专题06 导数的应用-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

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1.函数y=f(x)在区间(a​​，b)内可导
(1)如果在(a​​，b)内，f'(x)>0，则f(x)在此区间是增函数，(a​​，b)为f(x)的单调增区间．
(2)如果在(a​​，b)内，f'(x)<0，则f(x)在此区间是减函数，(a​​，b)为f(x)的单调减区间．
(3)如果在(a​​，b)内，f'(x)=0恒成立，则f(x)在此区间是常函数，不具有单调性．
2. 利用导数研究函数单调性的基本步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f'(x)，并对导数进行整理（常用方法：通分、因式分解）；
(3)由f'(x)>0（或<0）解出相应的x的取值范围．当f'(x)>0时，f(x)在相应的区间内是单调增函数；当f'(x)<0时，f(x)在相应的区间内是单调减函数．
说明：一般需要通过列表，写出函数的单调区间．
典例精讲
【典例1】设函数f（x）＝x2（x﹣a）（a＞0），其导函数为y＝f′（x），若两两不相同实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f′（x2）＝f′（x3）＝f（x4），则下列说法正确的是（ ）
A．x1+x4＜2（x2+x3）B．x1+x4＞2（x2+x3）
C．x1+x3＜x2+x4D．x1+x3≥x2+x4
【典例2】已知函数f（x）=xex，x≤02−|x−1|，x＞0若函数g（x）＝f（x）﹣m有两个零点x1，x2，则x1+x2＝（ ）
A．2B．2或2+1eC．2或3D．2或3或2+1e
【典例3】若存在x∈[﹣1，2]，使得x+e2xx+3ex−kex＜0成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣e，+∞）
C．（﹣e+13−e，+∞）D．（﹣1，+∞）
【典例4】已知函数f（x）＝（2x﹣1）ex+ax2﹣3a（x＞0）在（0，+∞）上为增函数，则a的取值范围是 ．
【典例5】已知函数f(x)=3x3−2x+ex−1ex，其中e是自然对数的底数．若f（a）+f（a2﹣2）＜0，则实数a的取值范围是 ．
考点2：研究函数的极值、最值
1. 已知函数y=f(x)，设x0是定义域内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大=f(x0)．并把x0称为函数f(x)的一个极大值点．
2. 如果在x0附近都有f(x)>f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小=f(x0)．并
把x0称为函数f(x)的一个极小值点．
3. 极大值与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为极值点．
4. 求函数y=f(x)的极值的方法：
(1)求函数f(x)的定义域
(2)求导数f'(x)；
(3)求方程f'(x)=0的所有实数根；
(4)考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f'(x)的符号如何变化．
如果f'(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；
如果由负变正，则f(x0)是极小值．
如果在f'(x)=0的根x=x0的左右侧，f'(x)的符号不变，则f(x0)不是极值．
5. 一般地，求函数y=f(x)在[a​​​，​b]上的最大值与最小值的步骤：
(1)求出函数y=f(x)在(a​​​，​b)内所有极值；
(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
6. 最值与极值的区别与联系
(1)极值只是对一点附近而言，是局部最值；而最值是对整个区间或是对所考察问题的整体而言；
(2)最值和极值都不一定存在；
(3)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．
典例精讲
【典例1】设x=−12是函数f（x）＝ln（x+2）﹣ax2﹣3a2x的极小值点，则f（x）的极大值为（ ）
A．2B．1C．34D．23
【典例2】已知函数f（x）＝x3+mx2+（m+6）x+1存在极值，则实数m的取值范围为 ．
【典例3】已知函数f(x)=23ax3+(a−12)x2，a∈R，当x∈[0，1]时，函数f（x）仅在x＝1处取得最大值，则a的取值范围是 ．
【典例4】已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【典例5】已知函数f(x)=1+lnxx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及极值；
（Ⅱ）若g（x）＝xf（x）+mx在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求m的值．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．设是定义在上的偶函数，为其导函数，（2），当时，有恒成立，则不等式的解集为
A．B．，，
C．，，D．，，
2．已知函数的极值点为1和2．
（1）求实数，的值；
（2）若不等式在区间，上恒成立，求实数的取值范围．
3．若函数f（x）=x2−(3m+1)x+3，x≤0mx2+xlnx，x＞0恰有三个极值点，则m的取值范围是（ ）
A．（−12，−13）B．（−12，0）C．（﹣1，−13）D．（﹣1，−12）
二．填空题（共2小题）
4．函数f（x）＝lnx﹣ax在[1，+∞）上递减，则a的取值范围是 ．
5．若关于x的不等式﹣x2+x＞mx的解集为{x|﹣1＜x＜0}，且函数f（x）＝x（x﹣m）2在x＝n处有极小值，则n＝ ．
三．解答题（共2小题）
6．已知函数f（x）=12ax2﹣x+xlnx，a∈R．
（1）若a=−1e，讨论函数f（x）在其定义域上的单调性；
（2）若f（x）在其定义域上恰有两个零点，求a的取值范围．
7．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若在，上的最大值为1，求的值．