2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 35 word版含答案

这是一份2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 35 word版含答案，共7页。试卷主要包含了基础小题，模拟小题，模拟大题等内容，欢迎下载使用。
考点测试35　基本不等式 一、基础小题1．“a>0且b>0”是“≥”成立的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案　A解析　a>0且b>0⇒≥，但≥a>0且b>0，只能推出a≥0且b≥0.2．函数f(x)＝x＋(x<0)的值域为(　　)A．(－∞，0) B．(－∞，－2]C．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)A．2 B．3C．4 D．5答案　C解析　因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2 ＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C.14．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)A． B．2C．2 D．4答案　C解析　依题意知a>0，b>0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立．因为＋＝，所以≥，即ab≥2，所以ab的最小值为2，故选C.15．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)A．6＋2 B．7＋2C．6＋4 D．7＋4答案　D解析　由log4(3a＋4b)＝log2，得3a＋4b＝ab，且a>0，b>0，∴a＝，由a>0，得b>3.∴a＋b＝b＋＝b＋＝(b－3)＋＋7≥2＋7＝4＋7，即a＋b的最小值为7＋4.16．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案　160解析　设底面的边长分别为x m，y m，总造价为T元，则V＝xy·1＝4⇒xy＝4.T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160.(当且仅当x＝y时取等号)故该容器的最低总造价是160元．17．设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．答案　3解析　令t＝＋，则t2＝(＋)2＝a＋1＋b＋3＋2·≤9＋a＋1＋b＋3＝18，当且仅当a＋1＝b＋3时，即a＝，b＝时，等号成立．即t的最大值为3.18．定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．答案　解析　由x⊗y＝，得x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝.因为x>0，y>0，所以≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立．三、模拟小题19．在下列各函数中，最小值等于2的函数是(　　)A．y＝x＋B．y＝cosx＋C．y＝D．y＝ex＋－2答案　D解析　当x<0时，y＝x＋≤－2，故A错误；因为0<x<，所以0<cosx<1，所以y＝cosx＋>2，故B错误；因为≥，所以y＝＋≥2中等号取不到，故C错误；因为ex>0，所以y＝ex＋－2≥2 －2＝2，当且仅当ex＝，即ex＝2时等号成立，故选D.20．设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　)A．＋有最大值4 B．有最小值C．＋有最大值 D．a2＋b2有最小值答案　C解析　由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，∴≤，∴ab≤，＋＝＝≥4，因此＋的最小值为4，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋1＝2，所以＋有最大值，故选C.21．若函数f(x)＝(a<2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a的值为(　　)A．0 B．C．1 D．答案　B解析　由题意得f(x)＝＝＝2(x－1)＋＋4≥2＋4＝2＋4，当且仅当2(x－1)＝，即x＝1＋时，等号成立，所以2＋4＝6，即a＝，故选B.22．设a＝，b＝p，c＝x＋y，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是(　　)A．(1,3) B．(1,2]C． D．答案　A解析　对任意的正实数x，y，由于a＝≥＝，当且仅当x＝y时等号成立，b＝p，c＝x＋y≥2，当且仅当x＝y时等号成立，且三角形的任意两边之和大于第三边，所以＋2>p，且p＋>2，且p＋2>，解得1<p<3，故实数p的取值范围是(1,3)，故选A.23．已知a>b>1，且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为________．答案　3解析　令logab＝t，由a>b>1，得0<t<1,2logab＋3logba＝2t＋＝7，得t＝，即logab＝，a＝b2，所以a＋＝a－1＋＋1≥2 ＋1＝3，当且仅当a＝2时取等号．24．设x>0，y>0，且2＝，则当x＋取最小值时，x2＋＝________.答案　12解析　∵x>0，y>0，∴当x＋取最小值时，2取得最小值，∵2＝x2＋＋，2＝，∴x2＋＝＋，2＝＋≥2＝16，∴x＋≥4，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，∴当x＋取最小值时，x＝2y，x2＋＋＝16，即x2＋＋＝16，∴x2＋＝16－4＝12.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．已知lg (3x)＋lg y＝lg (x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．解　由lg (3x)＋lg y＝lg (x＋y＋1)，得(1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1.∴3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0.∴(3＋1)(－1)≥0.∴≥1，∴xy≥1.当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1.(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·2.∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.∴≥0.∴x＋y≥2.当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.2．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x2＋x万元．设余下工程的总费用为y万元．(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？解　(1)设需要修建k个增压站，则(k＋1)x＝240，即k＝－1.所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)＝400＋＝＋240x－160.因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0<x<240.故y与x的函数关系是y＝＋240x－160(0<x<240)．(2)y＝＋240x－160≥2－160＝2×4800－160＝9440，当且仅当＝240x，即x＝20时等号成立，此时k＝－1＝－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9440万元．3．某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解　(1)设第n年获取利润为y万元．n年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n年付出的装修费之和为n×1＋×2＝n2，又投资81万元，n年共收入租金30n万元，∴利润y＝30n－n2－81(n∈N*)．令y>0，即30n－n2－81>0，∴n2－30n＋81<0，解得3<n<27(n∈N*)，∴从第4年开始获取纯利润．(2)方案①：年平均利润t＝＝30－－n＝30－≤30－2＝12(当且仅当＝n，即n＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)．方案②：纯利润总和y＝30n－n2－81＝－(n－15)2＋144(n∈N*)，当n＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.4．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)．解　(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f(x)＝4y＝则当0≤x≤4时，由－4≥4，解得x≥0，所以此时0≤x≤4.当4<x≤10时，由20－2x≥4，解得x≤8，所以此时4<x≤8.综合得0≤x≤8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天．(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，浓度g(x)＝2＋a＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－4≥2－a－4＝8－a－4.因为14－x∈，而1≤a≤4，所以4∈，故当且仅当14－x＝4时，y有最小值为8－a－4.令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，所以a的最小值为24－16≈1.6.