考点02 与圆有关的位置关系-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

考点二 与圆有关的位置关系

知识点整合

一、与圆有关的位置关系

1．点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d．

(1)d<r⇔点在⊙O内；

(2)d=r⇔点在⊙O上；

(3)d>r⇔点在⊙O外．

判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．

2．直线和圆的位置关系

由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．

二、切线的性质与判定

1．切线的性质

（1）切线与圆只有一个公共点．

（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．

（3）切线垂直于经过切点的半径．

利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．

2．切线的判定

（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．

（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．

（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

切线判定常用的证明方法：

①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；

②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．

三、三角形与圆

1．三角形的外接圆相关概念

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．

外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．

2．三角形的内切圆

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．

考向一 点、直线与圆的位置关系以及切线的性质与判定

1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．

2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．

3 . 圆与圆的位置关系：相离、外切、相交、内切、包含

4 . 有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．

典例引领

1．（2019·浙江省锦绣江山外国语学校九年级期中）一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（  ）

A．2.5 cm或6.5 cm

B．2.5 cm

C．6.5 cm

D．5 cm或13cm

【答案】A

【分析】

点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．

【详解】

解：当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是13cm，因而半径是6.5cm；

当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．

故选A．

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．

2．（2020·陕西九年级专题练习）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（   ）

A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条

【答案】C

【解析】

【分析】

首先判断点与圆的关系，然后再分析P可作⊙O的切线条数即可解答.

【详解】

解：因为点P到O的距离为2，大于半径1，所以点P在圆外，

所以，过点P可作⊙O的切线有2条；

故选C.

【点睛】

本题考查了点与圆的关系、切线的定义，熟练掌握是解题的关键.

3．（2020·台州市双语学校九年级月考）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=－x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（    ）

A．． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

如图，当直线与圆相切时，A(0， )，B(0，-)，易得D选项正确.

4．（2020·山东乐陵市·九年级二模）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C

（1）求证：AE与⊙O相切于点A；

（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．

4．（2020·河南太康县·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．

（1）求证：CE=EF；

（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：

①当∠D的度数为　   　时，四边形ECFG为菱形；

②当∠D的度数为　   　时，四边形ECOG为正方形．

【答案】（1）证明见解析；（2）①30°；②22.5°.

【解析】

分析：（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠1+∠4=90°，再利用等腰三角形和互余证明∠1=∠2，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；

（2）①当∠D=30°时，∠DAO=60°，证明△CEF和△FEG都为等边三角形，从而得到EF=FG=GE=CE=CF，则可判断四边形ECFG为菱形；

②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，利用三角形内角和计算出∠COE=45°，利用对称得∠EOG=45°，则∠COG=90°，接着证明△OEC≌△OEG得到∠OEG=∠OCE=90°，从而证明四边形ECOG为矩形，然后进一步证明四边形ECOG为正方形．

详解：（1）证明：连接OC，如图，

.

∵CE为切线，

∴OC⊥CE，

∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°，

∵DO⊥AB，

∴∠3+∠B=90°，

而∠2=∠3，

∴∠2+∠B=90°，

而OB=OC，

∴∠4=∠B，

∴∠1=∠2，

∴CE=FE；

（2）解：①当∠D=30°时，∠DAO=60°，

而AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠B=30°，

∴∠3=∠2=60°，

而CE=FE，

∴△CEF为等边三角形，

∴CE=CF=EF，

同理可得∠GFE=60°，

利用对称得FG=FC，

∵FG=EF，

∴△FEG为等边三角形，

∴EG=FG，

∴EF=FG=GE=CE，

∴四边形ECFG为菱形；

②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，

而OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC=67.5°，

∴∠AOC=180°-67.5°-67.5°=45°，

∴∠AOC=45°，

∴∠COE=45°，

利用对称得∠EOG=45°，

∴∠COG=90°，

易得△OEC≌△OEG，

∴∠OEG=∠OCE=90°，

∴四边形ECOG为矩形，

而OC=OG，

∴四边形ECOG为正方形．

故答案为30°，22.5°．

点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了菱形和正方形的判定．

5．（2020·河北涞水县·九年级期末）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．

（1）求∠ABC的度数；

（2）求证：AE是⊙O的切线；

（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．

【答案】（1）60°;(2)证明略;(3)

