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    专题13 平面向量-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全
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    专题13 平面向量-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

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    这是一份专题13 平面向量-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全,文件包含专题13平面向量原卷版docx、专题13平面向量解析版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共46页, 欢迎下载使用。

    一、基本概念
    1. 向量的概念:
    在高中阶段,我们把具有大小和方向的量称为向量.
    2. 向量的表示:
    ①几何表示法:用有向线段表示向量,有向线段的方向表示向量的方向,线段的长度表示向量的长度.
    ②字母表示法:AB,注意起点在前,终点在后.
    3.相等向量:
    同向且等长的有向线段表示同一向量,或相等向量.
    4. 向量共线或平行:
    通过有向线段AB的直线,叫做向量AB的基线.如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线或平行.向量a平行于向量b,记作a∥b.
    5. 零向量:
    长度等于零的向量,叫做零向量.记作:0.
    零向量的方向不确定,零向量与任意向量平行.
    二、平面向量的线性运算
    1. 向量的加法:
    (1)向量加法的三角形法则:
    已知向量a,b,在平面上任取一点A,作AB=a,BC=b,再作向量AC,则向量AC叫做a和b的和(或和向量),记作a+b,即a+b=AB+BC=AC.
    (2)向量求和的平行四边形法则:
    ①已知两个不共线的向量a,b,作AB=a,AD=b,则A,B,D三点不共线,以AB,AD 为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量AC=a+b,这个法则叫做向量求和的平行四边形法则.
    ②向量的运算性质:
    向量加法的交换律:a+b=b+a
    向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
    关于0:a+0=0+a=a
    2. 向量的减法:
    (1)相反向量:与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量,记作−a.
    (2)零向量的相反向量仍是零向量.
    (3)差向量定义:如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量.
    (4)一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.
    3. 数乘向量:实数和向量的乘积是一个向量,记作,且的长
    4. 向量共线的条件:
    如果a=λb,则a∥b;反之,如果a∥b,且b≠0,则一定存在唯一的一个实数λ,使a=λb.
    典例精讲
    【典例1】已知|a→|=|b→|=2,且a→⋅b→=0,c→=12(a→+b→),|d→−c→|=2,则|d→|的取值范围是( )
    A.[0,22]B.[0,2]C.[0,2]D.[0,1]
    【分析】由题意,由于两向量垂直,所以可以将两向量放到坐标系内,如图可令a→=(2,0),b→=(0,2),从而转化为坐标情况下向量问题的研究,问题易解
    【解答】解:由题意,|a→|=|b→|=2,且a→⋅b→=0,
    所以可将两向量放到坐标系内,如图可令a→=(2,0),b→=(0,2),
    ∴c→=12(a→+b→)=(1,1),
    令d→=(x,y),因为|d→−c→|=2,所以向量d→的终点在以(1,1)为圆心,以2为半径的圆上,
    又圆到原点的距离是2,所以|d→|的取值范围是[0,22],
    故选:A.
    【点评】本题考查向量的模的求法,以及向量的模的几何意义,向量的坐标表示,根据题意,灵活选用基向量法与坐标法可以大大降低解题的难度
    【典例2】已知向量a→,b→满足|a→|=1,且对任意实数x,y,|a→−xb→|的最小值为32,|b→−ya→|的最小值为3,则|a→+b→|=( )
    A.7B.5+23C.7或3D.5+23或5−23
    【分析】取a→=(1,0),b→=(c,d),|a→−xb→|=(1−xc)2+x2d2,展开利用二次函数的单调性可得:1−c2c2+d2=34,|b→−ya→|=(c−y)2+d2≥3,可得d2=3.同理可得:c2=1.
    则|a→+b→|=(1+c)2+d2=5+2c,即可得出.
    【解答】解:取a→=(1,0),b→=(c,d),
    |a→−xb→|=(1−xc)2+x2d2=(c2+d2)(x−cc2+d2)2+1−c2c2+d2≥32,
    ∴1−c2c2+d2=34,
    |b→−ya→|=(c−y)2+d2≥3,可得d2=3.
    解得c2=1.
    则|a→+b→|=(1+c)2+d2=5+2c=3或7.
    故选:C.
