专题10 三角函数定义-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

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一、角的概念
1.定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．其中顶点、始边、终边称为角的三要素．
2.范围：R
3.正角、负角、零角
①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；
②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；
③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．
4.终边相同的角：
设α表示任意角，所有与终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S=ββ=α+k⋅360° ， k∈Z．集合S的每一个元素都与α的终边相同，当k=0时，对应元素为α．
5.象限角与轴线角
象限角：定点在原点，始边在x轴正半轴，终边在第几象限就是第几象限角
如：终边落在第一象限的角：α|2kπ<α<2kπ+π2，k∈Z或α|k⋅3600<900+k⋅3600，k∈Z
终边落在y轴上的角：α|α=kπ+π2，k∈Z或α|900+k⋅1800，k∈Z．
轴线角：如果角的终边在坐标轴上则说这个角不在任何象限，而称之为“轴线角”．
二、弧度制
1.定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
2.弧度与角度的换算：1800=πrad，1rad=1800π≈57.300=57018'
3.弧长与扇形面积公式：①弧长公式：l=αr ②扇形面积公式：S=12lr=12αr2
典例精讲
【典例1】已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈．现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是 ．
【典例2】将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ．
【典例3】终边在直线y=3x上的角的集合为 ．
【典例4】已知角α＝45°；
（1）在区间[﹣720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；
（2）集合M={x|x=k2×180°+45°，k∈Z}，N={x|x=k4×180°+45°，k∈Z}，那么两集合的关系是什么？
【典例5】有一扇形其弧长为6，半径为3，则该弧所对弦长为 ，扇形面积为 ．
【典例6】有一扇形其弧长为6，半径为3，则该弧所对弦长为 ，扇形面积为 ．
【典例7】315°＝ 弧度，弧度＝ °．
考点2：三角函数基本知识
一、三角函数定义
1.定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(x​​，y)，它与原点的距离为r(r=|x|2+|y|2=x2+y2>0)，那么
(1)比值yr叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=yr；
(2)比值xr叫做α的余弦，记作csα，即csα=xr；
(3)比值yx叫做α的正切，记作tanα，即tanα=yx；
2.符号：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
(1)正弦值yr对于第一、二象限为正（y>0，r>0），对于第三、四象限为负（y<0，r>0）；
(2)余弦值xr对于第一、四象限为正（x>0，r>0），对于第二、三象限为负（x<0，r>0）；
(3)正切值yx对于第一、三象限为正（x，y同号），对于第二、四象限为负x，y（异号）．
3.特殊角的三角函数：
4.三角函数同角公式：sin2x+cs2x=1；tanx=sinxcsx．
二、诱导公式
1.各角与角α终边的关系
2.诱导公式
(1)角α与α+k⋅2π(k∈Z)的三角函数间的关系；
sin(α+2kπ)=sinα，cs(α+2kπ)=csα，tan(α+2kπ)=tanα;
(2)角α与−α的三角函数间的关系；
sin(−α)=−sinα，cs(−α)=csα，tan(−α)=−tanα;
(3)角α与α+(2k+1)π(k∈Z)的三角函数间的关系；
sinα+(2k+1)π=−sinα，csα+(2k+1)π=−csα，tanα+(2k+1)π=tanα;
(4)角α与α+π2的三角函数间的关系．
sin(α+π2)=csα,cs(α+π2)=−sinα，tan(α+π2)=−ctα．
注：“奇变偶不变，符号看象限”：奇偶是指π2的奇数倍和偶数倍，符号看象限是令α为第一象限的角，考查变化后角所在的象限以及对应三角函数的符号．
典例精讲
【典例1】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A（2sinα，3），则csα＝（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
【典例2】已知θ是第四象限角，且cs（θ−π4）=35，则tan（θ+π4）＝（ ）
A．−43B．−34C．43D．34
【典例3】已知x∈R，则下列等式恒成立的是（ ）
A．sin（﹣x）＝﹣sinxB．
C．D．cs（π﹣x）＝csx
【典例4】如图，单位圆Q的圆心初始位置在点（0，1），圆上一点P的初始位置在原点，圆沿x轴正方向滚动．当点P第一次滚动到最高点时，点P的坐标为 ；当圆心Q位于点（3，1）时，点P的坐标为 ．
【典例5】已知，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例6】已知sin(π−α)=−12，则sin（﹣2π﹣α）＝ ．
【典例7】若，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
综合练习
一. 选择题（共2小题）
1.已知θ是第四象限角，且cs（θ−π4）=35，则tan（θ+π4）＝（ ）
A．−43B．−34C．43D．34
2.定义新运算a⊗b＝2a（a+b）﹣3，若方程（3sinx）⊗（csx）＝2在x∈（0，π）上的解为x1，x2，则cs（x1﹣x2）的值为（ ）
A．3B．33C．2D．1
二. 填空题（共4小题）
3.将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ．
4.已知θ的终边过点P（﹣12，5），则csθ＝ ．
5.已知角α的终边经过点P(−1，3)，则csα＝ ．
6.已知sin(π−α)=−12，则sin（﹣2π﹣α）＝ ．
三. 解答题（共2小题）
7.将下列角度化为弧度，弧度转化为角度
（1）780°，（2）﹣1560°，（3）67.5°（4）−103π，（5）π12，（6）7π4．
8.已知扇形的圆心角为α（α＞0），半径为R．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求圆心角α所对的弧长．
（2）若扇形的周长是8cm，面积是4cm2，求α和R．
角
不存在
不存在
角
α+2kπ ， k∈Z（k∈Z）
π+α
−α
图示
与角α终边关系
相同
关于原点对称
关于x轴对称
角
π−α
图示
与角α终边关系
关于y轴对称
关于y=x对称