2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习十四(含答案)

中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习十四

1.如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；

（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

2.已知抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），C三点．直线y=mx+0.5交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN=2NF，求出此时点P的坐标；

（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

3.如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（﹣1，0），点B在抛物线y=ax2+ax﹣2上．

（1）点A的坐标为______，点B的坐标为______；

（2）抛物线的解析式为______；

（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；

（4）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4.如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y=﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．

(1)若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；

(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；

(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；

(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．

5.如图，平行四边形ABCD中，D点在抛物线y=0.125x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，tan∠ACB=0.75，M是抛物线与y轴的交点．

（1）求直线AC和抛物线的解析式；

（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动．问：当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？

（3）在（2）中当P运动到某处时，四边形PDCQ的面积最小，求此时△CMQ的面积．

6.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)经过点A(-1,0),B(5,﹣6)，C(6,0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标．

7.如图，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C（0，4），与x轴相交于A、B两点，且AB=6．

（1）则D点的坐标是 （　　　　　，　　　　　），圆的半径为　　　　　　；

（2）sin∠ACB=　　　　；经过C、A、B三点的抛物线的解析式　　　　       　　；

（3）设抛物线的顶点为F，证明直线FA与圆D相切；

（4）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使△CBN面积最大，最大值是多少，并求出N点坐标．

