2,求y1+y2的值.

（3）连接BC,BD,当∠PAB=∠CBD时,求点P的坐标.

0.答案解析

1.解：

2.解：

3.解：

（1）由抛物线y=ax2﹣2ax﹣4，得B（0，﹣4），OB=4．

∵OA=OB=4，且点A在x轴正半轴上，∴A（4，0）．

将A（4，0）代入y=ax2﹣2ax﹣4，得16a﹣8a﹣4=0，解得a=，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣4；

（2）∵OA=OB=4，∠AOB=90°，

∴∠OAB=∠OBA=45°，AB=4，

∴∠ADM+∠AMD=135°，AM=BM=2．

∵∠CMD=45°，∴∠AMD+∠BMC=135°，

∴∠ADM=∠BMC，∴△ADM∽△BMC，∴=．

∵AD=m，BC=n，∴=，∴n=，

∴n与m之间的函数关系式为n=；

（3）设抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴另一个交点为E，

令y=0，得x2﹣x﹣4=0，解得x1=4，x2=﹣2，

∴点E的坐标为（﹣2，0）．

∵A（4，0），B（0，﹣4），M为AB的中点，∴M的坐标为（2，﹣2）．

①当MP经过点（﹣2，0）时，设直线PM的解析式为y=mx+n，

则有，解得，∴直线PM的解析式为y=﹣x﹣1．

当x=0时，y=﹣1，∴点C的坐标为（0，﹣1），∴n=BC=﹣1﹣（﹣4）=3，

∴m=，即AD=，∴OD=4﹣=，∴MQ与x轴交点为（，0）；

②当MQ经过点（﹣2，0）时，同理可得：MP与x轴交点为（8，0）．

4.解：

5.解：

（1）∵四边形ABCO为矩形，

∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．

由题意，△BDC≌△EDC．∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．

由勾股定理易得EO=6．∴AE=10﹣6=4，

设AD=x，则BD=ED=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3，∴AD=3．

∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）

∴，解得

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x．

（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，

由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．

而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．

当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴=，即=，

解得：t=．当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，

∴=，即=，解得：t=．

∴当t=或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．

（3）如图所示：作点D（3，10）关于对称轴x=4的对称点D1（5，10），

连接D1E交对称轴x=4于点M，此时MD+ME的值最小，

设直线D1E的解析式为：y=kx+b（k≠0），

将E（0，6），D1（5，10）代入得：，解得：，

故直线D1E的解析式为：y=x+6（0≤x≤5），令x=4，

解得：y=，∴M（4，），

此时，MD+ME=ME+MD1=D1E==．

6.解：

(1)在y=x+中，令x=0，则y=，令y=0，则x=﹣6，

∴B(0，)，A(﹣6，0)，

把B(0，)，A(﹣6，0)代入y=﹣x2+bx+c得，

，∴，

∴抛物线的函数关系式为：y=﹣x2﹣x+，

令y=0，则0=﹣x2﹣x+，∴x1=﹣6，x2=1，∴C(1，0)；

(2)∵点M(m，0)，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，

∴D(m， m+)，当DE为底时，

如图1，作BG⊥DE于G，则EG=GD=ED，GM=OB=，

∵DM+DG=GM=OB，∴m++(﹣m2﹣m+﹣m﹣)=，

解得：m1=﹣4，m2=0(不合题意，舍去)，

∴当m=﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；

(3)①存在，如图2.

∵ON=OM′=4，OB=，∵∠NOP=∠BON，

∴当△NOP∽△BON时，===，

∴不变，即OP=ON=×4=3，∴P(0，3)；

②∵N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由①知，==，

∴NP=NB，∴(NA+NB)的最小值=NA+NP，

∴此时N，A，P三点共线，

∴(NA+NB)的最小值==3.

(1)因为y=ax²+bx+c经过A(-4,3),B(2,0)两点，

所以将A、B两点坐标带入到抛物线解析式可得16a-4b+c=3  4a+2b+c=0

有当x=3和x=-3时，抛物线对应点纵坐标相等，有 9a+3b+c=9a-3b+c

联立以上三式解得  a=1/4   b=0   c=-1  所以抛物线的解析式为y=1/4x²-1

过AB的直线可知斜率k=（3-0）/（-4-2）=-1/2 截距等于1

所以 AB的解析式为  y=-1/2x+1

(2)圆O的直径为根号下[(-4)2+(3)2]=5  而圆心到直线l的距离为3+2=5.

即圆心到直线l的距离半径，∴直线l与⊙A相切.

(3)由题意，把x=-1代入y=-1/2x+1，得y=3/2，即D（-1，3/2）.

由（2）中点A到原点距离跟到直线y=-2的距离相等，且当点A成为抛物线上一个动点时，仍然具有这样的性质，于是过点D作DH⊥直线l于H，交抛物线于点P，此时易得DH是D点到l最短距离，点P坐标（-1，-3/4）此时四边形PDOC为梯形，面积为17/8

8.解：