考点02 分式方程的应用-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

考点二  分式方程的应用

分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．

典例引领

1．某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．

（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？

（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？

【答案】（1）甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；（2）他们最多可购买11棵乙种树苗．

【分析】

（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；

（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．

【详解】

（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，

依题意有   ，

解得：x=30，

经检验，x=30是原方程的解，

x+10=30+10=40，

答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；

（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有

30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，

解得y≤11，

∵y为整数，

∴y最大为11，

答：他们最多可购买11棵乙种树苗．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系与不等关系列出方程或不等式是解决问题的关键.

2．（2020·山东九年级其他模拟）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．

（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？

（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？

【答案】(1) B型商品的进价为120元， A型商品的进价为150元;(2) 5500元.

【分析】

（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元，根据“用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍”，这一等量关系列分式方程求解即可；

（2）根据题意中的不等关系求出A商品的范围，然后根据利润=单价利润×减数函数关系式，根据函数的性质求出最值即可.

【详解】

（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元．

由题意：

解得x=120，

经检验x=120是分式方程的解，

答：一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元．

（2）因为客商购进A型商品m件，销售利润为w元．

m≤100﹣m，m≤50，

由题意：w=m（200﹣150）+（100﹣m）（180﹣120）=﹣10m+6000，

∴m=50时，w有最小值=5500（元）

【点睛】

此题主要考查了分式方程和一次函数的应用等知识，解题关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，注意解方式方程时要检验.

3．（2020·云南九年级其他模拟）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．

（1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？

（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．

①求m的取值范围．

②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元）的函数关系式.

【答案】（1）一件A型、B型丝绸的进价分别为500元，400元；（2）①，②．

【分析】

（1）根据题意应用分式方程即可；

（2）①根据条件中可以列出关于m的不等式组，求m的取值范围；②本问中，首先根据题意，可以先列出销售利润y与m的函数关系，通过讨论所含字母n的取值范围，得到w与n的函数关系．

【详解】

（1）设型丝绸的进价为元，则型丝绸的进价为元,

根据题意得：，

解得，

经检验，为原方程的解，

，

答：一件型、型丝绸的进价分别为500元，400元．

（2）①根据题意得：

，

的取值范围为：，

②设销售这批丝绸的利润为，

根据题意得：

，

，

（Ⅰ）当时，，

时，

销售这批丝绸的最大利润；

（Ⅱ）当时，，

销售这批丝绸的最大利润；

（Ⅲ）当时，

当时，

销售这批丝绸的最大利润．

综上所述：．

【点睛】

本题综合考察了分式方程、不等式组以及一次函数的相关知识．在第（2）问②中，进一步考查了，如何解决含有字母系数的一次函数最值问题．

4．（2019·山西九年级专题练习）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．

（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？

（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？

【答案】（1）乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．（2）10天.

【分析】

（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据总费用=甲队每天所需费用×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过145万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

【详解】

（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，

根据题意得：，

解得：x=40，

经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，

∴x=×40=60，

答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米；

（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，

根据题意得：7m+5×≤145，

解得：m≥10，

答：至少安排甲队工作10天．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．

5．（2018·山西九年级专题练习）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：

信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；

信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．

根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．

【答案】甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品

【解析】

解：设甲工厂每天能加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，

根据题意得，，

解得x=40．

经检验，x=40是原方程的解，并且符合题意．

1.5x=1.5×40=60．

答：甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品．

设甲工厂每天能加工x件产品，表示出乙工厂每天加工1.5x件产品，然后根据甲加工产品的时间比乙加工产品的时间多10天列出方程求解即可．

变式拓展

1．（2019·山西）某公司购买了一批、型芯片，其中型芯片的单价比型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买型芯片的条数与用4200元购买型芯片的条数相等．

（1）求该公司购买的、型芯片的单价各是多少元？

（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条型芯片？

【答案】（1）A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条；（2）80．

【解析】

【分析】

（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，根据数量=总价÷单价结合用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片，根据总价=单价×数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．

【详解】

（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，根据题意得：

，

解得：x＝35，

经检验，x＝35是原方程的解，

∴x﹣9＝26．

答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．

（2）设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片，根据题意得：

26a+35（200﹣a）＝6280，

解得：a＝80．

答：购买了80条A型芯片．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．

2．（2015·山西九年级专题练习）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．

（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．

（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．

【答案】（1）2400个， 10天；（2）480人．

【分析】

（1）设原计划每天生产零件x个，根据相等关系“原计划生产24000个零件所用时间=实际生产（24000+300）个零件所用的时间”可列方程，解出x即为原计划每天生产的零件个数，再代入即可求得规定天数；（2）设原计划安排的工人人数为y人，根据“（5组机器人生产流水线每天生产的零件个数+原计划每天生产的零件个数）×（规定天数-2）=零件总数24000个”可列方程[5×20×（1+20%）×+2400] ×（10-2）=24000，解得y的值即为原计划安排的工人人数．

【详解】

解：（1）解：设原计划每天生产零件x个，由题意得，

，

解得x=2400，

经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意．

∴规定的天数为24000÷2400=10（天）．

答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天．

（2）设原计划安排的工人人数为y人，由题意得，

[5×20×（1+20%）×+2400] ×（10-2）=24000,

解得，y=480．

经检验，y=480是原方程的根，且符合题意．

答：原计划安排的工人人数为480人．

【点睛】

本题考查分式方程的应用，找准等量关系是本题的解题关键，注意分式方程结果要检验．

3．（2020·新乐市实验学校八年级月考）为支援灾区，某校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品共1000件．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品的件数与用120元购买A型学习用品的件数相同．

（1）求A、B两种学习用品的单价各是多少元？

（2）若购买这批学习用品的费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？

【答案】（1）A型学习用品20元，B型学习用品30元；（2）800．

【解析】

（1）设A种学习用品的单价是x元，根据题意，得

，解得x＝20．经检验，x＝20是原方程的解．所以x+10＝30．

答：A、B两种学习用品的单价分别是20元和30元．

（2）设购买B型学习用品m件，根据题意，得

30m+20(1000－m)≤28000，解得m≤800．所以，最多购买B型学习用品800件．

4．（2019·安徽九年级专题练习）山地自行车越来越受中学生的喜爱．一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元．

（1）求二月份每辆车售价是多少元？

（2）为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？

【答案】（1）二月份每辆车售价是900元；（2）每辆山地自行车的进价是600元．

【解析】

【分析】

（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据利润=售价﹣进价，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．

【详解】

（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，

根据题意得：，

解得：x=900，

经检验，x=900是原分式方程的解，

答：二月份每辆车售价是900元；

（2）设每辆山地自行车的进价为y元，

根据题意得：900×（1﹣10%）﹣y=35%y，

解得：y=600，

答：每辆山地自行车的进价是600元．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.

5．班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：

（1）大巴与小车的平均速度各是多少？

（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？

【答案】（1）大巴的平均速度为40公里/时，则小车的平均速度为60公里/时；（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里

【分析】

（1）根据“大巴车行驶全程所需时间=小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时间”列分式方程求解可得；

（2）根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间+小车晚出发时间=大巴车从学校到相遇点所用时间”列方程求解可得．

【详解】

（1）设大巴的平均速度为x公里/时，则小车的平均速度为1.5x公里/时，根据题意，得：

=++

解得：x=40．

经检验：x=40是原方程的解，∴1.5x=60公里/时．

答：大巴的平均速度为40公里/时，则小车的平均速度为60公里/时；

（2）设苏老师赶上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意，得：

+=

解得：y=30．

答：苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程．