【分析】

（1）根据∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，利用圆周角定理可证出∠ABC=∠D=60°； 
（2）根据AB是⊙O的直径，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，结合∠ABC=60°求得∠BAC=30°，从而推出∠BAE=90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切线；
（3）连结OC，证出△OBC是等边三角形，算出∠BOC=60°且⊙O的半径等于4，可得劣弧AC所对的圆心角∠AOC=120°，再由弧长公式加以计算，可得劣弧AC的长．

【详解】

（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，

∴∠ABC=∠D=60°；

（2）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∴∠BAC=30°，

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，

即BA⊥AE，

∴AE是⊙O的切线；

（3）如图，连接OC，

∵OB=OC，∠ABC=60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴OB=BC=4，∠BOC=60°，

∴∠AOC=120°，

∴劣弧AC的长为==．

【点睛】

本题考查了切线长定理及弧长公式，熟练掌握定理及公式是解题的关键.

变式拓展

1．（2020·宜兴市树人中学九年级期中）如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是（　　）

A．1.4 B． C． D．2.6

【答案】B

【分析】

如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM．因为OA=AB，CM=CB，所以AC=OM，所以当OM最小时，AC最小，可知当M运动到M′时，OM最小，由此即可解决问题．

【详解】

如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM，

由勾股定理得：OP==5，

∵OA=AB，CM=CB，

∴AC=OM，

∴当OM最小时，AC最小，

∴当M运动到M′时，OM最小，

此时AC的最小值=OM′=（OP﹣PM′）=×（5-2）=，

故选B．

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题．

2．（2020·灌南县树人实验学校九年级月考）矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．

A．点B、C均在圆P外； B．点B在圆P外、点C在圆P内；

C．点B在圆P内、点C在圆P外； D．点B、C均在圆P内．

【答案】C

【详解】

∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP

∴AP=2，

∴根据勾股定理得出，r=PD==7，

PC==9，

∵PB=6＜r，PC=9＞r

∴点B在圆P内、点C在圆P外,故选C．

【点睛】

点与圆的位置关系的判定，难度系数中等，此题应根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断

3．（2018·江苏新吴区·九年级期末）如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（　　）

A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定

【答案】B

【分析】

首先过点A作AM⊥BC，根据三角形面积求出AM的长，得出直线BC与DE的距离，进而得出直线与圆的位置关系．

【详解】

解：过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，∴AM×BC=AC×AB，∴AM===2.4．

∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE∥BC，DE=BC=2.5，∴AN=MN=AM，∴MN=1.2．

∵以DE为直径的圆半径为1.25，∴r=1.25＞1.2，∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交．

故选B．

【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理得出BC到圆心的距离与半径的大小关系是解题的关键．

4．（2020·奈曼旗新镇中学九年级期中）在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（　　）

A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相离

C．与x轴相离，与y轴相切 D．与x轴相离，与y轴相离

【答案】B

【分析】

本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径时，则坐标轴与该圆相离；若等于半径时，则坐标轴与该圆相切．

【详解】

∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，

则有2＝2，3＞2，

∴这个圆与x轴相切，与y轴相离．

故选B．

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．

5．（2018·陕西九年级专题练习）如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE=EF,

（1）求证：∠C=90°；

（2）当BC=3，sinA=时，求AF的长．

【答案】（1）见解析（2）

【分析】

（1）连接OE，BE，因为DE=EF，所以=，从而易证∠OEB=∠DBE，所以OE∥BC，从可证明BC⊥AC；

（2）设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，在Rt△AOE中，sinA=从而可求出r的值．

【详解】

解:（1）连接OE，BE，

∵DE=EF，

∴=

∴∠OBE=∠DBE

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE

∴∠OEB=∠DBE，

∴OE∥BC

∵⊙O与边AC相切于点E，

∴OE⊥AC

∴BC⊥AC

∴∠C=90°

（2）在△ABC，∠C=90°，BC=3，sinA=，

∴AB=5，

设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，

在Rt△AOE中，sinA=

∴

∴

【点睛】

本题考查圆的综合问题，涉及平行线的判定与性质，锐角三角函数，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．

6．（2020·陕西九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B,

（1）求证：AD是⊙O的切线．

（2）若BC=8，tanB=，求⊙O 的半径．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可得证；
（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到结果．

【详解】

（1）证明：连接，

，

，

，

，

在中，，

，

，

则为圆的切线；

（2）设圆的半径为，

在中，，

根据勾股定理得：，

，

在中，，

，

根据勾股定理得：，

在中，，即，

解得：．

【点睛】

此题考查了切线的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．

7．（2020·新疆九年级三模）如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若DE＝3，CE＝2.   ①求的值；②若点G为AE上一点，求OG+EG最小值．

