数学九年级下册3 确定二次函数的表达式完美版ppt课件

这是一份数学九年级下册3 确定二次函数的表达式完美版ppt课件，共42页。PPT课件主要包含了设列解答，知识链接，活学活用加深理解，知识盘点等内容，欢迎下载使用。

已知一次函数y=kx+b，当 x=4时,y的值为9；当 x=2时,y的值为－3；求这个函数的关系式。解:
一般地，函数关系式中有几个系数，那么就需要有几个等式才能求出函数关系式．① 一次函数关系: ② 反比例函数关系:
y=kx+b (k≠0)
y=ax2+bx+c （a≠0）
待定系数法
用待定系数法求二次函数的解析式
一般式：y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0) 。 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。
例1、已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（2，1）、（1，-2 ）（0，5）三点，求抛物线的解析式
故：抛物线的解析式是：y=5x2-12x+5.
所以设所求的二次函数解析式为：y=a(x＋1)2-3
因为已知抛物线的顶点为（－1，－3）
又点( 0,-5 )在抛物线上
a-3=-5, 解得a= -2
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3
即：y=－2x2-4x－5
设所求的二次函数为　y=ax2+bx+c
a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7
a=2, b=-3, c=5
解：设所求二次函数表达式为　y=ax2+bx+c （a≠0）
c=2a+b+c=04a-2b+c=3
a=-1/2b=-3/2c=２
∴所求二次函数得表达式为：y=-1/2 x2 - 3/2 x+2
例4、已知一个二次函数的图象过点（0,2），（1,0），（-2,3）三点，求这个函数的表达式？
由图像过点（0,2）（1,0） （-2,3）得
例5：若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2), C(-1,2)三点 求此函数的解析式。
小组讨论合作探究一般式的基本步骤？
4.解方程组求待定系数
5. 把待定系数代回所设表达式
1.当自变量x= 0时函数值y=-2，当自变量x= -1时，函数值y= -1，当自变量x=1时，函数值y= 1,求这个二次函数的表达式？
解：设　y=ax2+bx+c （a≠0） （0,-2）（-1,-1） （1,1） 解方程组得：∴y=2x2+x-2
c=-2 a-b+c=-1 a+b+c=3
a=2 b=1 c=-２
根据下列条件求二次函数解析式
2.抛物线过点 (0,0) (1,2) (2,3)三点
解法:抛物线过一般三点 通常设一般式将三点坐标代入 求出a,b,c的值
解:设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c
所求的抛物线解析式为:
解：因为抛物线的顶点为（-1，-3），
所以，设所求的二次函数的解析式为 y=a(x＋1)2-3
3.已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴的交点为（0，－5），求抛物线的解析式。
因为点（0，-5 ）在这个抛物线上，
所以a-3=-5， 解得a=-2
即：y=－2x2-4x－5。
顶点式y=a(x-h)2+k(a、h、k为常数a≠0).
1.若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k. 2. 特别地，当抛物线的顶点为原点是，h=0,k=0,可设函数的解析式为y=ax2. 3.当抛物线的对称轴为y轴时，h=0,可设函数的解析式为y=ax2+k. 4.当抛物线的顶点在x轴上时，k=0，可设函数的解析式为y=a(x-h)2.
例6： 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式。
解法2：（利用顶点式）∵  当x=3时，有最大值4∴  顶点坐标为(3,4) 设二次函数解析式为：   y=a(x-3)2+4∵  函数图象过点（4，- 3）∴  a(4 - 3)2 +4 = - 3∴  a= -7∴ 二次函数的解析式为： y= -7(x-3)2+4
例7：抛物线顶点是(2,-1)且过点(-1,2)
解法(一)可设一般式列方程组求a,b,c
解:∵抛物线的顶点为(2,-1)
∴设解析式为:y=a(x-2)2-1
把点(-1,2)代入 a(-1-2)2-1=2
例8：二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),　　B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，　　求这个二次函数的解析式。
小结: 已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h 时　　优先选用顶点式。　
顶点式1.设y=a(x-h)2+k2.找（一点）3.列（一元一次方程）4.解（消元）5.写（一般形式）6.查（回代)
一般式1.设y=ax2+bx+c2.找（三点）3.列（三元一次方程组）4.解（消元）5. 写（一般形式）6.查（回代)
设　y=a(x＋1)2-3
1.已知抛物线的顶点为（－1，－3），与x轴交点为（0，－5）求抛物线的解析式？
-5=a-3 a=-2
y=－2(x＋1)2-3
即：y=-2x2—4x－5
y=-2（x2 ＋ 2x ＋ 1）-3
2、已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为　　-1，求其解析式。
解：设二次函数的解析式为
∵ x = 1, y= -1 , ∴顶点（1，-1）。
又（0，0）在抛物线上，
∴ a = 1
所以设所求的二次函数为　y=a(x＋1)(x－1)
3.已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？
又∵ 点M( 0,1 )在抛物线上
∴ a(0+1)(0-1)=1
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
解：因为抛物线与x轴的交点为A(－1，0)，B(1，0) ，
交点式y=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2为常数a≠0）
当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，二次函数y=ax2+bx+c可以转化为交点式y=a(x-x1)(x-x2).因此当抛物线与x轴有两个交点为（x1,0）,(x2,0)时，可设函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，在把另一个点的坐标代入其中，即可解得a，求出抛物线的解析式。
