2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第四章 数列 29 word版含答案

考点测试29　等差数列

一、基础小题

1．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝(　　)

A．10 B．18

C．20 D．28

答案　C

解析　由题意可知a3＋a8＝a5＋a6＝10，所以3a5＋a7＝2a5＋a5＋a7＝2a5＋2a6＝20，选C.

2．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5等于(　　)

A．7 B．15

C．20 D．25

答案　B

解析　S5＝＝＝＝15.

3．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为(　　)

A．37 B．36

C．20 D．19

答案　A

解析　am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37，∴m＝37.故选A.

4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(　　)

A．8 B．7

C．6 D．5

答案　D

解析　由a1＝1，公差d＝2，得通项an＝2n－1，又Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2，所以2k＋1＋2k＋3＝24，得k＝5.

5．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7>0，a8<0，则下列结论正确的是(　　)

A．S7<S8 B．S15<S16

C．S13>0 D．S15>0

答案　C

解析　因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列)，由已知可知该等差数列{an}是递减的，且S7最大，即Sn≤S7对一切n∈N*恒成立．可见选项A错误；易知a16<a15<0，S16＝S15＋a16<S15，选项B错误；S15＝(a1＋a15)＝15a8<0，选项D错误；S13＝(a1＋a13)＝13a7>0.

6．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)

A．6 B．7

C．8 D．9

答案　A

解析　∵a4＋a6＝2a1＋8d＝－22＋8d＝－6，∴d＝2.

Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，显然，当n＝6时，Sn取得最小值．故选A.

7．设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是(　　)

A．若d<0，则数列{Sn}有最大项

B．若数列{Sn}有最大项，则d<0

C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0

D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列

答案　C

解析　A、B、D均正确，对于C，若首项为－1，d＝2时就不成立．

8．已知数列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，则a10＝________.

答案　

解析　由＝＋知，数列为等差数列，

则＝1＋(n－1)，即an＝.

∴a10＝＝.

二、高考小题

9．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)

A．100 B．99

C．98 D．97

答案　C

解析　设{an}的公差为d，由等差数列前n项和公式及通项公式，得解得an＝a1＋(n－1)d＝n－2，∴a100＝100－2＝98.故选C.

10．如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　)

A．{Sn}是等差数列 B．{S}是等差数列

C．{dn}是等差数列 D．{d}是等差数列

答案　A

解析　不妨设该锐角的顶点为C，∠A1CB1＝θ，|A1C|＝a，依题意，知A1、A2、…、An顺次排列，设|AnAn＋1|＝b，|BnBn＋1|＝c，则|CAn|＝a＋(n－1)b，作AnDn⊥CBn于Dn，则|AnDn|＝sinθ，于是Sn＝|BnBn＋1|·|AnDn|＝·c·sinθ＝bcsinθ·n＋(a－b)csinθ，易知Sn是关于n的一次函数，所以{Sn}成等差数列．故选A.

11．已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn.若a3，a4，a8成等比数列，则(　　)

A．a1d>0，dS4>0 B．a1d<0，dS4<0

C．a1d>0，dS4<0 D．a1d<0，dS4>0

答案　B

解析　由a＝a3a8，得(a1＋2d)(a1＋7d)＝(a1＋3d)2，整理得d(5d＋3a1)＝0，又d≠0，∴a1＝－d，则a1d＝－d2<0，又∵S4＝4a1＋6d＝－d，∴dS4＝－d2<0，故选B.

12．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．

答案　20

解析　设等差数列{an}的公差为d，则由题设可得

解得从而a9＝a1＋8d＝20.

13．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．

答案　5

解析　设该等差数列为{an}，若项数为2n－1，n∈N*，则有a2n－1＝2015，an＝1010，由a1＋a2n－1＝2an，得a1＝5.

若项数为2n，n∈N*，则有a2n＝2015，＝1010，

由a1＋a2n＝an＋an＋1，得a1＝5.综上，a1＝5.

三、模拟小题

14．在等差数列{an}中，a3＋a8＋a13＝m，其前n项和Sn＝5m，则n＝(　　)

A．7 B．8

C．15 D．17

答案　C

解析　由a3＋a8＋a13＝m，得a8＝，

则S15＝＝15a8＝5m，故n＝15.

