2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第六章 立体几何 40 word版含答案

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第六章　立体几何考点测试40　空间几何体的结构特征及三视图和直观图 一、基础小题1．三视图如图所示的几何体是(　　)A．三棱锥 B．四棱锥C．四棱台 D．三棱台答案　B解析　由三视图可作几何体如图，可知选B.2．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是(　　)A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆答案　A解析　画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．3．下列命题中，错误的是(　　)A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形答案　B解析　根据棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．故选B.4．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是(　　)答案　D解析　由俯视图可知是B和D中的一个，由正视图和侧视图可知B错．故选D.5．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为(　　)A．1∶1 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2答案　A解析　根据题意，三棱锥P－BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.6．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(　　)答案　D解析　A图是两个圆柱的组合体的俯视图；B图是一个四棱柱与一个圆柱的组合体的俯视图；C图是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体的俯视图，采用排除法，故选D.7．将正方体(如图a所示)截去两个三棱锥，得到图b所示的几何体，则该几何体的侧视图为(　　)答案　B解析　还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线，D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．8．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于(　　)A．a2 B．2a2C．a2 D．a2答案　B解析　根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于＝2a2.故选B.9．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(　　)答案　B解析　由几何体的直观图知，该几何体最上面的棱横放且在中间的位置上，因此排除A、C、D，经验证B符合题意，故选B.10．如图所示为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)A．6π B．4＋4πC．8＋6π D．4＋6π解析图答案　C解析　由三视图知该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱上下部各截去一个高为2的半圆柱，如图所示，则该几何体的表面积为2π×12＋2π×1×2＋2×2×2＝8＋6π，故选C.11．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为________．答案　24解析　由题意知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝6，设平行四边形OABC的高为OE，则OE××＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝4.∴S▱OABC＝6×4＝24.12. 已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．答案　2解析　由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为，所以正视图的面积为2.二、高考小题13．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)A．17π B．18πC．20π D．28π答案　A解析　由三视图可知，该几何体是一个球被截去后剩下的部分，设球的半径为R，则该几何体的体积为×πR3，即π＝×πR3，解得R＝2.故其表面积为×4π×22＋3××π×22＝17π.选A.14．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)A． B．C． D．答案　D解析　如图，由已知条件可知，截去部分是以△ABC为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D－ABC.设正方体的棱长为a，则截去部分的体积为a3，剩余部分的体积为a3－a3＝a3，它们的体积之比为.故选D.15. 在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(　　)A．①和② B．③和①C．④和③ D．④和②答案　D解析　设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)．∵B、C、D在平面yOz上的投影的坐标分别为(0,2,0)，(0,2,1)，(0,2,2)，点A(0,0,2)在平面yOz上，又点C的横坐标小于点B和D的横坐标，∴该几何体的正视图为图④.∵点A、C、D在平面xOy上的投影的坐标分别为(0,0,0)，(1,2,0)，(2,2,0)，点B(2,2,0)在平面xOy上，∴该几何体的俯视图为图②.故选D.16． 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为(　　)答案　B解析　由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示．该几何体的侧视图为选项B.17．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(　　)A．6 B．6C．4 D．4答案　B解析　由多面体的三视图可知该几何体的直观图为一个三棱锥，如图所示．其中面ABC⊥面BCD，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝4，取BC的中点M，连接AM，DM，则DM⊥面ABC，在等腰△BCD中，BD＝DC＝2，BC＝DM＝4，所以在Rt△AMD中，AD＝＝＝6，又在Rt△ABC中，AC＝4<6，故该多面体的各条棱中，最长棱为AD，长度为6，故选B.
18．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．答案　解析　由题意及正视图可知，三棱锥的底面等腰三角形的底长为2，三棱锥的高为1，则三棱锥的底面积为××2＝，∴该三棱锥的体积为××1＝.三、模拟小题19．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是(　　)答案　C解析　∵该几何体的体积为，且由题意知高为1，故底面积为，结合选项知选C.20．一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是(　　)A．①② B．①③C．③④ D．②④答案　D解析　由点A经正方体的表面，按最短践线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.21．已知一三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为(　　)答案　C解析　由已知条件得直观图如图所示，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线．故选C.22．某几何体的主视图和左视图如图1，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图2，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为(　　)A．48 B．64C．96 D．128答案　C解析　由几何体的三视图可知，该几何体为一个四棱柱．因为它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，其中O1A1＝6，O1C1＝2，所以俯视图的直观图的面积为12，由平面图形的直观图与原图形面积的关系可知俯视图的面积为24，易知俯视图是边长为6的菱形，又几何体的高为4，所以该几何体的侧面积为4×6×4＝96.故选C.23．某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则(　　)A．3∈A B．5∈AC．2∈A D．4∈A答案　D解析　由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中底面是边长为4的正方形，AF⊥平面ABCD，AF∥DE，AF＝2，DE＝4，可求得BE的长为4，BF的长为2，EF的长为2，EC的长为4，故选D.24．已知点E、F、G分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1、CC1、DD1的中点，点M、N、Q、P分别在线段DF、AG、BE、C1B1上．以M、N、Q、P为顶点的三棱锥P－MNQ的俯视图不可能是(　　)答案　C解析　当M与F重合、N与G重合、Q与E重合、P与B1重合时，三棱锥P－MNQ的俯视图为A；当M、N、Q、P是所在线段的中点时，三棱锥P－MNQ的俯视图为B；当M、N、Q、P位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥P－MNQ，使其俯视图为D.故选C.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；(2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1？如何组拼？试证明你的结论．解　(1)该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其中底面ABCD是边长为6的正方形，高为CC1＝6，故所求体积是V＝×62×6＝72.(2)依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，其拼法如图2所示．证明：∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的正方形，于是VC1－ABCD＝VC1－ABB1A1＝VC1－AA1D1D，故所拼图形成立．2．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，求该几何体的外接球半径．解　该几何体为三棱锥，直观图如图所示，其中AB⊥BC，平面PAC⊥平面ABC，过P作PD⊥AC于D，可知D是AC的中点，PD⊥平面ABC，则外接球球心O在PD所在直线上．易知O不在DP的延长线上．由三视图得PD＝＝4，AC＝6，∴CD＝3，由PD<CD知O不在线段PD上，故O在PD的延长线上．设外接球的半径为r，在直角三角形ODC中，由OD2＝OC2－CD2，得(r－4)2＝r2－(3)2，解得r＝.