考点02 二次函数与方程不等式之间的关系-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

考点二 二次函数与方程不等式之间的关系

知识点拓展

一、二次函数与一元二次方程的关系

1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．

2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．

3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；

（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；

（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．

考向一　二次函数与一元二次方程、不等式的综合

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b2–4ac决定.

1．当Δ>0，即抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．

2．当Δ=0，即抛物线与x轴有一个交点（即顶点）时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．

3．当Δ<0，即抛物线与x轴无交点时，方程ax2+bx+c=0无实数根，此时抛物线在x轴的上方（a>0时）或在x轴的下方（a<0时）．

典例引领

1．（2019·河南九年级专题练习）已知二次函数（为常数）.

（1）求证：不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点；

（2）当取什么值时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方？

【答案】（1）证明见解析；（2）时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方.

【解析】

分析：（1）首先求出与x轴交点的横坐标，,即可得出答案;

(2)求出二次函数与y轴的交点纵坐标.根据交点纵坐标大于0即可求出.

详解：

（1）证明：当时，.

解得，.

当，即时，方程有两个相等的实数根；当，即时，方程有两个不相等的实数根.

所以，不论为何值，该函数的图像与轴总有公共点.

（2）解：当时，，即该函数的图像与轴交点的纵坐标是.

当，即时，该函数的图像与轴的交点在轴的上方.

点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点坐标,熟练掌握抛物线与x轴的交点的证明方法，求出抛物线与y轴交点的纵坐标是解决问题（2）的关键.

2．（2020·全国九年级课时练习）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）

（1）求该函数的关系式；

（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；

（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与y轴的交点为：（0，3）；与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）15.

【解析】

【分析】

（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；

（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；

（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．

【详解】

解：（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，

将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，

∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；

（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），

令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，

即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；

（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），

由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），

当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，

故A'（2，4），B'（5，﹣5），

∴S△OA′B′=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．

【点睛】

本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.

3．（2020·多伦县第四中学九年级期中）已知二次函数（m是常数）

（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点；

（2）把该函数的图像沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？

4．（2020·安徽九年级专题练习）已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.

(1)求k的值：

(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标.

5．（2017·山西九年级专题练习）如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．

6．（2014·山西）如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．

7．（2020·浙江余杭区·九年级月考）如图，直线和抛物线都经过点，．

求m的值和抛物线的解析式；

求不等式的解集直接写出答案

8．（2020·江西定南县·九年级期末）如图，已知抛物线y1=x2-2x-3与x轴相交于点A，B(点A在B的左侧)，与y轴相交于点C，直线y2=kx+b经过点B，C．

（1）求直线BC的函数关系式；

（2）当y1>y2时，请直接写出x的取值范围．

变式拓展

1．（2020·昆山市城北中学九年级月考）已知二次函数．

（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；

（2）若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式.

2．（2020·河南九年级期中）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．

（1）求证：2a+b=0；

（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．

3．（2020·湖南湘阴县·知源学校九年级其他模拟）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；

（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．

4．（2019·黑龙江克东县·）某童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装每天可售出20件为了迎接“六一儿童节”，童装店决定采取适当的促销措施，扩大销售量，增加盈利经调查发现：如果每件童装降价1元，那么每天就可多售出2件．

如果童装店想每天销售这种童装盈利1050元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？

每件童装降价多少元时，童装店每天可获得最大利润？最大利润是多少元？

5．（2019·全国九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴正半轴、y轴的负半轴上，二次函数y＝(x−h)2+k的图象经过B、C两点．

（1）求该二次函数的顶点坐标；

（2）结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围；

（3）设m＜，且A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数图象上，试比较y1、y2的大小，并简要说明理由．

6．（2020·黑龙江甘南县·九年级期末）某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元件，为了调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量件与每件的销售价元件之间有如下关系：

请写出该超市销售这种产品每天的销售利润元与x之间的函数关系式，并求出超市能获取的最大利润是多少元．

若超市想获取1500元的利润求每件的销售价．

若超市想获取的利润不低于1500元，请求出每件的销售价X的范围？

7．（2018·湖北九年级期中）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点D（0，）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；

（3）当y≤时，直接写出x的取值范围是　   ．

8．（2019·山东东营市·九年级月考）如图，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，直接写出满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围．

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P使得PA+PC最小，求P点坐标及最小值．