专题20 直线与圆-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

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两点之间的距离公式与中点坐标公式
1.两点间距离公式：已知，，则
2.中点公式：已知，，则中点坐标为：，
(二)倾角与斜率
1.直线的倾斜角
定义：轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．
2.直线的斜率：
直线斜率k越大，反映直线相对于x轴倾斜程度越大；反之，直线的斜率k越小，反映直线相对于x轴倾斜程度越小．
除去垂直于x轴的直线外，只要知道直线上两个不同点的坐标，有就可以算出这条直线的斜率．方程的图象是通过点且斜率为的直线．
3.斜率与倾斜角的关系：
当时，直线平行于轴或与轴重合．
当时，直线的倾斜角为锐角；值越大，直线的倾斜角也随着增大．
当时，直线的倾斜角为钝角；k值越大，直线的倾斜角也随着增大．
垂直于x轴的直线的倾斜角等于．
(三)直线方程
直线方程的几种形式：
1）点斜式方程：
2）斜截式方程：
3）两点式方程：
4）截距式：；
5）一般式：（、不全为零）
(四)直线系方程
定义：具有某一个共同性质的直线称为直线系，它的方程称为直线系方程。
1.平行直线系
1）斜率为k0（常数）：y=k0x+b（b为参数）
2）平行于已知直线Ax0+B0y=0（A0 、B0是不全为零的常数）的直线系：A0x+B0y+C=0（C≠0）
2.垂直直线系
1）与斜率k0（k0≠0）的直线垂直的直线系：−1k0x+b（b为参数）
2）垂直于已知直线A0x+B0y=0（A0 、B0是不全为零的常数）的直线系：B0x−A0y+λ=0
（λ为参数）
3.过已知点的直线系
1）以斜率k作为参数的直线系：y−y0=k(x−x0)，直线过定点(x0 ， y0)；y=kx+b0，直线过定点(0 ， b0)，其中过定点且平行于y轴或与y轴重合的直线不在直线系内。
2）过两条直线l1：Ax+By+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系：A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0（λ为参数），其中直线l2不在直线内。
典例精讲
1．直线过，且，到的距离相等，则直线的方程是
A．B．
C．或D．或
【分析】由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，当直线时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段的中点时，易得所求的直线方程．
【解答】解：设所求直线为，由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，
（1）的斜率为，当直线时，直线的方程是，即，
（2）当直线经过线段的中点时，的斜率为，直线的方程是，即，
故所求直线的方程为，或．
故选：．
【点评】本题考查求直线的方程的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
2．已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则此直线的方程为 或 ．
【分析】当直线经过原点时，直线方程为：．当直线不经过原点时，设直线方程为：，把点代入解得即可得出．
【解答】解：当直线经过原点时，直线方程为：．
当直线不经过原点时，设直线方程为：，把点代入，
解得．
直线方程为．
综上可得直线方程为：或，
故答案是：或．
【点评】本题考查了直线的截距式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
3．已知三角形三顶点，，，求：
（1）过点且平行于的直线方程．
（2）边上的高所在的直线方程．
【分析】（1）求得直线的斜率，运用两直线平行的条件：斜率相等，以及点斜式方程即可得到所求直线方程；
（2）求得的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为，以及点斜式方程即可得到所求直线方程．
【解答】解：（1），
直线为，
整理得；
（2），
边的高过点，且斜率为，
，
整理得边的高所在直线方程为．
【点评】本题考查直线方程的求法，注意运用两直线平行和垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．
4．直线y=3x+1的倾斜角大小是 60° ．
【分析】求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角即可．
【解答】解：因为直线y=3x+1的斜率为：3，
所以直线的倾斜角为α，tanα=3，所以α＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，倾斜角的求法，考查计算能力．
5．直线ax+y+1＝0与连接A（4，5），B（﹣1，2）的线段相交，则a的取值范围是 a≤−32或a≥3 ．
【分析】判断直线ax+y+1＝0恒过定点P（0，﹣1），计算PA、PB的斜率，再利用数形结合法求出实数a的取值范围．
