考点02 二次根式-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

考点02 二次根式

知识点整合

1．二次根式的有关概念

（1）二次根式的概念

形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．

【注意】被开方数只能是非负数．即要使二次根式有意义，则a≥0．

（2）最简二次根式

 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．

（3）同类二次根式

 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．

2．二次根式的性质

（1）≥ 0（≥0）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）．

3．二次根式的运算

（1）二次根式的加减

合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．

（2）二次根式的乘除

乘法法则：；

除法法则：．

（3）二次根式的混合运算

二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．

在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．

考向一 二次根式的概念及性质

1．二次根式的有关概念

（1）二次根式的概念

形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．

2．二次根式的性质

（1）≥ 0（≥0）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）．

典例引领

1．（2020·浙江杭州·八年级其他模拟）下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据二次根式的性质即可求得．

【详解】

A. ，所以选项A错误；

B. ，所以选项B错误；

C. ，所以选项C正确；

D. ，所以选项D错误；

故选C

【点睛】

本题考查二次根式的性质，是基础题．

2．（2020·浙江杭州·九年级其他模拟）下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据二次根根式的运算法则即可求出答案．

【详解】

A、，故该选项错误；

B、，故该选项错误；

C、，故该选项错误；

D、，故该选项正确；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了利用二次根式的性质化简，正确掌握相关运算法则是解题关键．

3．（2019·义乌市荷叶塘初级中学八年级月考）函数的自变量x的取值范围是（    ）

A． B．且 C． D．

【答案】B

【分析】

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．

【详解】

根据题意得，且，

所以且．

故选B．

【点睛】

本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

4．（2019·郑州枫杨外国语学校八年级月考）要使式子有意义，则下列数值中x不能取的是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】

根据被开方数是非负数列式求解即可．

【详解】

由题意得：，，故不可取的是4；

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握使二次根式有意义的条件是解决这类问题的关键．

变式拓展

1．（2020·渠县崇德实验学校八年级月考）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是(   )

A．x<1 B．x≥1 C．x≤-1 D．x>1

【答案】B

【分析】

根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可得出结果．

【详解】

解：由题意得，x−1≥0，

解得 x≥1．

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次根式的意义，熟练掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．

2．（2020·山西九年级期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据二次根式的被开方数大于等于0列式计算即可得解．

【详解】

由题意得，
解得．
故选：A．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．

3．（2020·山西八年级期中）在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据二次根式有意义的条件可得x-1≥0，再解即可．

【详解】

解：由题意得：x-1≥0，
解得：x≥1，
故选：A．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

4．（2020·西安市铁一中学八年级期中）当时，化简的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据二次根式的性质即可化简．

【详解】

解：∵

∴

∴=

故选：B．

【点睛】

此题主要考查二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．

5．（2020·陕西八年级期中）化简二次根式得（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据二次根式有意义的条件可推测，利用积的算术平方根以及商的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来即可．

【详解】

∵，

∴，

∴．

故选Ａ．

【点睛】

本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的意义以及化简方法为解题关键．

考向二 二次根式的运算

（1）二次根式的加减

合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．

（2）二次根式的乘除

乘法法则：；

除法法则：．

（3）二次根式的混合运算

二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．

在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．

典例引领

1．（2020·陕西榆林十二中九年级月考）计算：．

【答案】

【分析】

利用二次根式的性质、绝对值的性质和负整数指数幂逐项计算即可求解．

【详解】

解：原式

．

【点睛】

本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、绝对值的性质和负整数指数幂是解题的关键．

2．（2020·山西九年级期中）计算：

（1）

（2）

【答案】（1）-3；（2）

【分析】

（1）先对二次根式进行化简，然后进行二次根式的加减运算；

（2）先利用二次根式的乘除进行化简，然后进行加减运算即可．

【详解】

解：（1）原式；

（2）原式．

【点睛】

本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算是解题的关键．

3．（2020·吉林农安县第三中学、农安三中九年级月考）计算

【答案】

【分析】

根据实数的运算法则计算即可 ．

【详解】

解：原式．

【点睛】

本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的乘法、二次根式的意义及零指数幂的意义是解题关键．

4．（2020·西安市铁一中学八年级期中）计算

（1）

（2）

（3）

（4）

【答案】（1）（2）（3）（4）

【分析】

（1）利用多项式乘以多项式的法则计算即可；

（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可；

（3）利用完全平方公式和平方差公式化简即可；

（4）根据二次根式的除法法则计算即可.

【详解】

（1）原式=

=

（2）原式=

（3）原式

（4）原式

【点睛】

本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的法则，考查学生的计算能力.