    【点评】本题考查了向量数量积运算性质、二次函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
    【典例3】以下说法错误的是( )
    A.零向量与单位向量的模不相等
    B.零向量与任一向量平行
    C.向量AB→与向量CD→是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上
    D.平行向量就是共线向量
    【分析】根据零向量和单位向量的定义即可判断选项A的说法正确,根据平行向量的定义即可判断选项B的说法正确,根据向量平行的定义即可判断选项C的说法错误,根据平行向量和共线向量的定义即可判断选项D的说法正确.
    【解答】解:A.零向量的模为0,单位向量的模为1;
    ∴零向量与单位向量的模不相等;
    ∴该说法正确;
    B.“零向量与任一向量平行“是正确的;
    C.向量AB→与向量CD→是共线向量,说明AB→∥CD→;
    A,B,C,D可以不在一条直线上;
    ∴该说法错误;
    D.平行向量和共线向量是一个概念;
    ∴该说法正确.
    故选:C.
    【点评】考查零向量、单位向量的定义,平行向量和共线向量的定义.
    【典例4】过△ABC内一点M任作一条直线l,再分别过顶点A,B,C作l的垂线,垂足分别为D,E,F,若AD→+BE→+CF→=0→恒成立,则点M是△ABC的( )
    A.垂心B.重心C.外心D.内心
    【分析】△ABC内一点M作一条直线l,可将此直线特殊为过点A、B、C三个点,则一条向量为零向量可得答案.
    【解答】解:本题采用特殊位置法较为简单.因为过△ABC内一点M任作一条直线,可将此直线特殊为过点A,则|AD|=0,有BE→+CF→=0→.如图:则有直线AM经过BC的中点,同理可得直线BM经过AC的中点,直线CM经过AB的中点,所以点M是△ABC的重心.
    故选:B.
    【点评】本题考查向量的加法运算,将向量转化为两个向量的和,然后抵消掉相反向量是解题的关键,属中档题.
    【典例5】在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,点F在CD上,且DF=2FC,连接AE,BF交于G点,则DG→=( )
    A.45AB→−17AD→B.67AB→−47AD→C.57AB→−27AD→D.37AB→−17AD→
    【分析】由条件可知存在实数m,n使得AG→=mAE→,FG→=nFB→,然后在三角形ADG和三角形DFG中分别表示DG→,利用向量相等得到关于m,n的方程,解方程即可.
    【解答】解:∵E为BC的中点,点F在CD上,且DF=2FC,连接AE,BF交于G点,如图所示,
    ∴存在实数m,n使得AG→=mAE→,FG→=nFB→,
    ∴DG→=DA→+AG→=−AD→+mAE→
    =−AD→+m(AB→+BE→)=−AD→+m(AB→+12BC→)
    =(12m−1)AD→+mAB→,
    DG→=DF→+FG→=23AB→+n(FC→+CB→)
    =23AB→+n(13AB→−AD→)
    =−nAD→+(23+13n)AB→,
    ∴12m−1=−nm=23+13n,∴m=67n=47,
    ∴DG→=67AB→−47AD→
    故选:B.
    【点评】本题考查了平面向量的加法运算,平面向量共线与相等,考查了方程思想,属中档题.
    【典例6】已知点O是△ABC内部一点,并且满足OA→+2OB→+3OC→=0→,△BOC的面积为S1,△ABC的面积为S2,则S1S2=( )
    A.16B.13C.23D.34
    【分析】如图所示,延长OB到D使得BD=OB,延长OC到E使得CE=2OC,根据OA→+2OB→+3OC→=0→,可得点O是△ADE的重心.可得S△OAD=S△OBC=S△OAE.又S△OAB=12S△OAD,S△OAC=13S△OAE,S△OBC=16S△ODE.即可得出.
    【解答】解:如图所示,延长OB到D使得BD=OB,延长OC到E使得CE=2OC,
    ∵满足OA→+2OB→+3OC→=0→,
    ∴点O是△ADE的重心.
    ∴S△OAD=S△OBC=S△OAE.
    S△OAB=12S△OAD,S△OAC=13S△OAE,S△OBC=16S△ODE.