【解答】解：由直线ax+y+1＝0的方程，判断直线恒过定点P（0，﹣1），如图所示，
计算kPA=5+14−0=32，kPB=2+1−1−0=−3，
且k≥kPA或k≤kPB，
则a≤﹣kPA或a≥﹣kPB，
即实数a的取值范围是：a≤−32或a≥3．
故答案为：a≤−32或a≥3．
【点评】本题考查了直线的斜率与直线方程的应用问题．
6．求过直线A（8，﹣2）斜率是−12的直线的一般方程 x+2y﹣4＝0 ．
【分析】直接写出直线方程的点斜式，然后化为一般式即可．
【解答】解：由直线l过A（8，﹣2）且斜率是−12，
所以其点斜式方程为y﹣（﹣2）=−12(x−8)，
整理得，x+2y﹣4＝0．
故答案为x+2y﹣4＝0．
【点评】本题考查了直线的点斜式方程，考查了点斜式和一般式得互化．
7．若直线x=π6是函数y＝asinx+bcsx图象的一条对称轴，则直线ax+by+c＝0的倾斜角为 5π6 ．
【分析】利用辅助角公式化函数y，根据x=π6是函数y图象的对称轴，列方程求得ab的值，再求直线ax+by+c＝0的斜率和倾斜角．
【解答】解：函数y＝asinx+bcsx=a2+b2sin（x+θ），
x=π6是函数y＝asinx+bcsx图象的一条对称轴，
则±a2+b2=a•sinπ6+b•csπ6，
平方化简可得a2+b2=(12a+32b)2，3(ab)2−23•ab+1＝0，
求得ab=33，可得直线ax+by+c＝0的斜率为k=−ab=−33，
所以此直线的倾斜角为5π6．
故答案为：5π6．
【点评】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了直线的倾斜角和斜率应用问题．
8．已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是 4x﹣2y﹣5＝0 ．
【分析】要求线段AB的垂直平分线，即要求垂直平分线线上一点与直线的斜率，根据中点坐标公式求出AB的中点M的坐标，利用A与B的坐标求出直线AB的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1得到垂直平分线的斜率，根据M的坐标和求出的斜率写出AB的垂直平分线的方程即可．
【解答】解：设M的坐标为（x，y），则x=1+32=2，y=2+12=32，所以M（2，32）
因为直线AB的斜率为2−11−3=−12，所以线段AB垂直平分线的斜率k＝2，
则线段AB的垂直平分线的方程为y−32=2（x﹣2）化简得4x﹣2y﹣5＝0
故答案为：4x﹣2y﹣5＝0
【点评】此题考查学生会利用中点坐标公式求线段中点的坐标，掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程，是一道中档题．
考点二 圆
(一)圆方程
1.圆的标准方程
1）以点为圆心，r为半径的圆的方程：
2）圆心在原点的圆的标准方程：
2.圆的一般方程：，①
注意：
①和项的系数相等且都不为零；
②没有这样的二次项．
③表示以为圆心，为半径的圆．
1）当时，方程①只有实根,，方程①表示一个点
2）当时，方程①没有实根，因而它不表示任何图形
3.圆心的三个重要的几何性质
1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
2）圆心在一条弦的中垂线上
3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
4.判断点与圆的位置关系的方法
1）圆的标准方程，圆心，半径r，若点在圆上，则；若点在圆外，则；若点在圆内，则．反之，也成立．
2）利用几何法来判断点与圆的位置关系．当点到圆心O的距离大于圆的半径，则若点在圆外，即点M在圆外；当点到圆心O的距离小于圆的半径，则若点在圆内即点在圆内；当点到圆心O的距离等于圆的半径，则若点在圆上，点在圆上．
5.直线与圆的位置关系
位置关系有三种：相交、相切、相离
(二)判断位置关系方法：
1）代数法：将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二次方程，求出其的值，然后比较判别式与的大小关系，
若，则直线与圆相离
若，则直线与圆相切
若，则直线与圆相交
2）几何法：利用圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系：相交，相切，相离．
6.计算直线被圆截得的弦长
1）几何方法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算．
2）代数方法：运用韦达定理及弦长公式
(三)圆与圆的位置关系的判定
设，则有：
与外离．
与外切．
与相交．
与内切．
与内含．
典例精讲
1．直线l1：kx﹣y﹣2k+4＝0与x轴交于点M，直线l2：x+ky﹣4k﹣2＝0与y轴交于点N，线段MN的中点为P，则点P的坐标（x，y）满足的方程为（ ）
A．（x+2y﹣5）（2x﹣y）＝0B．x+2y﹣5＝0
C．（2x+y+4）（2x+y）＝0D．2x+y﹣4＝0
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），k＝0时，两条直线化为：y﹣4＝0，x﹣2＝0，不满足条件，舍去．k≠0时，分别求出交点，利用中点坐标公式，可得线段MN的中点P，消去k可得直线方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