8.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B(﹣2，6)，C(2，2)两点．

(1)试求抛物线的解析式；

(2)记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；

(3)若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点，求b的取值范围．

0.答案解析

1.解：

（1）∵OB=OC=3，∴B（3，0），C（0，3）

∴，解得

∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，M（1，4）

设直线MB的解析式为y=kx+n，则有解得

∴直线MB的解析式为y=﹣2x+6

∵PQ⊥x轴，OQ=m，∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）

S四边形ACPQ=S△AOC+S梯形PQOC=AO•CO+（PQ+CO）•OQ（1≤m＜3）

=×1×3+（﹣2m+6+3）•m=﹣m2+m+；

（3）线段BM上存在点N（，），（2，2），（1+，4﹣）

使△NMC为等腰三角形CM=，CN=，MN=

①当CM=NC时，，解得x1=，x2=1（舍去）此时N（，）

②当CM=MN时，，解得x1=1+，x2=1﹣（舍去），

此时N（1+，4﹣）

③当CN=MN时， =解得x=2，此时N（2，2）．

2.解：

（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），

∴将点A和点B的坐标代入得：，解得a=﹣1，b=1，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．

（2）直线y=mx+0.5交抛物线与A、Q两点，把A（﹣1，0）代入解析式得：m=0.5，

∴直线AQ的解析式为y=0.5x+0.5．

设点P的横坐标为n，

则P（n，﹣n2+n+2），N（n，0.5 n+0.5），F（n，0），

∴PN=﹣n2+n+2﹣（0.5n+0.5）=﹣n2+0.5n+1.5，NF=0.5n+0.5．

∵PN=2NF，即﹣n2+0.5n+1.5=2×（0.5n+0.5），

解得：n=﹣1或0.5．

当n=﹣1时，点P与点A重合，不符合题意舍去．

∴点P的坐标为（0.5，2.25）．

（3）∵y=﹣x2+x+2，=﹣（x﹣0.5）2+2.25，∴M（0.5，2.25）．

如图所示，连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小．

设直线AM的函数解析式为y=kx+b，

且过A（﹣1，0），M（0.5，2.25）．

根据题意得：-k+b=0,0.5k+b=2.25，解得k=1.5,b=1.5．

∴直线AM的函数解析式为y=1.5+1.5．

∵D为AC的中点，∴D（﹣0.5，1）．

设直线AC的解析式为y=kx+2，将点A的坐标代入得：﹣k+2=0，解得k=2，

∴AC的解析式为y=2x+2．

设直线DE的解析式为y=﹣0.5x+c，

将点D的坐标代入得：0.25+c=1，解得c=0.75，

∴直线DE的解析式为y=﹣0.5x+0.75．

将y=﹣0.5x+0.75与y=1.5+1.5联立，

解得：x=﹣3/8，y=15/16．

∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，

此时G（﹣3/8，15/16）．

3.解：（1）∵C（﹣1，0），AC=，∴OA=2，∴A（0，2）；

       过点B作BF⊥x轴，垂足为F，

   ∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠BCF=90°，∠BCF+∠FBC=90°，

   在△AOC与△CFB中，∵，∴△AOC≌△CFB，

   ∴CF=OA=2，BF=OC=1，∴OF=3，∴B的坐标为（﹣3，1），

     故答案为：（0，2），（﹣3，1）；

（2）∵把B（﹣3，1）代入y=ax2+ax﹣2得：1=9a﹣3a﹣2，解得a=0.5，

     ∴抛物线解析式为：y=0.5x2+0.5x﹣2．故答案为：y=0.5x2+0.5x﹣2；

（3）由（2）中抛物线的解析式可知，抛物线的顶点D（﹣0.5，﹣17、8），

     设直线BD的关系式为y=kx+b，将点B、D的坐标代入得：

    ，解得．∴BD的关系式为y=﹣1.25x﹣2.75．

    设直线BD和x 轴交点为E，则点E（﹣2.2，0），CE=1.2．

   ∴S△DBC=××（1+）=；

（4）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：

①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，

   过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCF，∠P1MC=∠BFC=90°，∴△MP1C≌△FBC．

   ∴CM=CF=2，P1M=BF=1，∴P1（1，﹣1）；

②若以点A为直角顶点；

  i）则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，

  过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（2，1），

ii）若以点P为直角顶点．过P3作P3G⊥y轴于G，同理，△AGP3≌△CAO，

   ∴GP3=OA=2，AG=OC=1，∴P3为（﹣2，3）．

   经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=0.5x2+0.5x﹣2上，

   点P3（﹣2，3）不在抛物线上．故点P的坐标为P1（1，﹣1）与P2（2，1）．

4.解：(1)当x=0吋，y=x﹣b=﹣b，∴B (0，﹣b)，

∵AB=8，而A(0，b)，∴b﹣(﹣b)=8，∴b=4．

∴L：y=﹣x2+4x，∴L的对称轴x=2，

当x=2吋，y=x﹣4=﹣2，

∴L的对称轴与a的交点为(2，﹣2 )；

(2)y=﹣(x﹣)2+，∴L的顶点C()

∵点C在l下方，∴C与l的距离b﹣=﹣(b﹣2)2+1≤1，

∴点C与1距离的最大值为1；

(3)由題意得，即y1+y2=2y3，

得b+x0﹣b=2(﹣x02+bx0)