    ∴S1=118S△ADE,S2=S△OAB+S△OAC+S△OBC=13S△ADE.
    S1S2=16.
    故选:A.
    【点评】本题考查了平面向量、三角形面积计算公式、三角形重心性质、数形结合方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
    【典例7】如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若AD→=xAB→+yAC→,则x+y=1+3 .
    【分析】首先根据向量之间的关系对已知条件进行转化,再利用向量的数量积确定x,y的值.向量等式两边同时乘以某一向量对等式进行化简是解决本题的关键.
    【解答】解:∵AD→=xAB→+yAC→,AD→=AB→+BD→
    ∴AB→+BD→=xAB→+yAC→
    又∵AC⊥AB
    ∴BD→⋅AB→=(x−1)AB→2
    设|AB|=1,则|DE|=|BC|=2
    又∵∠BED=60°
    ∴|BD|=62
    显然,BD与AB的夹角是45°
    又∵BD→⋅AB→=(x−1)AB→2
    ∴62×1×cs45°=(x−1)×1
    ∴x=32+1
    同理,BD→=(x−1)AB→+yAC→,
    两边同时乘以AC→,由数量积可得,
    y=32
    ∴x+y=32+1+32=3+1
    【点评】本题考查向量加法及向量数量积的应用.以及利用垂直向量化简等知识,属于中档题.
    考点2:平面向量的基本定理和直角坐标运算
    一、平面向量的基本定理
    1. 平面向量基本定理:如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数a1,a2,使a =a1e1+a2e2.
    2. 基底:我们把不共线向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记e1,e2.
    a1e1+a2e2叫做向量关于基底e1,e2的分解式.
    二、向量的直角坐标运算:
    1. 向量的直角坐标运算:
    设a=(a1​​,​​​​a2),b=(b1​​,​​​​b2),则
    ①a+b=(a1+b1​​,​​​​a2+b2);②a−b=(a1−b1​​,​​​​a2−b2);③λa=λ(a1​​,​​​​a2)=(λa1​​,​​​​λa2)
    2. 若A(x1,y1),B(x2,y2),则向量AB=OB−OA=(x2−x1,y2−y1);
    即:一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标.
    3. 用平面向量坐标表示向量共线条件:
    设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a1b2−a2b1=0就是两个向量平行的条件.
    若向量b不平行于坐标轴,即b1≠0,b2≠0,则两个向量平行的条件是,相应坐标成比例.
    典例精讲
    【典例1】已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点,且∠AOB=120°,若OC→=λOA→+μOB→(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围为( )
    A.[﹣2,2]B.(1,2]C.[1,2]D.[1,2]
    【分析】建立平面直角坐标系利用设参数用三角函数求解最值即可.
    【解答】解:设半径为1,由已知可设OB为x轴的正半轴,O为坐标原点,建立直角坐标系,其
    中A(−12,32);B(1,0);C(csθ,sinθ)(其中∠BOC=θ(0≤θ≤2π3)
    有OC→=λOA→+μOB→(λ,μ∈R)
    即:(csθ,sinθ)=λ(−12,32)+μ(1,0);
    整理得:−12λ+μ=csθ;32λ=sinθ,
    解得:λ=2sinθ3,μ=csθ+sinθ3,
    则λ+μ=2sinθ3+csθ+sinθ3=3sinθ+csθ=2sin(θ+π6),
    其中(0≤θ≤2π3);
    易知λ+μ=2sinθ3+csθ+sinθ3=3sinθ+csθ=2sin(θ+π6)为增函数,
    由单调性易得其值域为[1,2]
    故选:D.
    【点评】本题着重考查了平面向量基本定理、向量的线性运算法则等知识,属于中档题.
    【典例2】已知正六边形ABCDEF中,G是线段AF的中点,则CG→=( )
    A.58CE→+34DA→B.34CE→+58DA→C.56CE→+23DA→D.23CE→+56DA→
    【分析】选AF→,AB→为基向量,将CG→,CE→,DA→用基向量表示后可得.