①k＝0时，两条直线化为：y﹣4＝0，x﹣2＝0，不满足条件，舍去．
②k≠0时，直线l1：kx﹣y﹣2k+4＝0与x轴交于点M（2k−4k，0）．
直线l2：x+ky﹣4k﹣2＝0与y轴交于点N（0，4k+2k），
线段MN的中点为P(k−2k，2k+1k)，
可得：x=k−2k，y=2k+1k，消去k可得：x+2y﹣5＝0，
则点P的坐标（x，y）满足的方程为x+2y﹣5＝0，
故选：B．
【点评】本题考查了轨迹方程、直线交点、中点坐标个数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．已知圆心C在直线y＝2x﹣4上的圆的半径为1，点A（0，3），若圆C上存在点M，使得|MA|＝2|MO|（O为坐标原点），则圆心C的横坐标a的最大值是（ ）
A．45B．85C．125D．165
【分析】设出圆C的方程，点M的坐标，利用|MA|＝2|MO|，求出M的轨迹，通过两个圆的位置关系，求圆心C的横坐标a的取值范围．
【解答】解：∵圆C的圆心在直线l：y＝2x﹣4上，
∴圆C的方程设为：（x﹣a）2+（y﹣（2a﹣4））2＝1，设M（x，y），由|MA|＝2|MO|，可得：x2+(y−3)2=2x2+y2，
化简可得x2+（y+1）2＝4，点M在以D（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M（x，y）在圆上，
∴圆C和圆D有公共点，则|2﹣1|≤|CD|≤2+1，∴1≤(a−0)2+(2a−4+1)2≤3，
即 5a2﹣12a+8≥0，可得a∈R，由5a2﹣12a≤0，
可得0≤a≤125，
圆心C的横坐标a的取值范围为[0，125]，
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
3．已知圆心（﹣2，1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A．x2+y2+4x﹣2y﹣5＝0B．x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0
C．x2+y2+4x﹣2y＝0D．x2+y2﹣4x+2y＝0
【分析】根据题意，设直径的两个端点分别A（a，0）、B（0，b），由中点坐标公式可得a、b的值，由两点间距离公式计算可得圆的半径，将其代入圆的标准方程即可得答案．
【解答】解：设直径的两个端点分别A（a，0）、B（0，b），
圆心C为点（﹣2，1），
由中点坐标公式得a+02=−2，0+b2=1，
解得a＝﹣4，b＝2．
∴半径r=(−2+4)2+(1−0)2=5，
∴圆的方程是：（x+2）2+（y﹣1）2＝5，即x2+y2+4x﹣2y＝0．
故选：C．
【点评】本题考查圆的标准方程，关键是求出直径的两个端点的坐标，求出圆的半径，是中档题．
4．在中，角，，的对边分别为，，，若角，，成等差数列，且直线平分圆的周长，则的面积的最大值为
A．B．C．D．
【分析】根据等差中项和三角形内角和定理可得，根据直线平分圆的周长，可知圆心在直线上，从而得到，然后根据面积公式和基本不等式，求出面积的最大值．
【解答】解：在中，，
角，，成等差数列，，
，．
直线平分圆的周长，
圆心在直线上，则，
，，，即．
当且仅当，即，时取等号．
，
的面积的最大值为．
故选：．
【点评】本题考查等差数列的性质，直线与圆的位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
5．已知圆O：x2+y2＝5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．5B．10C．252D．254
【分析】判断点A在圆上，用点斜式写出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，从而求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
【解答】解：由题意知，点A在圆上，则A为切点，
则OA的斜率k＝2，
则切线斜率为−12，
则切线方程为：y﹣2=−12（x﹣1），
即x+2y﹣5＝0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和52，
所以，所求面积为12×5×52=254．
故选：D．
【点评】本题考查求圆的切线方程的方法，以及求直线与坐标轴围成的三角形的面积．判断A是切点是解决本题的关键．
6．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P使得∠APB＝90°，则m的最大值为 6 ．
【分析】C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径r＝1，设P（a，b）在圆C上，则AP→=（a+m，b），BP→=（a﹣m，b），由已知得m2＝a2+b2＝|OP|2，m的最大值即为|OP|的最大值．
【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径r＝1，
设P（a，b）在圆C上，则AP→=（a+m，b），BP→=（a﹣m，b），
∵∠APB＝90°，∴AP→⊥BP→，
