北师大版八年级下册2 直角三角形公开课教案设计

第一章  三角形的证明

2  直角三角形

课时2 直角三角形全等的判定

1.能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性.

2.进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感.

3.进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.

能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理.

进一步理解证明的必要性.

1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？

2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形.想一想，怎么画？同学们相互交流.

3.有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论.

【教学说明】教师顺水推舟，询问能否证明：“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”，从而引入新课.

探究：“HL”定理.

已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.

证明：在Rt△ABC中，AC2=AB2一BC2(勾股定理)．

又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' 2=A'B'2一B'C'2 (勾股定理)．

∴AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．

∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)．

【归纳结论】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．（这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．)

【教学说明】讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达.分析命题的条件，既然其中一边和它所对的直角对应相等，那么可以把这两个因素总结为直角三角形的斜边对应相等，于是直角三角形有自己的全等判定定理.

例1.填空：如下图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°.

（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是AAS.

（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是ASA.

（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是AAS.

（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是HL.

（5）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是SAS.

例2.已知：Rt△ABC和Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中线，且BD=B'D'. 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．

证明：在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，

∵BD=B'D',BC=B'C',

∴Rt△BDC≌Rt△B'D'C' (HL定理)．

∴CD=C'D'．

又∵AC=2CD，A'C'=2C'D'，

∴AC=A'C'．

∴在Rt△ABC和Rt△A'B'C '中，

∵BC=B'C '，∠C=∠C '=90°，AC=A'C'，

∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C(SAS)．

例3.如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来，并证明.

 解：AC=DB.

∵AC=DB,AB=BA,

∴△ACB≌△BDA（HL）

其他条件：CB=DA或四边形ACBD是平行四边形等.证明略.

【教学说明】这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案．

例4.如图，在△ABC与△A'B'C'中，CD、C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求证：△ABC≌△A'B'C'．

分析：要证△ABC≌△A'B'C'，由已知中找到条件：一组边AC=A'C'，一组角∠ACB=∠A'C'B'．如果寻求∠A=∠A'，就可用ASA证明全等；也可以寻求∠B=∠B'，这样就可用AAS；还可寻求BC=B'C'，那么就可根据SAS……注意到题目中有CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'．观察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了HL定理的条件，可证得Rt△ADC≌Rt△A'D'C'，因此证明∠A=∠A' 就可行．

证明：∵CD、C'D'分别是△ABC、△A'B'C'的高(已知)，

∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．

在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，

AC=A'C'(已知)，CD=C'D' (已知)，

∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C' (HL)．

∠A=∠A'，(全等三角形的对应角相等)．

在△ABC和△A'B'C'中，

∠A=∠A' (已证)，

AC=A'C' (已知)，

∠ACB=∠A'C'B' (已知)，

∴△ABC≌△A'B'C' (ASA)．

【教学说明】通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，教师最后再总结.

本节课应掌握：

直角三角形的判定方法有五种，注意“HL”仅适用于直角三角形.

 教材“习题1.6”中第3、4、5 题.