    【解答】解:CG→=CB→+BA→+AG→=OA→+BA→+12AF→=−AF→−AB→−AB→+12AF→=−12AF→−2AB→;
    58DA→=58×2OA→=−54AF→−54AB→;
    34CE→=34BF→=34(AF→−AB→)=34AF→−34AB→,
    ∴34CE→+58DA→=34AF→−34AB→−54AF→−54AB→=−12AF→−2AB→.
    故选:B.
    【点评】本题考查了平面向量基本定理,属中档题.
    【典例3】如图,在△ABC中,AD→=2DB→,BC→=2BE→,AE与CD交于点F,过点F作直线QP,分别交AB,AC于点Q,P,若AQ→=λAB→,AP→=μAC→,则λ+μ的最小值为( )
    A.85B.95C.2D.115
    【分析】选取AB→和AC→为基向量,利用两个三点共线和平面向量基本定理以及基本不等式可得.
    【解答】解:∵D,F,C三点共线,∴可设AF→=tAD→+(1﹣t)AC→=2t3AB→+(1﹣t)AC→,
    又AE→=12AB→+12AC→,又AF→与AE→共线,∴2t312=1−t12,解得t=35,
    ∴AF→=25AB→+25AC→,
    ∵Q,F,P三点共线,所以可设AF→=xAQ→+(1﹣x)AP→=xλAB→+(1﹣x)μAC→,
    根据平面向量基本定理可得:xλ=25(1−x)μ=25,消去x得1λ+1μ=52且λ>0,μ,>0,
    λ+μ=(λ+μ)•25(1λ+1μ)=25(1+1+λμ+μλ)≥25(2+2λμ⋅μλ)=85,
    当且仅当λ=μ=45时,等号成立.
    故选:A.
    【点评】本题考查了平面向量的基本定理,属中档题.
    【典例4】如图,在扇形OAB中,∠AOB=60°,C为弧AB上的一个动点,若OC→=xOA→+yOB→,则x﹣y的取值范围是 [﹣1,1] .
    【分析】建立平面直角坐标系利用设参数用三角函数求解最值即可.
    【解答】解:设半径为1,由已知可设OB为x轴的正半轴,O为坐标原点,建立直角坐标系,其
    中A(12,32);B(1,0);C(csθ,sinθ)(其中∠BOC=θ(0≤θ≤π3)
    有若OC→=xOA→+yOB→=(csθ,sinθ)=x(12,32)+y(1,0);
    整理得:12x+y=csθ;32x=sinθ,
    解得x=2sinθ3,y=csθ−sinθ3,
    则x﹣y=2sinθ3−csθ+sinθ3=3sinθ﹣csθ=2sin(θ−π6),
    其中(0≤θ≤π3);
    易知x﹣y=2sinθ3−csθ+sinθ3=3sinθ﹣csθ=2sin(θ−π6),为增函数,由单调
    性易得其值域为[﹣1,1]
    故答案为:[﹣1,1]
    【点评】本题着重考查了平面向量基本定理、向量的线性运算法则等知识,属于中档题.
    【典例5】已知向量a→=(1,x),b→=(3,4),若a→∥b→,则x= 43 .
    【分析】根据题意,由向量平行的坐标表示方法,可得若a→∥b→,则有3x=4,解可得x的值,即可得答案.
    【解答】解:根据题意,向量a→=(1,x),b→=(3,4),
    若a→∥b→,则有3x=4,
    解可得x=43;
    故答案为:43.
    【点评】本题考查向量平行的坐标表示,关键是掌握向量平行的坐标判定公式.
    【典例6】已知向量m→=(2,5),n→=(﹣5,t),若m→⊥n→,则(m→+n→)•(m→−2n→)= ﹣29 .
    【分析】根据题意,由向量数量积的计算公式可得m→•n→=2×(﹣5)+5t=0,解可得t=2,即可得向量n→的坐标,进而可得m→+n→、m→−2n→的值,由数量积的计算公式计算即可得答案.
    【解答】解:向量m→=(2,5),n→=(﹣5,t),
    若m→⊥n→,则m→•n→=2×(﹣5)+5t=0,解可得t=2,
    则m→=(2,5),n→=(﹣5,2),
    则有m→+n→=(﹣3,7),m→−2n→=(12,1),
    则(m→+n→)•(m→−2n→)=(﹣3)×12+7×1=﹣29;
    故答案为:﹣29
    【点评】本题考查向量的数量积的计算,关键是求出t的值.