【答案】（1）证明见解析（2）① ②3

【分析】

（1）作辅助线，连接OE．根据切线的判定定理，只需证DE⊥OE即可；

（2）①连接BE．根据BC、DE两切线的性质证明△ADE∽△BEC；又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相等求得△ABE∽△AFD，所以；

②连接OF，交AD于H，由①得∠FOE=∠FOA=60°,连接EF，则△AOF、△EOF都是等边三角形，故四边形AOEF是菱形，由对称性可知GO=GF,过点G作GM⊥OE于M，则GM=EG，OG+EG=GF+GM,根据两点之间线段最短，当F、G、M三点共线，OG+EG=GF+GM=FM最小，此时FM =3.故OG+EG最小值是3.

【详解】

（1）连接OE

∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO

∵∠FAE=∠EAO，∴∠FAE=∠AEO

∴OE∥AF

∵DE⊥AF，∴OE⊥DE

∴DE是⊙O的切线

（2）①解：连接BE

∵直径AB     ∴∠AEB=90°

∵圆O与BC相切

∴∠ABC=90°

∵∠EAB+∠EBA=∠EBA+∠CBE=90°

∴∠EAB=∠CBE

∴∠DAE=∠CBE

∵∠ADE=∠BEC=90°

∴△ADE∽△BEC

∴

②连接OF，交AE于G，

由①，设BC=2x，则AE=3x

∵△BEC∽△ABC      ∴

∴

解得：x1=2，（不合题意，舍去）

∴AE=3x=6，BC=2x=4，AC=AE+CE=8

∴AB=，∠BAC=30°

∴∠AEO=∠EAO=∠EAF=30°，∴∠FOE=2∠FAE=60°

∴∠FOE=∠FOA=60°,连接EF，则△AOF、△EOF都是等边三角形，∴四边形AOEF是菱形

由对称性可知GO=GF,过点G作GM⊥OE于M，则GM=EG，OG+EG=GF+GM,根据两点之间线段最短，当F、G、M三点共线，OG+EG=GF+GM=FM最小，此时FM=FOsin60o=3.

故OG+EG最小值是3.

【点睛】

本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质．比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答．

8．（2016·山西九年级专题练习）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）试说明DF是⊙O的切线；

（2）若AC=3AE，求tanC．

【答案】（1）详见解析；（2）

【分析】

（1）连接OD，根据等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，证得OD∥AC，证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；

（2）连接BE，AB是直径，∠AEB=90°，根据勾股定理得出BE=2AE，CE=4AE，然后在Rt△BEC中，即可求得tanC的值．

【详解】

（1）连接OD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切线；

（2）连接BE，

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∵AB=AC，AC=3AE，

∴AB=3AE，CE=4AE，

∴BE=，

在RT△BEC中，tanC=．

9．（2019·河南九年级专题练习）如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若AD=12，AM=MC，求的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）欲证明PD是⊙O的切线，只要证明OD⊥PA即可解决问题；

（2）连接CD．由（1）可知：PC=PD，由AM=MC，推出AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，可得R2+122=9R2，推出R=3，推出OD=3，MC=6，由，可得DP=6，再利用相似三角形的性质求出MD即可解决问题.

【详解】

解：（1）如图，连接OD、OP、CD，

∵，∠A=∠A，

∴△ADM∽△APO，

∴∠ADM=∠APO，

∴MD∥PO，

∴∠1=∠4，∠2=∠3，

∵OD=OM，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

∵OP=OP，OD=OC，

∴△ODP≌△OCP，

∴∠ODP=∠OCP，

∵BC⊥AC，

∴∠OCP=90°，

∴OD⊥AP，

∴PD是⊙O的切线；

（2）如图，连接CD，由（1）可知：PC=PD，

∵AM=MC，

∴AM=2MO=2R，

在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，

∴R2+122=9R2，

∴R=3，

∴OD=3，MC=6，

∵，

∴DP=6，

∵O是MC的中点，

∴，

∴点P是BC的中点，

∴BP=CP=DP=6，

∵MC是⊙O的直径，

∴∠BDC=∠CDM=90°，

在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6，

∴BM=6，

∵△BCM∽△CDM，

∴，即，

∴MD=2，

∴．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题是关键．