专题04 基本初等函数-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

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一、指数运算
1. n次方根的定义
一般地，如果xn=a(n∈N∗ ， n>1)，x就叫a的n次方根
(1)当n为奇数时，正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数．
(2)当n为偶数时，正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根．
2. 指数运算
(1)a0=1（a≠0）；a−n=1an（a≠0,n∈N+）．
(2)am⋅an=am+n(m,n∈R)，(am)n=amn(m,n∈R)，(ab)n=an⋅bn(n∈R)．
(3)当n是奇数时，nan=a；
(4)当n时偶数时，nan=&a ， a≥0&−a ， a<0．
(5)amn=nam(a>0 ， m ， n∈N∗ ， n>1)； a−mn=1nam(a>0 ， m ， n∈N∗ ， n>1)．
二、指数函数
1. 定义
一般地，函数y=ax(a>0且a≠1，x∈R)叫做指数函数．
2. 指数函数的图象和性质对比
3. 根据图像比较指数函数底数的大小
曲线C1，C2，C3，C4分别是指函数y=ax，y=bx，y=cx，y=dx的图像：
(1)由图像得b(2)当底数大于1时，底数越大图像越靠近y轴，当底数小于1时，底数越小于靠近y轴．
(3)指数函数y=ax与y=(1a)x（a>0且a≠1）的图像关于y轴对称．
(4)函数值的大小比较
①底数相同指数不同
当底数大于1时，指数越大函数值越大．当底数小于1时指数越大函数值越小．
②指数相同底数不同
可采用函数图像法，底数大于1时，指数相同底数越大函数值越大，底数小于1时，指数相同底数越小函数值越大．
③底数不同指数不同
找中间值（一般为1），用原来的两个值与中间值比较．
典例精讲
【典例1】已知x，y∈R，且5x+7﹣y≤5y+7﹣x，则（ ）
A．sinx≤sinyB．x2≤y2
C．5x≤5yD．lg17x≤lg17y
【典例2】函数y=4−2x−1的值域为（ ）
A．[1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣1，+∞）D．[﹣1，1）
【典例3】函数f（x）＝2x﹣sinx在区间[﹣10π，10π]上的零点的个数是（ ）
A．10B．20C．30D．40
【典例4】若函数f（x）＝a|2x﹣4|（a＞0，a≠1），满足f（1）=19，则f（x）的单调递减区间是（ ）
A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]
【典例5】若2x＝8y+1，且9y＝3x﹣9，则x+y的值是 ．
【典例6】定义运算：a⊗b=b，a≥ba，a＜b则函数f（x）＝3﹣x⊗3x的值域为 ．
【典例7】函数y=(13)x2−3x+2的单调递增区间为 ．
考点2：对数函数
一、对数
1. 定义
一般地，对于指数式ab=N，我们把“以a为底N的对数b”记作，即b=lgaN（a>0且a≠1）
其中，数a叫做对数底数，N叫做真数．
2. 对数运算
(1)对数的运算性质：
如果a>0，且a≠1,M>0,N>0，那么：
= 1 \* GB3 ①lgaM+lgaN=lga(M⋅N)；（对数的和等于积的对数）
推广:lga(N1⋅)=lgaN1+lgaN2+...+lgaNk
= 2 \* GB3 ②lgaM−lgaN=lgaMN；（商的对数等于对数的差）
= 3 \* GB3 ③αlgaM=lgaMα(α∈R)
= 4 \* GB3 ④lganN=1nlgaN
(2)换底公式：lgbN=lgaNlgab（a，b>0，a，b≠1，N>0）
(3)关于对数的恒等式
二、对数函数
1. 定义：
函数y=lgax（a>0且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,+∞)，值域为实数集R．
2. 对数函数y=lgax(a>0且a≠1）的图象和性质如下表所示：
3. 根据图像比较对数函数底数的大小
曲线C1，C2，C3，C4分别是指函数y=lgax，y=lgbx，y=lgcx，y=lgdx的图像：
(1)由图像得0(2)当底数大于1时，底数越大图像越靠近x轴，当底数小于1时，底数越小于靠近x轴．
(3)函数值的大小比较
①底数相同真数不同
当底数大于1时，真数越大函数值越大．当底数小于1时真数越大函数值越小．
②指数相同真数不同
可采用函数图像法，底数大于1时，真数相同底数越大函数值越小，底数小于1时，真数相同底数越小函数值越小．
③底数不同真数不同
找中间值（一般为1），用原来的两个值与中间值比较．
典例精讲
【典例1】若m，n，p∈（0，1），且lg3m＝lg5n＝lgp，则（ ）
A．m13＜n15＜p110B．n13＜m15＜p110
C．p110＜m13＜n15D．m13＜p110＜n15
【典例2】函数f（x）＝（a2+a﹣5）lgax为对数函数，则f（18）等于（ ）
