考点01 尺规作图-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

考点一 尺规作图

知识点整合

一、尺规作图

1．尺规作图的定义

在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．

2．五种基本作图

（1）作一条线段等于已知线段；

（2）作一个角等于已知角；

（3）作一个角的平分线；

（4）作一条线段的垂直平分线；

（5）过一点作已知直线的垂线．

3．根据基本作图作三角形

（1）已知三角形的三边，求作三角形；

（2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；

（3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；

（4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；

（5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形．

4．与圆有关的尺规作图

（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；

（2）作三角形的内切圆．

5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型．

6．作图题的一般步骤

（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论．

其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.

二、尺规作图的方法

1．尺规作图的关键

 （1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；

 （2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．

 2．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形

求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角．

典例引领

1．（2019·浙江八年级期末）已知，按下列要求：（尺规作图，保留痕迹，不写作法）

（1）作边上的高；

（2）作的平分线．（尺规作图）

（3）作出线段的垂直平分线．（尺规作图）

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析

【分析】

（1）根据钝角三角形高的做法即可；

（2）根据角平分线的尺规作图方法即可；

（3）根据线段垂直平分线的尺规作图方法即可．

【详解】

解：（1）如图所示：AD为BC边上的高．

（2）如图所示：BE为△ABC的平分线．

（3）如图所示：为线段的垂直平分线．

【点睛】

本题考查了钝角三角形的高、角平分线、线段垂直平分线的尺规作图，解题的关键掌握相应的作图方法．

2．（2020·山西七年级期中）如图，利用尺规在的边上方作，并说明：．（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

【分析】

利用尺规作∠DAC=∠ACB即可，再根据平行线的判定定理可得出结论．

【详解】

解：如图所示，∠CAD即为所求，

∵∠DAC=∠ACB，
∴AD∥CB．

【点睛】

本题考查尺规作图、平行线的判定等知识，解题的关键是学会利用尺规作一个角等于已知角，属于基础题．

3．（2019·甘肃七年级期中）如图，利用尺规作∠CPE，使∠CPE=∠A，且PE∥AB．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据作一个角等于已知角的方法作∠CPE=∠A即可．

【详解】

如图所示：

∠CPE即为所求．

【点睛】

此题主要考查了基本作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法．

4．（2017·山东七年级期中）尺规作图：如图，过点A作BC的平行线EF（说明：只允许尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，要写结论．）

【答案】作图见解析.

【解析】试题分析：可作∠B的内错角∠DAB=∠B，做直线AD即可．

试题解析：如图：

【点睛】用尺规做平行一般要做角相等；用到的知识点为：内错角相等，两直线平行．

变式拓展

1．（2019·江苏八年级期中）如图，在中．

利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离的长等于PC的长；

利用尺规作图，作出中的线段PD．

要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑

【答案】作图见解析； （2）作图见解析.

【分析】

由点P到AB的距离的长等于PC的长知点P在平分线上，再根据角平分线的尺规作图即可得（以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与AC、AB分别交于一点，然后分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半长为半径画弧，两弧交于一点，过点A及这个交点作射线交BC于点P，P即为要求的点）；

根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得（以点P为圆心，以大于点P到AB的距离为半径画弧，与AB交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点间距离一半长为半径画弧，两弧在AB的一侧交于一点，过这点以及点P作直线与AB交于点D，PD即为所求）．

【详解】

如图，点P即为所求；

如图，线段PD即为所求．

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题．

2．（2019·汕头市龙湖实验中学八年级月考）已知∠AOB．求作：∠AOB的平分线.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)，这种尺规作图得到角平分线的依据是______.

【答案】作图见解析；三条边对应相等的两个三角形全等，全等三角形对应角相等.

【分析】

①以点O为圆心，以适当长为半径作弧交OA、OB于C、D；②分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线OE，OE即是∠AOB的平分线；连结CE，DE，根据SSS可证△OCE≌△ODE，可得∠COE=∠DOE，问题得解.

【详解】

解：如图，射线OE即为所求：

连结CE，DE，

由作图可知：OC=OD，CE=DE，

∵OE=OE，

∴△OCE≌△ODE（SSS），

∴∠COE=∠DOE，即OE为∠AOB的平分线，

∴这种尺规作图得到角平分线的依据是：三条边对应相等的两个三角形全等，全等三角形对应角相等.

【点睛】

本题考查了尺规作图－作角平分线以及全等三角形的判定和性质，用到的知识点为：边边边证明两三角形全等；全等三角形的对应角相等．

3．（2020·西工大附中分校七年级月考）尺规作图：已知△ABC，请用尺规在AB上找一点P，使得PB＝PC（不写作法，但要保留作图痕迹）．

【答案】如图，点P即为所求．见解析．

【分析】

作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．

【详解】

如图，点P即为所求．

【点睛】

本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

4．（2016·陕西九年级专题练习）如图已知△ABC(AC＜BC)用尺规在BC上确定一点P,使 PA+PC=BC．(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.)

【答案】AB的垂直平分线，与BC的交点即为点P

【解析】

【分析】

根据线段垂直平分线的性质可知，作AB的垂直平分线，与BC的交点即为点P．

【详解】

理由：如图所示，连接PA.

∵由作图得，点P在AB的垂直平分线上，

∴PA=PB.

∵PB+PC=BC，

∴PA+PC=BC.

【点睛】

本题考查的是基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握这两点是解题的关键.

5．（2018·江苏盐城中学九年级期中）尺规作图：作△ABC的外接圆（保留作图痕迹）

【答案】见解析

【解析】

分析：根据三角形外接圆的作法，作任意两边垂直平分线得出圆心，进而得出外接圆．

详解：如图所示，⊙O即为所求；

点睛：本题主要考查了复杂作图以及三角形的外接圆作法等知识，得出O是线段BC和AC的垂直平分线的交点是解题的关键．

6．（2020·马鞍山市成功学校八年级期中）尺规作图，保留必要的作图痕迹．

已知，求作，使．

【答案】见解析．

【分析】

分别作出三边等于已知三角形的三边即可．

【详解】

步骤如下：

（1）画线段；

（2）分别以、为圆心，线段，为半径画弧，两弧交于点；

（3）连结线段、，就是所求作的三角形．

【点睛】

此题考查作图-复杂作图，解题关键在于掌握知识点：三边对应相等的两三角形全等．