北师大版八年级下册4 角平分线精品课件ppt

这是一份北师大版八年级下册4 角平分线精品课件ppt，共18页。PPT课件主要包含了角平分线的性质，用符号语言表示为，逆命题，角平分线的判定，逆定理，也叫平分线的判定定理，DEDF，用数学语言表示为，本课小结，角平分线的性质定理等内容，欢迎下载使用。
定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB ∴ ∠ODP= ∠OEP=90°在Rt△ODP和Rt △OEP中 ∠ODP= ∠OEP,∠DOP＝ ∠EOP , OP=OP∴ Rt△ODP ≌Rt △OEP(AAS)∴PD=PE
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
∵∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴PD=PE.
提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
　例.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.　求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,　　DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,∴　CD＝DE (角平分线的性质).在Rt△CDF和Rt△EDB中,　　 CD=ED（已证）, DF=DB （已知）, ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL). ∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
你能写出角平分线的性质定理的逆命题吗?
逆命题： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
请你证明它是不是真命题?
已知:如图,PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:点P在∠AOB的平分线上.
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB ∴ ∠ODP= ∠OEP=90°在Rt△ODP和Rt △OEP中 DP= EP, OP＝ OP ∴ Rt△ODP ≌Rt △OEP(HL) ∴ ∠AOP= ∠BOP，点P在∠AOB的平分线上.
在一个角的内部, 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
几何语言：∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E∴点P在∠AOB的平分线上
提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
例1 已知:如图,在△ABC中,∠BAC=60度，点D在BC上，AD=10，且DE=DF,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求DE的长.
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
∴AD是∠BAC的平分线
又∵2BAC=60°，
∴∠BAD= 30°.
在Rt△ADE中，∠AED=90°, AD= 10,
DE= AD= x10=5
例2　如图,BD=CD,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:∠BAD=∠CAD.分析:要证明点D在∠BAC的平分线上,只需证明点D到∠BAC两边的距离相等,可以由△BDE≌△CDF得到.证明:∵CE⊥AB,BF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.
∴△EBD≌△FCD(AAS). ∴DE=DF.∴点D在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).∴∠BAD=∠CAD.
练习．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：OC平分∠ACD.
证明：如图，过点O作OE⊥AC.∵AO平分∠BAC，∠ABD＝90°，∴OE＝OB.又∵点O为BD的中点，∴OB＝OD，∴OE＝OD，∴OC平分∠ACD.
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴ QD＝QE
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF. 求证:(1)CF=EB; (2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC, ∴DE=DC. ∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL). ∴CF=EB.
2．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证：(1)∠ECD＝∠EDC；(2)OC＝OD；(3)OE是线段CD的垂直平分线．
证明：(1)∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC.(2)∵在Rt△ODE和Rt△OCE中，OE＝OE，ED＝EC∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL)，∴OC＝OD.
(3)∵ED＝EC，OD＝OC，∴OE是线段CD的垂直平分线．
3．如图，O是△ABC内一点，且O到△ABC三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，求∠BOC的度数．
解：∵O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，∴点O是三角形三条角平分线的交点．∵∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝25°，∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－30°－25°＝125°.
4.如图，在四边形OACB中,CM⊥OA于点M,若∠1 =∠2,∠3+∠4= 180°求证:CA=CB.
习题1.9答案1.解如图,结论:三角形的三个内角的平分线交于一点,并且这个点到三角形的三边的距离相等.2.证明∵AD平分∠BAC且DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.又BD=DC,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴BE=CF.
3.证明证法1:∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°.∵DE垂直平分AB,∴EA=EB.∴∠ABE=∠A=30°.∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°=∠ABE.∴BE平分∠ABC.证法2:∵∠C=90°,∠A=30°,∴BC= AB∵DE垂直平分AB,∴BD= AB,∠BDE=90°.∴BC=BD.
又∵∠C=90°,BE=BE,∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL).∴∠DBE=∠CBE∴BE平分∠ABC.