A．3B．﹣3C．﹣lg36D．﹣lg38
【典例3】函数f（x）＝lg3（2x2﹣8x+m）的定义域为R，则m的取值范围是（ ）
A．（8，+∞）B．（﹣∞，8]C．[8，+∞）D．（﹣∞，8）
【典例4】已知A＝{x|2≤x≤π}，定义在A上的函数y＝lgax（a＞0，且a≠1）的最大值比最小值大1，则底数a的值为（ ）
A．2πB．π2C．π﹣2D．2π或π2
【典例5】若4x＝9y＝6，则1x+1y= ．
【典例6】若函数y＝lga（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是 ．
【典例7】函数f（x）＝lg3（x2﹣2x+10）的值域为 ．
【典例8】已知实数a，b，c满足2a=lg12a，(12)b=lg12b，(12)c=lg2c，这三个数从小到大排列为 ．
考点3：幂函数
幂函数
1. 幂函数的定义
一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况）．
2. 幂函数的图象
幂函数y=xa
(1)当a=13,12,1,2,3时的图象见下图；
(2)当a=−2,−1,−12时的图象见下图：
3. 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：
y=xa有下列性质：
(1)a>0时：
①图象都通过点(0,0)，(1,1)；
②在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0,+∞)上是增函数．
(2)a<0时：
①图象都通过点(1,1)；
②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0,+∞)上是减函数；
③在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近．
(3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；
(4)任何幂函数图象都不经过第四象限；
(5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．
(6)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；
(7)幂函数y=xnm奇偶性
①当n为偶数时，y=xnm为偶函数；
②当n为奇数，m为奇数时，y=xnm为奇函数；
③当n为奇数，m为偶数时，y=xnm为非奇非偶函数．
特别地，幂函数y=xn（n∈Z），当n为偶数时，y=xn为偶函数；
当n为奇数时，y=xn为奇函数．
典例精讲
【典例1】若幂函数在上为减函数，则实数的值是
【典例2】已知指数函数f（x）＝ax﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】已知幂函数g（x）＝（2a﹣1）xa+2的图象过函数f（x）＝3 2x+b的图象所经过的定点，则b的值等于（ ）
A．﹣2B．1C．2D．4
【典例4】已知f(x)=x−2m2+m+3(m∈Z)是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a＝f（lg47），b=f(lg123)，c＝f（21，6），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．a＜c＜b
【典例5】若（2m+1）14＞（m2+m﹣1）14，则实数m的取值范围是（ ）
A．（−∞，−5−12]B．[5−12，+∞）C．（﹣1，2）D．[5−12，2）
【典例6】已知幂函数f（x）＝k•xα的图象过点（12，2），则k+α＝ ．
【典例7】已知幂函数过点，且，则实数的取值范围是 ．
【典例8】如果（m+4）−12＜（3﹣2m）−12，则m的取值范围是 ．
考点4：二次函数
二次函数
1. 定义
函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0)叫做二次函数．
2. 表现形式
一般式：f(x)=ax2+bx+c (a≠0)．
顶点式：f(x)=a(x−ℎ)2+k (a≠0)，其中(ℎ，k)为抛物线的顶点坐标．
两根式：f(x)=a(x−x1)(x−x2) (a≠0)．
3. 二次函数的性质
(1)开口方向：&a>0⇔向上&a<0⇔向下
(2)对称轴：x=−b2a（或x=ℎ）
(3)顶点坐标：(−b2a，4ac−b24a)（或(ℎ，k)）
(4)最值：
①a>0时有最小值4ac−b24a（或k）（如图1）；
②a<0时有最大值4ac−b24a（或k）（如图2）；
(5)单调性：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的变化情况（增减性）
① 如图1所示，当a>0时，对称轴左侧x<−b2a，y随着x的增大而减小，在对称轴的右侧x<−b2a，y随x的增大而增大；
② 如图2所示，当a>0时，对称轴左侧x<−b2a，y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧x<−b2a，y随x的增大而减小；