15．已知数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b2＝12，则a8＝(　　)

A．0 B．－109

C．－181 D．121

答案　B

解析　设等差数列{bn}的公差为d，则d＝－14，因为an＋1－an＝bn，所以a8－a1＝b1＋b2＋…＋b7＝＝＝－112，则a8＝－109.

16．已知{an}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{bn}满足bn＝，若对任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－8，－7) B．(－7，－6)

C．(－8，－6) D．(－6，－5)

答案　A

解析　对任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，即≥，∵{an}为递增数列，∴即a∈(－8，－7)．

17．在数列{an}中，已知a1＝，当n∈N*，且n≥2时，an＝1－，则a2016＝(　　)

A． B．

C． D．

答案　D

解析　∵an＝1－，∴an－＝－＝，则＝＝2＋，即－＝2，∴数列为等差数列，则＝1＋2(n－1)＝2n－1，因此an＝＋，所以a2016＝.

18．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－3，ak＋1＝，Sk＝－12，则正整数k＝________.

答案　13

解析　由Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－12＋＝－，又Sk＋1＝＝＝－，解得k＝13.

一、高考大题

1．已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7.问：b6与数列{an}的第几项相等？

解　(1)设等差数列{an}的公差为d.

因为a4－a3＝2，所以d＝2.

又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.

所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1,2，…)．

(2)设等比数列{bn}的公比为q.

因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，

所以q＝2，b1＝4.

所以b6＝4×26－1＝128.

由128＝2n＋2，得n＝63.

所以b6与数列{an}的第63项相等．

2．已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.

(1)求d及Sn；

(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.

解　(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，

将a1＝1代入上式，解得d＝2或d＝－5.

因为d>0，所以d＝2.从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．

(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)·(k＋1)，

所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.

由m，k∈N*，知2m＋k－1≥k＋1>1，

故所以

二、模拟大题

3．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.

(1)证明：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

解　(1)证明：－＝＝，

∴bn＋1－bn＝，∴{bn}是等差数列．

(2)由(1)及b1＝＝＝1，

知bn＝n＋，

∴an－1＝，∴an＝.

4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝6，正项数列{bn}满足b1·b2·b3·…·bn＝2Sn.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)若λbn>an对n∈N*均成立，求实数λ的取值范围．

解　(1)∵a1＝1，S3＝6，∴数列{an}的公差d＝1，an＝n.

由题知，

①÷②得bn＝2Sn－Sn－1＝2an＝2n(n≥2)，

又b1＝2S1＝21＝2，满足上式，故bn＝2n.

(2)λbn>an恒成立⇒λ>恒成立，

设cn＝，则＝，

当n≥2时，<1，数列{cn}单调递减，又c1＝c2＝，

∴(cn)max＝，故λ>.

5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9.

(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式；

(2)设数列{bn}的通项公式为bn＝，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．

解　(1)设公差为d，由题意得

解得a1＝1，d＝2，故an＝2n－1，Sn＝n2.

(2)由(1)知bn＝，

要使b1，b2，bm成等差数列，必须2b2＝b1＋bm，

即2×＝＋，

移项得＝－＝，

整理得m＝3＋.

因为m，t为正整数，所以t只能取2,3,5.

当t＝2时，m＝7；当t＝3时，m＝5；

当t＝5时，m＝4.

所以存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列．

6．在数列{an}中，an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，a1＝－23.

(1)求an；

(2)设Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值．

解　(1)∵an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，①

an＋2＋an＋1＝2(n＋1)－44，②

②－①得，an＋2－an＝2.

又∵a2＋a1＝2－44，a1＝－23，∴a2＝－19，

同理得，a3＝－21，a4＝－17.

故a1，a3，a5，…是以a1为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以a2为首项，2为公差的等差数列．

从而an＝

(2)当n为偶数时，

Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)

＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋

＝2－·44

＝－22n，

故当n＝22时，Sn取得最小值为－242.

当n为奇数时，

Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)

＝a1＋(2×2－44)＋…＋

＝a1＋2＋·(－44)

＝－23＋－22(n－1)

＝－22n－.

故当n＝21或n＝23时，Sn取得最小值－243.

综上所述：当n为偶数时，Sn取得最小值为－242；当n为奇数时，Sn取最小值为－243.