    【典例7】已知a→=(1,﹣1),b→=(t,1),若(a→+b→)∥(a→−b→),则实数t=﹣1 .
    【分析】根据题意,由向量坐标的计算公式计算可得a→+b→、a→−b→的坐标,由向量平行的坐标表示方法可得0×(1﹣t)=(1+t)×(﹣2),解可得t的值,即可得答案.
    【解答】解:根据题意,a→=(1,﹣1),b→=(t,1),
    则a→+b→=(1+t,0),a→−b→=(1﹣t,﹣2),
    若(a→+b→)∥(a→−b→),则有0×(1﹣t)=(1+t)×(﹣2),
    解可得t=﹣1;
    故答案为:﹣1.
    【点评】本题考查向量平行的坐标表示方法,关键是求出关于k的关系式.
    【典例8】已知向量a→=(4,﹣2),b→=(x,1),若a→∥b→,则|a→+b→|= 5 .
    【分析】根据两向量平行的坐标表示,列出方程求出x的值,再求a→+b→的模长|a→+b→|.
    【解答】解:∵向量a→=(4,﹣2),b→=(x,1),且a→∥b→,
    ∴﹣2x﹣4×1=0,解得x=﹣2;
    ∴b→=(﹣2,1),
    ∴a→+b→=(2,﹣1),
    ∴|a→+b→|=22+(−1)2=5.
    故答案为:5.
    【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题,也考查了向量平行与模长的计算问题.
    考点3:平面向量的数量积
    平面向量的数量积
    1. 两个向量的夹角:
    已知两个非零向量a, b,作OA=a,OB=b,则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作,并规定0≤ ≤π,在这个规定下,两个向量的夹角被唯一确定了,并且有=.当=π2时,我们说向量a和向量b互相垂直,记作a⊥b.
    2. 向量的数量积(内积)定义
    abcs叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a⋅b,即
    3. 向量内积的性质
    (1)e是单位向量,则a⋅e=e⋅a=acs
    (2)a⊥b⇒a⋅b=0,且a⋅b=0⇒a⊥b;
    (3)a⋅a=a2,即a=a⋅a;
    (4)cs=a⋅bab;
    (5)a⋅b≤ab.
    4. 向量数量积的运算律
    (1)交换律:a⋅b=b⋅a;λ(a⋅b)=(λa)⋅b=a⋅(λb).
    (2)分配律:(a+b)c=a⋅c+b⋅c
    5. 向量数量积的坐标运算与度量公式
    (1)向量内积的坐标运算:建立正交基:e1​​,​​​​e2,已知a=(a1​​,​​​​a2),b=(b1​​,​​​​b2),a⋅b=a1b1+a2b2.
    (2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件:ab⇔a1b1+a2b2=0
    (3)向量的长度公式:
    已知a=(a1​​,​​​​a2),则a=a12+a22,即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.
    (4)两点间的距离公式:
    如果A(x1​​,y1),B(x2​​,​​​​y2),则AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2.
    (5)两个向量夹角余弦的坐标表达式:cs=a1b1+a2b2a12+a22b12+b22.
    典例精讲
    【典例1】在△ABC中,AD为斜边BC边的高,若AC→⋅AB→=0,|AC→|=1,|AB→|=3,则CD→⋅AB→=( )
    A.910B.310C.−310D.−910
    【分析】根据条件求出三角形ABC中各边的长度,然后建立以D为原点BC,AD所在的直线分别为x轴,y轴的直角坐标系,用坐标运算即可.
    【解答】解:∵若AC→⋅AB→=0,∴AC→⊥AB→,又AD为斜边BC边的高,
    ∴|BC|→=|AC|→2+|AB|→2=10,|AD|→⋅|BC|→=|AB|→⋅|AD|→,
    ∴|AD|→=3×110=31010,
    ∴|BD|→=|AB→2−|AD|→2=91010,∴|DC|→=|BC|→−|BD|→=1010,
    如图以D为原点BC,AD所在的直线分别为x轴,y轴建立直角坐标系,
    则D(0,0),A(0,31010),B(−91010,0),C(1010,0),
    ∴CD→=(−1010,0),AB→=(−91010,−31010),
    ∴CD→⋅AB→=910.
