考点01 分式的概念和性质-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

考点一 分式的概念和性质

知识点整合

1．分式的定义

（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．

（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．

【注意】①若B≠0，则有意义；

②若B=0，则无意义；

③若A=0且B≠0，则=0．

2．分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．

用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．

3．约分及约分法则

（1）约分

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．

（2）约分法则

把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．

【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．

4．最简分式

分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．

【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．

5．通分及通分法则

（1）通分

根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．

（2）通分法则

把两个或者几个分式通分：

①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；

②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；

③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．

【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．

6．最简公分母

几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．

7．分式的运算

（1）分式的加减

①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．

用式子表示为：．

②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．

用式子表示为：．

（2）分式的乘法

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．

用式子表示为：．

（3）分式的除法

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．

用式子表示为：．

（4）分式的乘方

乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．

用式子表示为：为正整数，．

（5）分式的混合运算

含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．

混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．

考向一  分式的有关概念

1．分式的三要素：

（1）形如的式子；

（2）均为整式；

（3）分母中含有字母．

2．分式的意义：

（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即．

（2）无意义的条件是分母为0．

（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．

典例引领

1．（2018·沭阳县马厂实验学校中考模拟）在，，，，，中分式的个数有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】B

【分析】

根据分式的定义进行判断；

【详解】

，，，，中分式有：，，共计3个.

故选B．

【点睛】

考查了分式的定义，解题关键抓住分式中分母含有字母．

2．（2020·全国八年级课时练习）代数式中x的取值范围在数轴上表示为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案．

【详解】

由题意，得：3﹣x≥0且x﹣1≠0，解得：x≤3且x≠1，在数轴上表示如图：

．

故选A．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不能为零得出不等式是解题的关键．

3．（2020·江西九年级二模）下列说法正确的是（）

A．若 A、B 表示两个不同的整式，则一定是分式

B．

C．若将分式中，x、y 都扩大 3 倍，那么分式的值也扩大 3 倍

D．若则

【答案】C

【分析】

根据分式的定义、幂的乘方、同底数幂相除、分式的基本性质解答即可.

【详解】

A. 若 A、B 表示两个不同的整式，如果B中含有字母，那么称是分式.故此选项错误.

B. ，故故此选项错误.

C. 若将分式中，x、y 都扩大 3 倍，那么分式的值也扩大 3 倍，故此选项正确.

D. 若则，故此选项错误.

故选：C

【点睛】

本题考查的是分式的定义、幂的乘方、同底数幂相除、分式的基本性质，熟练掌握各定义、性质及运算法则是关键.

变式拓展

1．（2019·浙江中考模拟）式子有意义的x的取值范围是（ ）

A．且x≠1 B．x≠1 C． D．且x≠1

【答案】A

【解析】

根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且．故选A．

2．（2019·江苏）下列各式：①，②，③，④中，是分式的有（    ）

A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④

【答案】C

【分析】

根据分式定义：一般地，如果表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，据此进行分析即可．

【详解】

解：根据分式的定义，①，③，是分式；

②，④中，分母中不含字母，不是分式；

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了分式定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．注意是实数不是字母.

3．（2019·四川中考模拟）能使成立的x的取值范围是（  ）

A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x＞2

【答案】D

【分析】

根据被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围即可．

【详解】

由题意可得：，解得：x＞2．

故选D．

【点睛】

二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．

考向二  分式的基本性质

分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：

（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；

（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．

典例引领

1．（2019·天津中考模拟）下列等式成立的是（      ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

A．≠ ，故A不成立；

B． = ，故B成立；

C．不能约分，故C错误；

D． ，故D不成立．

故选B．

2．（2017·天津九年级二模）若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是　　

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的2倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是．

【详解】

解：根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的2倍，

A、，

B、，

C、 ，

D、，

故选A．

【点睛】

本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变．此题比较简单，但计算时一定要细心．

3．（2019·山西九年级专题练习）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．

【详解】

根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，

A、，错误；

B、，错误；

C、，错误；

D、，正确；

故选D．

【点睛】

本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变．此题比较简单，但计算时一定要细心．

变式拓展

1．（2020·浙江九年级一模）下列计算错误的是（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据分式的运算法则逐一作出判断

【详解】

A、，故本选项错误；

B、，故本选项正确；

C、，故本选项正确；

D、，故本选项正确.

