考点01 平行四边形与多边形-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

考点一 平行四边形与多边形

知识点整合

一、多边形

1．多边形的相关概念

（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．

（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为．

2．多边形的内角和、外角和

（1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；

（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.

3．正多边形

（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.

（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为．

（3）正n边形有n条对称轴.学科_网

（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．

二、平行四边形的性质

1．平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示.

2．平行四边形的性质

（1）边：两组对边分别平行且相等．

（2）角：对角相等，邻角互补．

（3）对角线：互相平分．

（4）对称性：中心对称但不是轴对称．

3．注意：

利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：

（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．

（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．

（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．

4．平行四边形中的几个解题模型

（1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．

（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；

两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；

根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．

（3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.

（4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．

三、平行四边形的判定

（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

考向一 多边形

多边形内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；多边形外角和：任意多边形的外角和为360°；

正多边形是各边相等，各角也相等的多边形．

典例引领

1．（2020·温州市南浦实验中学九年级期末）若一个圆内接正多边形的内角是，则这个多边形是（    ）

A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形

【答案】A

【分析】

根据正多边形的内角求得每个外角的度数，利用多边形外角和为360°即可求解．

【详解】

解：∵圆内接正多边形的内角是，

∴该正多边形每个外角的度数为，

∴该正多边形的边数为：，

故选：A．

【点睛】

本题考查圆与正多边形，掌握多边形外角和为360°是解题的关键．

2．（2020·河南伊川县·七年级期末）小飞家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖，建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种形状的地砖混合使用，你认为要使地面铺满，小飞应选择另一种形状的地砖是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

正八边形的一个内角为135°，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．

【详解】

正八边形的每个内角为135°，

A、正八边形、正三角形内角分别为135°、60°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
B、正方形、八边形内角分别为90°、135°，由于135×2+90=360，故能铺满；
C、正六边形、正八边形内角分别为120°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
D、正五边形和正八边形内角分别为108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．
故选：B．

【点睛】

本题主要考查了平面镶嵌（密铺），解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．

变式拓展

1．（2020·湖北东西湖区·八年级期中）一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500°，则这个多边形的边数是（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

2．（2020·四川平昌县·七年级期末）下列关于多边形的说法不正确的是（    ）

A．内角和外角和相等的多边形是四边形

B．十边形的内角和为1440°

C．多边形的内角中最多有四个直角

D．十边形共有40条对角线

3．（2020·江西南昌市·八年级期中）有公共顶点，的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接交正六边形于点，则的度数为（　　　）

A． B． C． D．

考向二 平行四边形的性质判定

平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.

平行四边形的性质为我们证明线段平行或相等，角相等提供了新的理论依据．

平行四边形的判定方法有五种，在选择判定方法时应根据具体条件而定．对于平行四边形的判定方法，应从边、角及对角线三个角度出发，而对于边又应考虑边的位置关系及数量关系两方面．

典例引领

1．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）如图1，是的中线，，垂足为点P，设，，，则，利用这一性质计算．如图2，在中，E，F，G分别是的中点，于点E，，，则求的值．

【答案】

【分析】

连接AC、EF交于点N，BE、AF交于点M，根据三角形中位线定理可得，，根据题意可证四边形ABFE、AFCE是平行四边形，利用平行四边形性质可得M、N是AF、EF中点，适用图1性质，计算得出AF的值．

【详解】

解：连接AC、EF交于点N，BE、AF交于点M，连接EC,如图：

∵E、G是AD、CD中点，

∴在中，，

∵，

∴；

∵E、F是AD、BC中点，

∴AE平行且等于BF，AE平行且等于FC，

∴ABFE是平行四边形，AFCE是平行四边形，

∴点M是AF的中点，（平行四边形对角线互相平分），

点N是EF的中点，（平行四边形对角线互相平分），

∴适用图1性质，

∴，

∵，，

∴，

解得：．

【点睛】

本题重点考查三角形中位线定理及平行四边形性质与判定，灵活运用三角形中位线定理是解题关键．

2．（2020·通辽市科尔沁区第七中学九年级期末）在四边形ABCD中，AD//BC．∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm．BC＝26cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．求：从运动开始，使PQ＝CD，需要经过的时间是多少？

【答案】8s或s

【分析】

设运动时间为t秒，则有AP＝t，CQ＝2t，分PQ//CD和PQ与CD不平行两种情况进行讨论，再根据平行四边形或梯形的性质建立方程即可求解．

【详解】

解：（1）当PQ//CD时，

∵AD//BC，

∴四边形PDCQ是平行四边形，

∴PD＝CQ，

而AP＝t，CQ＝2t，PD＝AD－AP＝24－t，

即：2t＝24－t

解得： t＝8．

（2）当PQ与CD不平行时，而AD//BC，PQ＝CD，

∴四边形PDCQ是等腰梯形，

作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，则四边形ABND、PMND均是矩形，

∴AD＝BN＝24，CN＝BC－BN＝2，QM＝CN＝2，PD＝MN，

而CQ＝QM＋MN＋NC，

∴ 2t＝24－t＋2＋2，

解得： t＝．

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质及等腰梯形的判定与性质，属于动点型问题，关键是分类讨论点P及点Q位置，然后利用方程思想求解t的值．

3．（2020·哈尔滨市第四十七中学九年级月考）已知：如图，点在的边上，CF//AB，交于，．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，若，请直接写出和面积相等的三角形．

变式拓展

1．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为4，求四边形的面积．

2．（2020·浙江温州市·实验中学八年级期中）如图，在▱ABCD中，点E，点F在对角线AC上且AE＝EF＝FC．

（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；

（2）若∠CDE＝90°，DC＝8，DE＝6，求▱DEBF的周长．

3．（2020·扬州市梅岭中学八年级期中）如图，在长方形纸片中，，，将长方形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，此时．

（1）求的值；

（2）在边上是否存在一个动点，且不与点、重合，使的周长最小．如果存在求出的周长最小值：如果不存在，请说明理由；

（3）若点，是边上的两个动点，且不与点，重合，．当四边形的周长最小时，其周长的最小值是______．

4．（2020·四川金牛区·成都实外七年级期中）如图在四边形中，交于点，点、点分别是、的中点．

（1）如果，．观察猜想与之间的关系，并证明你的猜想．

（2）如果，，求线段的取值范围．

5．（2020·四川成都七中八一学校九年级月考）如图，在中，，，，点、分别是边、上的动点（点不与，重合），且，过点作的平行线，交于点，连接，设为．

（1）求证：∽．

（2）是否存在一点，使得四边形为平行四边形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

6．（2020·上海浦东新区·八年级月考）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC，且交CE的延长线于点F，联结BF．

（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；

（2）当AB＝AC时，求证：四边形AFBD是矩形；

（3）（填空）在（2）中再增加条件　   　．则四边形AFBD是正方形．