∴AP→⋅BP→=（a+m）（a﹣m）+b2＝0，
∴m2＝a2+b2＝|OP|2，
∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r＝5+1＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．
7．若方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0表示以（2，﹣4）为圆心，4为半径的圆，则F＝ 4 ．
【分析】由圆的一般方程结合题中的条件可得−D2=2，−E2=−4，12D2+E2−4F=4，由此求得F的值．
【解答】解：由圆的一般方程结合题中的条件可得−D2=2，−E2=−4，12D2+E2−4F=4，
解得 D＝﹣4，E＝8，F＝4，
故答案为 4．
【点评】本题主要考查圆的一般方程的特征，属于中档题．
8．已知A（﹣1，0），B是圆F：x2﹣2x+y2﹣11＝0（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 x23+y22=1 ．
【分析】利用椭圆的定义判断点P的轨迹 是以A、F 为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程．
【解答】解：由题意得 圆心F（1，0），半径等于23，|PA|＝|PB|，
∴|PF|+|PA|＝|PF|+|PB|＝|BF|＝半径23＞|AF|，
故点P的轨迹是以A、F 为焦点的椭圆，
2a＝23，c＝1，∴b=2，∴椭圆的方程为x23+y22=1．
故答案为：为x23+y22=1．
【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程，结合椭圆的定义求轨迹是解题的难点．
综合练习
1．已知动圆C经过点A（2，0），且截y轴所得的弦长为4，则圆心C的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【分析】设圆心C（x，y），弦为BD，过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|BE|＝2，又|CA|2＝|BC|2＝|BE|2+|CE|2，利用两点间的距离公式即可得出．
【解答】解：设圆心C（x，y），弦为BCD过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|BE|＝2，
∴|CA|2＝|BC|2＝|BE|2+|CE|2，
∴（x﹣2）2+y2＝22+x2，化为y2＝4x，y2＝4x为抛物线．
故选：D．
【点评】本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、垂径定理、两点间的距离公式，考查学生的计算能力．
2．在直角坐标系内，已知A（3，3）是⊙C上一点，对任意实数a，点A关于直线（a+2）x﹣y﹣3a﹣2＝0的对称点仍在⊙C上，点M，N的坐标分别为（m，0），（﹣m，0），若⊙C上存在点p，使∠MPN＝90°，则正数m的取值范围是（ ）
A．[22，32]B．[42，62]C．[4，6]D．[8，12]
【分析】直线（a+2）x﹣y﹣3a﹣2＝0化为：a（x﹣3）+2x﹣y﹣2＝0，令x−3=02x−y−2=0，解得直线（a+2）x﹣y﹣3a﹣2＝0经过定点（3，4）．由A（3，3）是⊙C上一点，对任意实数a，点A关于直线（a+2）x﹣y﹣3a﹣2＝0的对称点仍在⊙C上，可得⊙C的圆心为（3，4）．点M，N的坐标分别为（m，0），（﹣m，0），⊙C上存在点p，使∠MPN＝90°，可得点P在以原点O为圆心，|m|为半径的圆上，根据两圆外切与内切的性质即可得出结论．
【解答】解：直线（a+2）x﹣y﹣3a﹣2＝0化为：a（x﹣3）+2x﹣y﹣2＝0，
令x−3=02x−y−2=0，解得x＝3，y＝4．
∴直线（a+2）x﹣y﹣3a﹣2＝0经过定点（3，4）．
由A（3，3）是⊙C上一点，对任意实数a，点A关于直线（a+2）x﹣y﹣3a﹣2＝0的对称点仍在⊙C上，
∴⊙C的圆心为（3，4）．
点M，N的坐标分别为（m，0），（﹣m，0），⊙C上存在点p，使∠MPN＝90°，
则点P在以原点O为圆心，|m|为半径的圆上，
若两圆外切，则m+1=32+42，解得m＝4．
若两圆内切，则m﹣1=32+42，解得m＝6．
∴4≤m≤6．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的方程及其两圆的位置关系、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力．
3．若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是
A．B．C．D．，
【分析】要求的实数的取值范围即为直线斜率的取值范围，主要求出斜率的取值范围，方法为：曲线表示以为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线与半圆有不同的交点，故抓住两个关键点：当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解得到的值；当直线过点时，由和的坐标求出此时直线的斜率，根据两种情况求出的斜率得出的取值范围．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：