例9：已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0）
又∵点（0，1）在图像上，
解：（交点式）∵二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0)∴设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1) ∵ 函数图象过点(1,4)∴ 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -1∴ 函数的表达式为： y= -(x+1)(x-3) = -x2+2x+3
例10：已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式。
其它解法：（一般式） 设二次函数解析式为y=ax2+bx+c ∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0) ∴  a+b+c=4       ①    a-b+c=0       ②    9a+3b+c=0      ③  解得： a= -1 b=2 c=3 ∴  函数的解析式为：y= -x2+2x+3
（顶点式） 解： ∵  抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ， ∴ (-1+3)/2 = 1 ∴  点(1,4)为抛物线的顶点 可设二次函数解析式为： y=a(x-1)2+4  ∵ 抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为： y= -(x-1)2+4
（1）有一个抛物线形的桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
根据题意可知抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点
通过利用给定的条件列出a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定函数的解析式，过程较繁杂．
（2）有一个抛物线形的桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
根据题意可知∵ 点(0，0)在抛物线上，
通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵活 ．
∴ 所求抛物线解析式为
（3）有一个抛物线形的桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
根据题意可知∵ 点(20，16)在抛物线上，
选用交点式求解，方法灵活巧妙，过程也较简捷 ．
例12 已知二次函数的图象在x轴上截得的线段长是4，且当x＝1，函数有最小值-4，求这个二次函数的解析式．
解:设图象与x轴的交点坐标为( ,0),( ,0),
把(1,-4)代入上式得:-4=a(1-3)(1+1)
例13、将抛物线 向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。
解法：将二次函数的解析式
(1)、由 向左平移4个单位得：
（2）、再将 向下平移3个单位得
（上加下减）
1.某抛物线是将抛物线y=ax2 向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的，且抛物线过点（3,-3），求该抛物线表达式。顶点坐标（1 ，1 ）设 y=a(x-1)2+1 2.已知二次函数的对称轴是直线x=1，图像上最低点P的纵坐标为-8，图像还过点(-2,10)，求此函数的表达式。顶点坐标（ 1 ，-8 ）设y=a(x-1)2-83.已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为4，且当x=1时，函数有最小值-4，求此表达式。顶点坐标（1 ，-4 ）设y=a(x-1)2-44.某抛物线与x轴两交点的横坐标为2，6，且函数的最大值为2，求函数的表达式。顶点坐标（ 4，2 ）设y=a(x-4)2+2
选择最优解法，求下列二次函数解析式：1、已知抛物线的图象经过点(1,4)、(-1,-1)、(2,-2)，设抛物线解析式为__________.2、已知抛物线的顶点坐标(-2,3) ，且经过点(1,4) ,设抛物线解析式为____________.3、已知二次函数有最大值6，且经过点(2, 3)，(-4,5)，设抛物线解析式为_________.4、已知抛物线的对称轴是直线x=-2，且经过点(1,3)，(5,6)，设抛物线解析式为________.5、已知抛物线与x轴交于点A(－1，0)、B(1，0)，且经过点(2,-3),设抛物线解析式为_______.
1、已知二次函数的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求二次函数的解析式.2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。3、已知抛物线过A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。
4、根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(-1，0)， (3，0) ，（0, 3）。
〔议一议〕 通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数表达式采用的一般方法是什么?
你能否总结出上述解题的一般步骤?
1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系;2.设抛物线的表达式;3.写出相关点的坐标;4.列方程(或方程组);5.解方程或方程组,求待定系数;6.写出函数的表达式;
一、 求二次函数的解析式的一般步骤：
一设、二列、三解、四还原.
二、二次函数常用的几种解析式的确定
已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。
已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。
已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。
将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐标， 可将原函数先化为顶点式，再根据“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式。
二次函数关系:
y=ax2 (a≠0)
y=ax2+k (a≠0)
y=a(x-h)2+k (a≠0)
y=ax 2+bx+c (a≠0)
y=a(x-h)2 (a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)