故选A.

2．（2019·孟津县黄鹿山乡二中八年级期中）下列各式从左到右的变形正确的是  (      )

A．B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：A. ，故原选项错误；

B. ，故原选项错误；

C. ，故此选项正确；

D.，故原选项错误，

故选C．

3．（2019·河北九年级其他模拟）下列变形从左到右一定正确的是(    )．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据分式的基本性质依次计算各项后即可解答．

【详解】

选项A，根据分式的基本性质，分式的分子和分母都乘以或除以同一个不是0的整式，分式的值不变，分式的分子和分母都减去2不一定成立，选项A错误；

选项B，当c≠0时，等式才成立，即，选项B错误；

选项C，隐含着x≠0，由等式的右边分式的分子和分母都除以x，根据分式的基本性质得出，选项C正确；

选项D，当a=2，b=-3时，左边≠右边，选项D错误．

故选C．

【点睛】

本题考查了分式的基本性质的应用，主要检查学生能否正确运用性质进行变形，熟练运用分式的基本性质是解决问题的关键．

4．（2020·河北九年级其他模拟）下列变形不正确的是（     )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据分式的基本性质：分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变进行解答．

【详解】

，A正确；

，B正确；

，C正确；

，D错误，

故选D．

【点睛】

本题考查的是分式的基本性质，解题的关键是正确运用分式的基本性质和正确把分子、分母进行因式分解．

考向三  分式的约分与通分

约分与通分的区别与联系：

1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；

2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；

3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．

典例引领

1．（2020·扬州市梅岭中学八年级期末）计算的正确结果是(   )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了．

【详解】

原式

.

故选B．

【点睛】

本题考查分式的通分和分式的约分的运用，解题关键在于在解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用．

2．（2019·广西九年级二模）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（　　）

A．约分的结果是

B．分式与的最简公分母是x﹣1

C．约分的结果是1

D．化简﹣的结果是1

【答案】D

【解析】

【分析】

根据分式的基本性质将分式约分，即可判断A与C；根据确定最简公分母的方法判断B；根据分式减法法则计算，即可判断D．

【详解】

解：A、＝ ，故本选项错误；

B、分式与的最简公分母是x2﹣1，故本选项错误；

C、＝ ，故本选项错误；

D、﹣＝1，故本选项正确；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握.

变式拓展

1．（2019·北京通州·中考模拟）化简的结果是（　　）

A． B． C．a﹣b D．b﹣a

【答案】B

【分析】

原式分子分母提取公因式变形后，约分即可得到结果．

【详解】

原式= =

故答案选B.

【点睛】

本题考查的知识点是约分，解题的关键是熟练的掌握约分.

2．（2020·石家庄市第二十八中学九年级二模）化简分式过程中开始出现错误的步骤是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】B

【分析】

根据异分母分式的加法法则可以检查出出错的步骤．

【详解】

解：∵=

经过仔细比对，发现出错的步骤是题中所示②，分子相减时没有把第二个分子当作整体用括号括起来，

故选B．

【点睛】

本题考查异分母分式的加减，先对异分母分式通分并在加减过程中把每个分子当作一个整体是解题关键 ．

3．（2019·天津中考模拟）下列约分正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据分式的基本性质进行解答即可得.

【详解】

A. ，故A选项错误；

B. ，故B选项错误；

C. ，故C选项正确；

D. ，故D选项错误，

故选C.

【点睛】

本题考查了分式的约分，约分主要是应用分式的性质，注意约分是约去分子、分母的公因式，并且分子与分母相同时约分结果应是1，而不是0．