(6)与坐标轴的交点：
①与y轴的交点：（0，C）；
②与x轴的交点：使方程ax2+bx+c=0（或a(x−ℎ)2+k=0）成立的x值．
4. 二次函数图象与系数的关系
(1)a决定抛物线的开口方向
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下．反之亦然．
a决定抛物线的开口大小：a越大，抛物线开口越小；a越小，抛物线开口越大．
(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：x=−b2a）
当b=0时，抛物线的对称轴为y轴；
当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；
当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧．
(3)c的大小决定抛物线与y轴交点的位置（抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)）
当c=0时，抛物线与y轴的交点为原点；
当c>0时，交点在y轴的正半轴；
当c<0时，交点在y轴的负半轴．
典例精讲
【典例1】对二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A．﹣1是f（x）的零点
B．1是f（x）的极值点
C．3是f（x）的极值
D．点（2，8）在曲线y＝f（x）上
【典例2】已知函数f（x）＝lg2（x2﹣ax+1+a）在区间（﹣∞，2）上为减函数，则a的取值范围为（ ）
A．[4，+∞）B．[4，5]C．（4，5）D．[4，5）
【典例3】已知函数f（x）＝x2﹣2ax﹣3在区间[1，4]上不是单调函数，则a的取值集合为（ ）
A．（﹣∞，1）∪（4，+∞）B．（﹣∞，1]∪[4，+∞）
C．（1，4）D．[1，4]
【典例4】已知二次函数f（x）＝x2+bx+c，若对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤6，则b的取值范围是（ ）
A．[﹣5，5]B．[﹣4，4]C．[﹣3，3]D．[﹣2，2]
【典例5】函数f（x）=ax2+(2a−1)x+14的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是 ．
【典例6】函数f（x）＝x2+mx﹣1在[﹣1，3]上是单调函数，则实数m的取值范围是 ．
【典例7】已知函数f（x）＝x2+bx+2，g（x）＝f（f（x）），若f（x）与g（x）有相同的值域，则实数b的取值范围是 ．
综合练习
一．选择题（共5小题）
1．已知x，y∈R，且5x+7﹣y≤5y+7﹣x，则（ ）
A．sinx≤sinyB．x2≤y2
C．5x≤5yD．lg17x≤lg17y
2．已知函数f（x）＝x﹣4+9x+1，x∈（0，4），当x＝a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）＝a|x+b|的图象为（ ）
A．B．
C．D．
3．函数y=3x−1的值域是（ ）
A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（0，1]D．[1，+∞）
4．已知二次函数f（x）＝x2+bx+c（b∈R，c∈R），M，N分别是函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值，则M﹣N的最小值（ ）
A．2B．1C．12D．14
5．设a＞b＞0，a+b＝1且x＝（1a）b，y=lg(1a+1b)a，z=lg1ba，则x，y，z的大小关系是（ ）
A．y＜x＜zB．z＜y＜xC．y＜z＜xD．x＜y＜z
二．填空题（共3小题）
6．函数y=(12)3+2x−x2的定义域为 ，值域为 ．
7．函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣ny﹣1＝0上，其中m＞0，n＞0，则1m+2n的最小值为 ．
8．已知幂函数f(x)=(m2−m−1)xm2+m−3在x＝0处有定义，则实数m＝ ．
三．解答题（共1小题）
9．（1）已知lg2（16﹣2x）＝x，求x的值
（2）计算：（−15−3）0+810.75−(−3)2×823+lg57•lg725．
指数的取值
0a>1
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
过定点(0,1)，即x=0时，y=1
在R上是减函数
在R上是增函数
algaN=N
lgaan=n
lgab=1lgba
mnlgaM=lganMm
lgaMlgaN=lgbMlgbN
a>1
0图像
性质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当x=1时，y=0
x∈(0 ， 1)时y<0，x∈(1 ， +∞)时y>0
x∈(0 ， 1)时y>0，x∈(1 ， +∞)时y<0
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数