    故选:A.
    【点评】本题考查了平面向量数量积的性质和运算,利用坐标运算是解题的关键,属中档题.
    【典例2】设a→、b→是夹角为60°的单位向量,则2a→+b→和3a→−2b→的夹角为( )
    A.30°B.60°C.120°D.150°
    【分析】根据向量数量积的应用,求出相应的长度和数量积即可得到结论.
    【解答】解:∵a→、b→是夹角为60°的单位向量,
    ∴a→•b→=|a→||b→|cs60°=12,
    则(2a→+b→)•(3a→−2b→)=6a→2﹣2b→2−a→•b→=6﹣2−12=72,
    |2a→+b→|=(2a→+b→)2=4a→2+4a→⋅b→+b→2=4+2+1=7,
    |3a→−2b→|=(3a→−2b→)2=9a→2−12a→⋅b→+4b→2=9−12×12+4=13−6=7,
    ∴2a→+b→和3a→−2b→的夹角α满足csα=(2a→+b→)⋅(3a→−2b→)|2a→+b→||3a→−2b→|=727×7=12,
    即α=60°,
    故选:B.
    【点评】本题主要考查向量夹角的求解,根据向量数量积的应用分别求出向量长度是解决本题的关键.
    【典例3】已知非零向量a→,b→满足|a→|=2|b→|,且(a→−b→)⊥b→,则a→与b→的夹角为( )
    A.π6B.π3C.2π3D.5π6
    【分析】由(a→−b→)⊥b→,可得(a→−b→)⋅b→=0,进一步得到|a|→|b|→cs<a→,b→>−b→2=0,然后求出夹角即可.
    【解答】解:∵(a→−b→)⊥b→,
    ∴(a→−b→)⋅b→=a→⋅b→−b→2
    =|a|→|b|→cs<a→,b→>−b→2=0,
    ∴cs<a→,b→>=|b|→2|a|→|b|→
    =|b|→22|b|→2=12,
    ∵<a→,b→>∈[0,π],
    ∴<a→,b→>=π3.
    故选:B.
    【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角.
    【典例4】已知单位向量a→,b→的夹角为60°,若向量c→满足|a→−2b→+3c→|≤3,则|c→|的最大值为( )
    A.1+33B.33C.1+3D.3
    【分析】由题意设单位向量a→=(1,0),b→=(cs60°,sin60°),c→=(x,y);由|a→−2b→+3c→|≤3求出x、y的关系式,利用数形结合求出|c→|的最大值.
    【解答】解:由题意,设单位向量a→=(1,0),b→=(cs60°,sin60°)=(12,32),且c→=(x,y);
    则a→−2b→+3c→=(3x,3y−3),
    由|a→−2b→+3c→|≤3,
    ∴(3x)2+(3y−3)2≤3,
    化简得x2+(y−33)2≤1,
    它表示圆心为C(0,33),半径为1的圆,如图所示;
    由图形知,|c→|的最大值为1+33.
    故选:A.
    【点评】本题考查了平面向量的模长公式应用问题,也考查了数形结合应用思想,是中档题.
    【典例5】已知向量a→=(2,3),b→=(﹣4,7),则a→在b→方向上正射影的数量是 655 .
    【分析】设向量a→与b→的夹角为θ,则所求=|a→|csθ=|a→|•a→⋅b→|a→||b→|=a→⋅b→|b→|,由向量的坐标运算可得.
    【解答】解:设向量a→与b→的夹角为θ,
    则a→在b→方向上正射影为:|a→|csθ=|a→|•a→⋅b→|a→||b→|
    =a→⋅b→|b→|=2×(−4)+3×7(−4)2+72=1365=655
    故答案为:655
    【点评】本题考查向量的正射影的求解,牢记正射影的定义以及数量积的运算是解决问题的关键.
    【典例6】如图,已知P是半径为2,圆心角为π3的一段圆弧AB上一点,AB=2BC,则PC⋅PA的最小值为 5﹣213 .
    【分析】建立平面直角坐标系,将向量的点求最值乘转换成求三角函数的最值即可.
