2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第七章 平面解析几何 48 word版含答案

这是一份2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第七章 平面解析几何 48 word版含答案，共13页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。
考点测试48　椭圆 一、基础小题1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)A.＋＝1   B.＋＝1C.＋＝1   D.＋＝1答案　A解析　依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为＋＝1.2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　)A.   B.  C.   D.答案　B解析　2x2＋3y2＝m(m>0)⇒＋＝1，∴c2＝－＝.∴e2＝，∴e＝.故选B.3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m等于(　　)A.   B．2  C．4   D.答案　D解析　由x2＋＝1及题意知，2＝2×2×1，m＝，故选D.4．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为(　　)A.   B.  C.   D.答案　B解析　设M(x，y)，由·＝0，得x2＋y2＝c2＝3，又＋y2＝1，解得x＝±.5．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)A．圆   B．椭圆  C．双曲线   D．抛物线答案　B解析　点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．6．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)A.   B.  C.   D.答案　C解析　令c＝.如图，据题意，|F2P|＝|F1F2|，∠F1PF2＝30°，∴∠F1F2P＝120°，∴∠PF2x＝60°，∴|F2P|＝2＝3a－2c.∵|F1F2|＝2c，∴3a－2c＝2c，∴3a＝4c，∴＝，即椭圆的离心率为.故选C.7．已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　)A．0   B．1  C．2   D．2答案　C解析　设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)，∴|＋|＝ ＝2＝2.∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，∴当y＝1时，|＋|取最小值2.故选C.8．已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是________．答案　解析　设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝4.又r＋r－2r1r2cos60°＝|F1F2|2，(r1＋r2)2－3r1r2＝12，∴r1r2＝，S＝r1r2sin60°＝.二、高考小题9．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　　)A．2   B．3  C．4   D．9答案　B解析　依题意有25－m2＝16，∵m>0，∴m＝3.选B.10．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)A.   B.  C.   D.答案　B解析　如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·，所以e＝＝.故选B.11．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝(　　)A．3   B．6  C．9   D．12答案　B解析　抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.从而椭圆E的半焦距c＝2.可设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，因为离心率e＝＝，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝12.由题意知|AB|＝＝2×＝6.故选B.12．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)A.   B.  C.   D.答案　A解析　直线l：3x－4y＝0过原点，从而A，B两点关于原点对称，于是|AF|＋|BF|＝2a＝4，所以a＝2.不妨令M(0，b)，则由点M(0，b)到直线l的距离不小于，得≥，即b≥1.所以e2＝＝＝≤，又0<e<1，所以e∈，故选A.13．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点. P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)A.   B.  C.   D.答案　A解析　解法一：设点M(－c，y0)，OE的中点为N，则直线AM的斜率k＝，从而直线AM的方程为y＝(x＋a)，令x＝0，得点E的纵坐标yE＝.同理，OE的中点N的纵坐标yN＝.因为2yN＝yE，所以＝，即2a－2c＝a＋c，所以e＝＝.故选A.解法二：如图，设OE的中点为N，由题意知|AF|＝a－c，|BF|＝a＋c，|OF|＝c，|OA|＝|OB|＝a，∵PF∥y轴，∴＝＝，＝＝，又∵＝，即＝，∴a＝3c，故e＝＝.三、模拟小题14．已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的焦点坐标为(　　)A．(±，0)   B．(0，±)C．(±，0)或(±，0)   D．(0，±)或(±，0)答案　B解析　因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，即m＝4，所以椭圆x2＋＝1的焦点坐标为(0，±)，故选B.15．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　)A.   B.  C.   D.答案　B解析　由题意知a＝3，b＝，c＝2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，∵OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|＝＝.又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝，∴＝×＝，故选B.16．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　)A．3   B．2  C．2   D.答案　C解析　根据题意设椭圆方程为＋＝1(b>0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋8·b2y－b4＋12b2＝0.∵椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)·(b2－3)＝0，∴b2＝3，长轴长为2＝2.17．已知椭圆＋＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0,2)，当△APF的周长最大时，△APF的面积等于(　　)A.   B.  C.   D.答案　B解析　由椭圆＋＝1，知a＝3，b＝，c＝＝2，在Rt△AOF中，|OF|＝2，|OA|＝2，则|AF|＝4.