数学4 角平分线精品课件ppt

这是一份数学4 角平分线精品课件ppt，共36页。PPT课件主要包含了角平分线的性质，用符号语言表示为，逆命题，角平分线的判定，逆定理，也叫平分线的判定定理，DEDF，用数学语言表示为，本课小结，角平分线的性质定理等内容，欢迎下载使用。
定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB ∴ ∠ODP= ∠OEP=90°在Rt△ODP和Rt △OEP中 ∠ODP= ∠OEP,∠DOP＝ ∠EOP , OP=OP∴ Rt△ODP ≌Rt △OEP(AAS)∴PD=PE
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
∵∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴PD=PE.
提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
　例.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.　求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,　　DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,∴　CD＝DE (角平分线的性质).在Rt△CDF和Rt△EDB中,　　 CD=ED（已证）, DF=DB （已知）, ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL). ∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
你能写出角平分线的性质定理的逆命题吗?
逆命题： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
请你证明它是不是真命题?
已知:如图,PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:点P在∠AOB的平分线上.
在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB ∴ ∠ODP= ∠OEP=90°在Rt△ODP和Rt △OEP中 DP= EP, OP＝ OP ∴ Rt△ODP ≌Rt △OEP(HL) ∴ ∠AOP= ∠BOP，点P在∠AOB的平分线上.
在一个角的内部, 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
几何语言：∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E∴点P在∠AOB的平分线上
提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
例1 已知:如图,在△ABC中,∠BAC=60度，点D在BC上，AD=10，且DE=DF,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求DE的长.
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
∴AD是∠BAC的平分线
又∵2BAC=60°，
∴∠BAD= 30°.
在Rt△ADE中，∠AED=90°, AD= 10,
DE= AD= x10=5
例2　如图,BD=CD,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:∠BAD=∠CAD.分析:要证明点D在∠BAC的平分线上,只需证明点D到∠BAC两边的距离相等,可以由△BDE≌△CDF得到.证明:∵CE⊥AB,BF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.
∴△EBD≌△FCD(AAS). ∴DE=DF.∴点D在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).∴∠BAD=∠CAD.
练习．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：OC平分∠ACD.
证明：如图，过点O作OE⊥AC.∵AO平分∠BAC，∠ABD＝90°，∴OE＝OB.又∵点O为BD的中点，∴OB＝OD，∴OE＝OD，∴OC平分∠ACD.
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴ QD＝QE
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF. 求证:(1)CF=EB; (2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC, ∴DE=DC. ∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL). ∴CF=EB.
2．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证：(1)∠ECD＝∠EDC；(2)OC＝OD；(3)OE是线段CD的垂直平分线．
证明：(1)∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC.(2)∵在Rt△ODE和Rt△OCE中，OE＝OE，ED＝EC∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL)，∴OC＝OD.
(3)∵ED＝EC，OD＝OC，∴OE是线段CD的垂直平分线．
3．如图，O是△ABC内一点，且O到△ABC三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，求∠BOC的度数．
解：∵O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，∴点O是三角形三条角平分线的交点．∵∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝25°，∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－30°－25°＝125°.
4.如图，在四边形OACB中,CM⊥OA于点M,若∠1 =∠2,∠3+∠4= 180°求证:CA=CB.
习题1.9答案1.解如图,结论:三角形的三个内角的平分线交于一点,并且这个点到三角形的三边的距离相等.2.证明∵AD平分∠BAC且DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.又BD=DC,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴BE=CF.
3.证明证法1:∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°.∵DE垂直平分AB,∴EA=EB.∴∠ABE=∠A=30°.∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°=∠ABE.∴BE平分∠ABC.证法2:∵∠C=90°,∠A=30°,∴BC= AB∵DE垂直平分AB,∴BD= AB,∠BDE=90°.∴BC=BD.
又∵∠C=90°,BE=BE,∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL).∴∠DBE=∠CBE∴BE平分∠ABC.
4.解作法:如图,(1)作∠AOB的平分线OM;(2)连接CD;(3)作CD的垂直平分线交OM于点P,则P点即为所求.
1.4 角平分线第2课时三角形的内角平分线
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，过点P作三边的垂线，垂足分别是点D,E,F.求证：求证角A的平分线过点P,且PD=PE=PF
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.∴点P在角A的平分线上,即三条角平分线相交于一点即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
求证:三条角平分线相交于一点,且这点三条边的距离相等
练习.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
例1.如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)如果CD=4cm,AC的长;
（1）解：∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E，∴DE=CD=4cm.∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE.在等腰直角三角形BDE中，
(2)求证:AB=AC+CD.
（2）证明：由（1）的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD.
例1.如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
例2：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
解:点P在∠AOB的平分线上.理由如下:过点P分别作PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.∵S四边形OMPG=S四边形OFPN,∴S四边形OMPG-S四边形OMPF=S四边形OFPN-S四边形OMPF,即S△FPG=S△MPN.
∵FG=MN,∴PD=PE.又PD⊥OA,PE⊥OB,∴点P在∠AOB的平分线上.
例3　如图,点F,G是OA上的两点,点M,N是OB上的两点,且FG=MN,四边形OMPG的面积与四边形OFPN的面积相等.那么点P是否在∠AOB的平分线上?请说明理由.
习题1.101.证明∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°.∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠BAD=30°.∵∠B=30°,∴∠BAD=∠B=30°.∴BD=AD.∵∠C=90°,∠DAC=30°,∴AD=2CD.∴BD=2CD.
2.证明如图所示,过点F作FG⊥AD,FH⊥AE,FI⊥BC.∵BF是∠DBC的平分线,∴FG=FI.同理,FH=FI.∴FG=FH.∴点F在∠DAE的平分线上.3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.∴OC=OD.(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点(A除外)都满足到AB,AC的距离相等,可以修建油库.
(2)如图,作∠BAC的角平分线,作∠BCA的角平分线,两角平分线交于一点P,P点是修建油库的位置.
1.三角形三条角平分线的性质定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等. 2.三角形三个内角平分线的交点只有一个,实际作图时,只需作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两条角平分线的交点.3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分线交点到三边距离的常用方法.
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于点P,PD⊥ AC于点D,PH⊥BA于点H.(1)若点P到直线BA的距离是5cm,求点P到直线BC的距离;(2)求证:点P在∠HAC的平分线上.
2.如图,已知CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点D,E,BE,CD相交于点O,连接AO.求证:(1)当∠l=∠2时,OB=OC;(2)当OB=OC时,∠1=∠2.
3.已知∠MAN= I20°,AC平分∠MAN,点B,D分别在AN ,AM上，
(1)如图①,若∠ABC=∠ADC= 90°，请你探究线段AD,AB,AC之间的数量关系,并证明;(2)如图②,若∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.