    【解答】解:已知P是半径为2,圆心角为π3的一段圆弧AB上一点,AB=2BC,
    以圆心为原点,AB垂直平分线所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,
    则:A(﹣1,3),B(2,3),由题设:P(2csθ,2sinθ),π3≤θ≤2π3;
    则PC⋅PA=(2﹣2 csθ,3−2sinθ)•(﹣1﹣2csθ,3−2sinθ)=5﹣2ssθ﹣43sinθ
    =5﹣213sin(θ+Φ),其中0<tanΦ=36<33;
    所以0<Φ<π6,当θ=π2−Φ时,
    则PC⋅PA的最小值为5﹣213;
    故答案为:5﹣213.
    【点评】本题考查向量的数量积的应用,三角函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
    【典例7】设向量a→=(4,m),b→=(1,﹣2),且a→⊥b→,则|a→+2b→|= 210 .
    【分析】由a→⊥b→,可得a→•b→=0,解得m.再利用向量坐标运算性质、模的计算公式即可得出.
    【解答】解:∵a→⊥b→,∴a→•b→=4﹣2m=0,解得m=2.
    ∴a→+2b→=(4,2)+2(1,﹣2)=(6,﹣2).
    ∴|a→+2b→|=62+(−2)2=210.
    故答案为:210.
    【点评】本题考查了向量垂直与数量积的运算性质、向量坐标运算性质、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
    综合练习
    一.选择题(共5小题)
    1.向量a→,b→,c→在正方形网络中的位置如图所示,若c→=λa→+μb→(λ,μ∈R),则λμ=( )
    A.﹣8B.﹣4C.4D.2
    【分析】设正方形的边长为1,则易知c→=(﹣1,﹣3),a→=(﹣1,1),b→=(6,2);从而可得(﹣1,﹣3)=λ(﹣1,1)+μ(6,2),从而求得.
    【解答】解:设正方形的边长为1,则易知
    c→=(﹣1,﹣3),a→=(﹣1,1),b→=(6,2);
    ∵c→=λa→+μb→,
    ∴(﹣1,﹣3)=λ(﹣1,1)+μ(6,2),
    解得,λ=﹣2,μ=−12;
    故λμ=4;
    故选:C.
    【点评】本题考查了平面向量的坐标表示的应用及学生的转化思想的应用.
    2.设α为锐角,a→=(sinα,1),b→=(1,2),若a→与b→共线,则角α=( )
    A.15°B.30°C.45°D.60°
    【分析】a→与b→共线,可得2sinα=1,又 α为锐角,即可得出.
    【解答】解:∵a→与b→共线,∴2sinα=1,即sinα=12.
    又 α为锐角,∴α=30°.
    故选:B.
    【点评】本题考查了向量共线定理、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力.
    3.已知等边三角形ABC中,D是线段AC的中点,DE⊥AB,垂足为E,F是线段BD的中点,则DE→=( )
    A.−38BD→+54FC→B.38BD→−54FC→C.18BD→−34FC→D.−18BD→+34FC→
    【分析】如图所示,建立直角坐标系.不妨设|AC|=4.作EG⊥AD,垂足为G.由DE⊥AB,可得∠AED=90°.利用直角三角形的边角关系可得E坐标.设DE→=xBD→+yFC→,利用向量坐标于是性质、平面向量基本定理即可得出.
    【解答】解:如图所示,建立直角坐标系.
    不妨设|AC|=4.
    作EG⊥AD,垂足为G.
    D(0,0),C(2,0),F(0,3),B(0,23).
    ∵DE⊥AB,∴∠AED=90°.
    |EO|=2sin60°=3.
    ∴xE=−3cs30°=−32.
    yE=3sin30°=32.
    ∴E(−32,32).
    DE→=(−32,32).BD→=(0,﹣23),FC→=(2,−3).
    设DE→=xBD→+yFC→,
    ∴−32=2y,32=−23x−3y.
    解得y=−34,x=18.
    ∴DE→=18BD→−34FC→.
    故选:C.
    【点评】本题考查了直角三角形的边角关系、向量坐标于是性质、平面向量基本定理、向量共线定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
    4.已知点为内一点,,则,,的面积之比为
    A.B.C.D.