由题意可得：曲线图象为以为圆心，2为半径的半圆，直线恒过，
由图当直线与半圆相切，圆心到直线的距离，即，解得：；
当直线过点时，直线的斜率，
则直线与半圆有两个不同的交点时，实数的范围，．
故选：．
【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．
4．已知点P是直线x+y﹣b＝0上的动点，由点P向圆O：x2+y2＝1引切线，切点分别为M，N，且∠MPN＝90°，若满足以上条件的点P有且只有一个，则b＝（ ）
A．2B．±2C．2D．±2
【分析】根据对称性得出P点位置，从而得出P点坐标，代入直线方程即可得出b的值．
【解答】解：过原点O作x+y﹣b＝0的垂线y＝x，垂足为A，
由对称性可知当P在A处时，∠MPN＝90°，
∵OA平分∠MPN，
∴∠OAM＝∠OAN＝45°，
∴过A的水平线与竖直线为圆的两条切线，
故A（1，1）或A（﹣1，﹣1），
代入x+y﹣b＝0可得b＝2或﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，圆的切线的性质．
5．已知点A（﹣2，0），B（2，0），如果直线3x﹣4y+m＝0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，那么实数m等于（ ）
A．±4B．±5C．±8D．±10
【分析】直线3x﹣4y+m＝0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，则此直线与圆：x2+y2＝4相切．
【解答】解：直线3x﹣4y+m＝0上有且只有一个点P使得PA⊥PB，则此直线与圆：x2+y2＝4相切．
∴|0+0+m|32+(−4)2=2，解得m＝±10．
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力．
二．填空题（共4小题）
6．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是 x+y﹣3＝0 ．
【分析】研究知点M（1，2）在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程．
【解答】解：验证知点 M（1，2）在圆内，
当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，
由圆的方程，圆心C（3，4）
∵kCM=4−23−1=1，
∴kl＝﹣1
∴l：y﹣2＝﹣（x﹣1），整理得x+y﹣3＝0
故答案为：x+y﹣3＝0．
【点评】本题考点是直线与圆的位置关系，考查到了线线垂直时斜率之积为﹣1，以及用点斜式写出直线的方程．
7．以点（﹣2，3）为圆心且与y轴相切的圆的方程是 （x+2）2+（y﹣3）2＝4 ．
【分析】由题意得：圆的半径为已知点横坐标的绝对值，求出半径，由圆心与半径写出圆的标准方程即可．
【解答】解：由题意得：圆的半径r＝|﹣2|＝2，
则圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝4．
故答案为：（x+2）2+（y﹣3）2＝4
【点评】此题考查了圆的标准方程，求出圆的半径是解本题的关键．
8．已知圆C经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，且圆心在x轴上，则圆C的方程为 （x﹣1）2+y2＝20 ．
【分析】根据题意，设圆心为C（a，0），由两点的距离公式建立关于a的方程，解出a＝1，从而算出圆心坐标和半径R，即可得到所求圆的标准方程．
【解答】解：设圆心为C（a，0）
由两点的距离公式，得|CA|=(5−a)2+4，|CB|=(−1−a)2+16
∵两点A（5，2），B（﹣1，4）在圆上
∴|CA|＝|CB|，得(5−a)2+4=(−1−a)2+16
解之得a＝1，可得圆心C（1，0），半径R＝25
因此可得所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝20
故答案为：（x﹣1）2+y2＝20．
【点评】本题给出圆心在定点且经过两点的圆的方程，着重考查了两点的距离公式和圆的标准方程的知识．
9．已知直线，圆过坐标原点．
（1）若圆以为圆心，且圆与轴、轴的异于原点0的交点分别为、，求的面积；
（2）若圆心在直线上，直线与圆交于、两点，且，求实数的取值范围．
【分析】（1）由两点间的距离公式求出圆的半径，可得圆的方程，分别求出与的坐标，代入三角形面积公式求解；
（2）由已知可得直线是弦的垂直平分线，求得的方程为．设，由直线与圆相交，得圆心到直线的距离小于半径，由此列式求得的范围，再由圆心在直线上，即，可得．然后利用分离常数法求得的范围得答案．
【解答】解：（1）圆的半径为．
圆的方程为．
令，得，令，得．
从而；
（2），由圆的对称性得：直线是弦的垂直平分线．
即的方程为，设，
直线与圆相交，圆心到直线的距离小于半径，
即，解得．
又圆心在直线上，即，．
令，
函数在上是增函数，则．
又．
，即．
实数的取值范围为．
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用分离常数法求函数的值域，是中档题．