解得x0=0或x0=b﹣．但x0#0，取x0=b﹣，

对于L，当y=0吋，0=﹣x2+bx，即0=﹣x(x﹣b)，解得x1=0，x2=b，

∵b＞0，∴右交点D(b，0)．

∴点(x0，0)与点D间的距离b﹣(b﹣)=

(4)①当b=2019时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019x

直线解析式a：y=x﹣2019

联立上述两个解析式可得：x1=﹣1，x2=2019，

∴可知每一个整数x的值 都对应的一个整数y值，

且﹣1和2019之间(包括﹣1和﹣2019)共有2021个整数；

∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，

∴线段和抛物线上各有2021个整数点∴总计4042个点，

∵这两段图象交点有2个点重复重复，

∴美点”的个数：4042﹣2=4040(个)；

②当b=2019.5时，抛物线解析式L：y=﹣x2+2019.5x，

直线解析式a：y=x﹣2019.5，

联立上述两个解析式可得：x1=﹣1，x2=2019.5，

∴当x取整数时，在一次函数y=x﹣2019.5上，y取不到整数值，

因此在该图象上“美点”为0，

在二次函数y=x+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，

可知﹣1到2019.5之 间有1009个偶数，并且在﹣1和2019.5之间还有整数0，

验证后可知0也符合条件，因此“美点”共有1010个．

故b=2019时“美点”的个数为4040个，b=2019.5时“美点”的个数为1010个．

5.解：

（1）如图1，∵tan∠ACB=0.75，∴OA:OC=0.75，

∴设AO=3x，CO=4x，∵OB=OC，

∴BO=4x，∴AB2=AO2+BO2，则25=25x2，解得：x=1（负数舍去），

∴AO=3，BO=CO=4，

∴A（0，3），B（﹣4，0），C（4，0），

∴设直线AC的解析式为：y=kx+d，

则d=3,4k+d=0，解得：d=3,k=-0.75，

故直线AC的解析式为：y=﹣0.75x+3；

∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8，∴D（8，3），

∵B，D点都在抛物线y=0.125x2+bx+c上，

∴解得：b=-0.25,c=-3，

故此抛物线解析式为：y=0.125x2﹣0.25x﹣3；

（2）①如图2，∵OA=3，OB=4，∴AC=5．

设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，

∵PQ⊥AC，∴∠AQP=∠AOC=90°，∠PAQ=∠ACO，∴△APQ∽△CAO，

∴AP:AC=AQ:OC，即得：t=25/9．

②如图3，设点P运动了t秒时，

当QP⊥AD，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，

∵QP⊥AD，∴∠APQ=∠AOC=90°，∠PAQ=∠ACO，∴△AQP∽△CAO，

∴AQ:AC=AP:OC得：t=20/9．

即当点P运动到距离A点25/9或20/9个单位长度处，△APQ是直角三角形；

（3）如图4，∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=0.5×8×3=12，

∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，

当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，

设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，

由△AQH∽△CAO可得：得：h=0.6（5﹣t），

∴S△APQ=0.5t×0.6（5﹣t）=0.3（﹣t2+5t）=﹣0.3（t﹣2.5）2+15/8，

∴当t=2.5时，S△APQ达到最大值15/8，此时S四边形PDCQ=12﹣15/8=81/8，

故当点P运动到距离点A，2.5个单位处时，四边形PDCQ面积最小，则AQ=QC=2.5，

故△CMQ的面积为：0.5S△AMC=0.5×0.5×4×6=6．

6.解：

(1)设y=a(x+1)(x﹣6)(a≠0)，

把B(5，﹣6)代入：a(5+1)(5﹣6)=﹣6，a=1，

∴y=(x+1)(x﹣6)=x2﹣5x﹣6；

(2)存在，如图1，分别过P、B向x轴作垂线PM和BN，垂足分别为M、N，

设P(m，m2﹣5m﹣6)，四边形PACB的面积为S，

则PM=﹣m2+5m+6，AM=m+1，MN=5﹣m，CN=6﹣5=1，BN=5，

∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC

=(﹣m2+5m+6)(m+1)+(6﹣m2+5m+6)(5﹣m)+×1×6

=﹣3m2+12m+36=﹣3(m﹣2)2+48，

当m=2时，S有最大值为48，这时m2﹣5m﹣6=22﹣5×2﹣6=﹣12，∴P(2，﹣12)，

(3)这样的Q点一共有5个，连接Q3A、Q3B，

y=x2﹣5x﹣6=(x﹣)2﹣；因为Q3在对称轴上，所以设Q3(，y)，

∵△Q3AB是等腰三角形，且Q3A=Q3B，

由勾股定理得：(+1)2+y2=(﹣5)2+(y+6)2，

y=﹣，∴Q3(，﹣)．

7.

8.解：

(1)由题意解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2．

(2)∵y=x2﹣x+2=(x﹣1)2+．

∴顶点坐标(1，1.5)，

∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H(1，3)，

∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=•3+•1=3．

(3)由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，

当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4(4﹣2b)=0，

∴b=，

当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3，

当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5，

∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点，

∴＜b≤3．