    【分析】设,,,则点是的重心,所以,利用正弦的面积公式可推出,,,然后求出,,的面积之比.
    【解答】解:,
    不妨设,,,则点是的重心,

    同理可得,,,
    点是的重心,,

    故选:.
    【点评】本题主要考查平面向量在几何中的应用,涉及三角形重心的性质、正弦的面积公式等,掌握三角形的重心把三角形的面积三等分是解题的关键,考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
    5.在中,为上一点,且,,若,则
    A.,B.,C.,D.,
    【分析】作出图象,整理,对应得到,即可.
    【解答】解:如图,因为,,
    所以,,
    由图可得

    故,,
    故选:.
    【点评】本题考查平面向量基本定理的应用,考查数形结合思想,转化思想,属于中档题.
    二.填空题(共4小题)
    6.如图所示,点A,B,C是圆O上的三点,线段OC与线段AB交于圆内一点P,若OC→=mOA→+2mOB→,AP→=λAB→,则λ= 23 .
    【分析】根据条件可知,OP→与OC→共线,而根据AP→=λAB→可得出OP→=(1−λ)OA→+λOB→,又知OC→=mOA→+2mOB→,从而得出λ=2(1﹣λ),求出λ即可.
    【解答】解:根据条件知,OP→与OC→共线;
    ∵AP→=λAB→;
    ∴OP→−OA→=λ(OB→−OA→);
    ∴OP→=(1−λ)OA→+λOB→;
    又OC→=mOA→+2mOB→;
    ∴λ=2(1﹣λ);
    ∴λ=23.
    故答案为:23.
    【点评】考查共线向量基本定理,向量减法的几何意义,以及向量的数乘运算.
    7.已知OM→=23OA→+13OB→,则AM→= 13 AB→.
    【分析】设AM→=kAB→,化为OM→=(1−k)OA→+kOB→,与OM→=(1−13)OA→+13OB→比较,可得k.
    【解答】解:设AM→=kAB→,
    则OM→−OA→=k(OB→−OA→),
    化为OM→=(1−k)OA→+kOB→,与OM→=(1−13)OA→+13OB→比较,可得k=13,
    ∴AM→=13AB→.
    故答案为:13.
    【点评】本题考查了向量共线定理、向量共面定理、向量的三角形法则,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
    8.设向量a→,b→不平行,若向量λa→+b→与a→−2b→平行,则实数λ的值为 −12 .
    【分析】向量λa→+b→与a→−2b→平行,存在实数k使得λa→+b→=k(a→−2b→),再利用向量共面基本定理即可得出.
    【解答】解:∵向量λa→+b→与a→−2b→平行,
    ∴存在实数k使得λa→+b→=k(a→−2b→),
    化为(λ−k)a→+(1+2k)b→=0→,
    ∵向量a→,b→不平行,
    ∴λ−k=01+2k=0,
    解得λ=−12.
    故答案为:−12.
    【点评】本题考查了向量共线定理与向量共面基本定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
    9.如图,边长为2的正方形ABCD的顶点A,B分别在两条互相垂直的射线OP,OQ上滑动,则OC→•CD→的最大值为 8 .
    【分析】令∠OAB=θ,由边长为2的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上,可得出D,C的坐标,由此可以表示出两个向量,算出它们的内积即可
    【解答】解:如图令∠OAB=θ,由于AB=2,故OA=2csθ,OB=2sinθ,
    如图∠DAX=π2−θ,AD=2,故xD=2csθ+2cs(π2−θ)=2csθ+2sinθ,yD=2sin(π2−θ)=2csθ,
    故OD→=(2csθ+2sinθ,2csθ),
    同理可求得C(2sinθ,2csθ+2sinθ),即OC→=(2sinθ,2csθ+2sinθ),
    ∴OC→•CD→=(2csθ+2sinθ,2csθ)•(2sinθ,2csθ+2sinθ)=4(1+sin2θ),
    ∴OC→•CD→的最大值是8,
    故答案是:8.
    【点评】本题考查向量在几何中的应用,设角引入坐标是解题的关键,由于向量的运算与坐标关系密切,所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标.
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