初中北师大版3 线段的垂直平分线一等奖教案

第一章  三角形的证明

3  线段的垂直平分线

课时1 线段的垂直平分线

1.证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理

2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力,丰富对几何图形的认识.

3.通过小组活动，学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题

垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用.

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?

【教学说明】从实际问题入手，提高学生的学习兴趣，使学生明白数学来源于生活，用于生活.

探究1：垂直平分线的性质.

已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．

证明：∵MN⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB=90°

∵AC=BC，PC=PC,

∴△PCA≌△PCB(SAS)．

∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)

【归纳结论】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

探究2:垂直平分线判定

你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?

逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”

写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．

引导学生分析证明过程.

已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．

求证：P点在AB的垂直平分线上．

证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，

∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．

∴AC=BC，

即P点在AB的垂直平分线上

【教学说明】此处证明可让学生用多种方法证明.

【归纳结论】到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

例1.已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.求证：直线 AO 垂直平分线段BC．

证明：∵ AB = AC，

∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.

同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.

∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.

例2.如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E， AC = 5，BC = 8，求△AEC的周长.

解：∵DE为△ABC的AB边的垂直平分线,

∴AE=BE.

∴C△AEC=AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=5+8=13.

例3.如图，已知：线段CD垂直平分AB，AB平分∠DAC. 求证：AD∥BC

证明：∵CD是AB的垂直平分线，

∴AC=BC,

∴∠CAB=∠B,

又∵∠CAB=∠DAB,

∴∠DAB=∠B,∴AD∥BC.

例4.如图，已知：AD是△ABC的高，E为AD上一点，且BE=CE. 求证：△ABC是等腰三角形.

证明：∵BE=CE，AD⊥BC

∴AD是BC的垂直平分线，

∴AB=AC,

∴△ABC是等腰三角形.

例5.如图，已知：AB⊥BC，CD⊥BC，∠AMB=75°,∠DMC=45°，AM=DM. 求证：AB=BC.

证明：连接AC.

∠AMD=180°－75°－45°=60°，且AM=DM，

∴△AMD是等边三角形.

∴AM=AD.

又∵∠MDC=90°－45°=45°，

∴∠MDC=∠DMC，

∴CD=CM，

∴AC为DM的垂直平分线，

又∵CD=CM

∴CH是∠DCM角平分线

∴∠ACM=90°－45°=45°，

∴∠BAC=180°-∠B=∠ACM=90°-∠ACM=45°

∴AB=BC.

【教学说明】学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.

本节课应掌握：

到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

 教材“习题1.7”中第1、3 题.