设椭圆的左焦点为F1，则△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF1|＝4＋6＋|PA|－|PF1|≤10＋|AF1|(当且仅当A，P，F1三点共线，P在线段AF1的延长线上时取“＝”)．此时直线AF1的方程为＋＝1，与椭圆的方程5x2＋9y2－45＝0联立并整理得32y2－20y－75＝0，解得yP＝－(正值舍去)，则△APF的周长最大时，S△APF＝|F1F|·|yA－yP|＝×4×＝.故选B.18．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2＝120°，则椭圆的离心率的取值范围是________．答案　解析　由题意可得，椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中，顶角大于等于120°，所以底角小于等于30°，则≥，即e≥，又e<1，所以椭圆的离心率的取值范围是.一、高考大题1．设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为( a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明MN⊥AB.解　(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝.进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.又＝(－a，b)，从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．由(1)的计算结果可知a2＝5b2，所以·＝0，故MN⊥AB.2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.解　(1)由已知，a＝2b.又椭圆＋＝1(a>b>0)过点P，故＋＝1，解得b2＝1.所以椭圆E的方程是＋y2＝1.(2)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组得x2＋2mx＋2m2－2＝0，①方程①的判别式为Δ＝4(2－m2)，由Δ>0，即2－m2>0，解得－<m<.由①得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2.所以M点坐标为，直线OM的方程为y＝－x，由方程组得C，D.所以|MC|·|MD|＝(－m＋)·(＋m)＝(2－m2)．又|MA|·|MB|＝|AB|2＝＝＝＝(2－m2)，所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.二、模拟大题3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，且离心率e＝.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G，求k的取值范围．解　(1)由题意知，椭圆的离心率e＝，所以＝，所以a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，所以椭圆的方程为＋＝1.又点在椭圆上，所以＋＝1，得c2＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y，并整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，因为直线y＝kx＋m与椭圆有两个不同的交点，所以Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)>0，即m2<4k2＋3，①又x1＋x2＝－，则y1＋y2＝kx1＋m＋kx2＋m＝k(x1＋x2)＋2m＝，所以线段MN的中点P的坐标为，设MN的垂直平分线l′的方程为y＝－，因为P在l′上，所以＝－，即4k2＋8km＋3＝0，所以m＝－，将上式代入①，得<4k2＋3，所以k2>，即k>或k<－，所以k的取值范围为∪.4．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，并且经过定点P.(1)求椭圆E的方程；(2)问是否存在直线y＝－x＋m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足·＝.若存在，求m值；若不存在，说明理由．解　(1)由题意：e＝＝且＋＝1，又c2＝a2－b2，解得a2＝4，b2＝1，即椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，⇒x2＋4(m－x)2－4＝0⇒5x2－8mx＋4m2－4＝0，(*)所以x1＋x2＝，x1x2＝.y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＝m2－m2＋＝.由·＝，x1x2＋y1y2＝，＋＝，m＝±2.又方程(*)要有两个不等实根，Δ＝(－8m)2－4×5(4m2－4)>0，－<m<，所以m＝±2.5．已知圆E：(x＋1)2＋y2＝16，点F(1,0)，P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q.(1)求动点Q的轨迹Γ的方程；(2)若直线y＝k(x－1)与(1)中轨迹Γ交于R，S两点，在x轴上是否存在一点T，使得当k变动时总有∠OTS＝∠OTR？说明理由．解　(1)连接QF，根据题意，|QP|＝|QF|，则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4>|EF|＝2，故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为＋＝1(a>b>0)，可知a＝2，c＝1，所以b＝＝，所以点Q的轨迹Γ的方程是＋＝1.(2)假设存在T(t,0)满足∠OTS＝∠OTR.设R(x1，y1)，S(x2，y2)，联立得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，由根与系数的关系得①其中Δ>0恒成立．由∠OTS＝∠OTR(显然TS，TR的斜率存在)，得kTS＋kTR＝0，即＋＝0，②由R、S两点在直线y＝k(x－1)上，故y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入②，得＝＝0，即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0.③将①代入③，得＝＝0.④要使得④与k的取值无关，当且仅当“t＝4”时成立．综上所述，存在T(4,0)，使得当k变化时，总有∠OTS＝∠OTR.6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点在C上．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l经过点P(1,0)，且与椭圆C有两个交点A，B，是否存在直线l0：x＝x0(其中x0>2)，使得A，B到l0的距离dA，dB满足：＝恒成立？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．解　(1)由题意得解得所以C的方程为＋y2＝1.(2)存在x0＝4符合题意．理由如下：当直线l斜率不存在时，x0(x0>2)可以为任意值．当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，点A，B满足所以xA，xB满足x2＋4k2(x－1)2＝4，即(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0.所以不妨设xA>1>xB.因为dA|PB|－dB|PA|＝·(|x0－xA|·|xB－1|－|x0－xB|·|xA－1|)＝·＝0，所以2x0－＋＝0.整理得2x0－8＝0，即x0＝4.综上，x0＝4时符合题意．