5．（2020·重庆巴蜀中学八年级期中）计算：

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）．

【分析】

(1)先化简，，，再合并同类二次根式即可，

(2)先用公式计算，与因式分解约分，再合并同类二次根式与同类项即可．

【详解】

（1），

=，

=，

（2），

=，

=．

【点睛】

本题考查二次根式的混合运算，会化简最简二次根式，会用二次根式的性质化去根号，掌握零次幂，会用乘法公式计算二次根式，会计算混合运算，熟练掌握法则，公式，性质，才能结合实际问题选择恰当的解决方法．

6．（2019·扎赉特旗音德尔第三高中九年级期末）计算：

【答案】1

【分析】

根据二次根式、绝对值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算即可．

【详解】

解：原式＝－（－2 ）＋－1

＝－＋2 ＋－1       

＝1．

【点睛】

本题考查二次根式的混合运算，涉及到绝对值、负整数指数幂、零指数幂的运算法则，熟练掌握基本运算法则是关键．

7．（2020·灵宝市实验中学八年级月考）已知a＝3+，b＝3﹣，分别求下列代数式的值：

（1）a2﹣b2；

（2）a2b+ab2．

【答案】（1）；（2）42

【分析】

（1）将a、b的值代入a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），计算即可；

（2）将a、b的值代入a2b+ab2＝ab（a+b），计算即可．

【详解】

解：（1）当a＝3+，b＝3﹣时，

a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）

＝（3++3﹣）（3+﹣3+）

＝6×2

＝12；

（2）当a＝3+，b＝3﹣时，

a2b+ab2＝ab（a+b）

＝（3+）（3﹣）（3++3﹣）

＝（9﹣2）×6

＝7×6

＝42．

【点睛】

本题考查二次根式的乘除计算，关键在于合理利用已经学了的公式进行计算，这样便于简便一些．

变式拓展

1．（2020·浙江杭州·八年级其他模拟）计算：

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）7

【分析】

（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

（2）利用完全平方公式和乘法分配律计算即可．

【详解】

解：（1）

（2）

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．

2．（2019·哈尔滨市萧红中学七年级月考）计算：

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）化简绝对值，在进行计算即可；

（2）算出立方根、算术平方根，结合幂的运算计算即可；

【详解】

（1）原式；

（2）原式；

【点睛】

本题主要考查了实数的混合运算，结合绝对值的性质，立方根和算术平方根的计算是解题的关键．

3．（2020·四川成都实外八年级期中）先化简，再求值：其中．

【答案】，

【分析】

根据分式的运算法则进行化简求值，再根据二次根式的运算代入求值．

【详解】

解：原式，

把代入原式得：原式．

【点睛】

本题考查分式的化简求值和二次根式的计算，解题的关键是掌握分式和二次根式的运算法则．

4．（2020·甘肃八年级期中）计算：

（1）       

（2）

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）直接利用完全平方公式以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简二次根式，再合并得出答案；
（2）直接化简二次根式，再合并得出答案．

【详解】

解：（1）

解：（2）

【点睛】

此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

5．（2020·山西八年级期中）计算：

（1）    （2）

（3）    （4）

【答案】（1）；（2）-2；（3）3；（4）．

【分析】

（1）按二次根式加减运算的法则进行计算即可；

（2）按照平方差公式展开，再计算即可；

（3）先对二次根式进行化简，然后按照分配律计算即可；

（4）按照二次根式混合运算的法则进行计算即可．

【详解】

（1）原式==；

（2）原式=3-5=-2；

（3）原式=

=

=6-3

=3；

（4）原式=

=

=．

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题关键．

6．（2020·张掖育才中学八年级月考）计算

（1）          

（2）

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）根据二次根式的性质化简，然后根据合并同类二次根式法则计算即可；

（2）根据平方差公式、负指数幂的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质计算即可．

【详解】

解：（1）

=

=

=

（2）

=

=

【点睛】

此题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、合并同类二次根式法则、平方差公式、负指数幂的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质是解题关键．

7．（2020·辽宁辽阳二中八年级期中）计算：

【答案】

【分析】

运用平方差公式和零指数幂定义进行计算．

【详解】

解：

=

=

【点睛】

本题考查二次根式的混合运算及零指数幂定义，关键是熟练运用平方差公式进行计算．

8．（2020·浙江七年级期中）计算：

（1）  （2）

（3）  （4）

【答案】（1）48；（2）；（3）；（4）2034．

【分析】

（1）从左到右依次计算即可；

（2）先将除法化为乘法，再计算乘法即可；

（3）先利用乘法分配律计算，再计算有理数的加法和合并同类二次根式；

（4）分别计算乘法，立方根，将结果相加即可．

【详解】

解：（1）原式=

=48；

（2）原式=

=；

（3）原式=

=；

（4）原式=

=2034．

【点睛】

本题考查二次根式的加减运算，有理数的混合运算．熟练掌握运算顺序和每一步的运算法则是解题关键．

9．（2020·山西八年级期末）先化简，再求值：，其中.

【答案】.

【分析】

根据分式的运算法则进行化简，再代入求解.

【详解】

原式=.

将代入原式得

【点睛】

此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.