专题22 圆锥曲线的弦长面积及其范围问题-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

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弦长问题
设圆锥曲线C∶fx , y=0与直线l:y=kx+b相交于Ax1 , y1，Bx2 , y2两点，
则弦长AB为：AB=1+k2x1−x2=1+k2x1+x2−4x1x2=1+k2Δxa 或AB=1+1k2y1−y2=1+1k2y1+y2−4y1y2=1+1k2Δya
(二)面积问题
1.三角形面积问题
直线AB方程：y=kx+m d=PH=kx0−y0+m1+k2
SΔABP=12AB⋅d=121+k2Δxa⋅kx0−y0+m1+k2
2.焦点三角形的面积
直线AB过焦点F2,ΔABF1的面积为
SΔABF1=12F1F2⋅y1−y2=cy1−y2=cΔya
圆锥曲线经常用到的均值不等式形式：
1）S=2tt2+64=2t+64t（注意分t=0,t>0,t<0三种情况讨论）
2）AB2=3+12k29t4+6k2+1=3+129k2+1k2+6≤3+122×3+6
当且仅当9k2=1k2时，等号成立
3）PQ2=34+25⋅25y029x02+9⋅9x0225y02≥34+225⋅25y029x02×9⋅9x0225y02=64
当且仅当25⋅25y029x02=9⋅9x0225y02时等号成立.
4）S=1212−32m2⋅m3=1212m2(−m2+8)≤1212×m2−m2+82=2
当且仅当m2=−m2+8时，等号成立
5）S=221+k22k2−m12+11+2k2⋅2m11+k2=42(2k2−m12+1)m121+2k2≤422k2−m12+1+m1221+2k2=22
当且仅当2k2+1=2m12时等号成立.
典例精讲
1．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，过点的直线1与椭圆相交于，两点，若点是线段的中点，则直线1的斜率为
A．2或B．2或8C．或D．或8
2．已知直线l不过坐标原点O，且与椭圆C：x24+y23=1相交于不同的两点A，B，△OAB的面积为3，则|OA|2+|OB|2的值是（ ）
A．4B．7C．3D．不能确定
3．已知F1、F2分别为椭圆x22+y2＝1的左右两个焦点，过F1作倾斜角为π4的弦AB，则△F2AB的面积为（ ）
A．233B．43C．433D．423−1
4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax（a＞0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则a的值为 ．
5. 已知过双曲线的左焦点的直线与双曲线左支交于点，，过原点与弦中点的直线交直线于点，若为等腰直角三角形，则直线的方程可以为
A．B．
C．D．
考点二 圆锥曲线的范围问题
求范围常用方法
圆锥曲线中的确定参变量（参数）的取值范围是高考命题的热点，也是我们掌握的一个难点。要想求出圆锥曲线中的参数的取值范围，就必须寻找确定参数的取值范围的不等量关系，这可以说是解决这类问题的难点和关键所在。
有以下几种形式：
1.利用判别式，建立起含参数的不等式；圆锥曲线中的含参数问题往往都转化为直线和圆锥曲线的相交问题－－有两个交点，因此，这类问题可首先考虑。
2.利用题设中的不等关系，建立起含参的不等式；有些题目中含有已知量的不等关系，可以借助它去确定题目中所要求的参数的取值范围。
3.根据圆锥曲线的变化范围，借助点的位置，建立含参数的不等式；根据曲线的范围，借助点的位置―――比如在椭圆上，则等建立含参数的不等式。
4.借助图形直观挖掘不等关系，建立含参数的不等式。常用到的有三角形中的边的关系，多与圆锥曲线的定义相结合。
(二)双曲线经典结论
1.双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为，与y轴平行的直线交双曲线于P1,P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
2.过双曲线（a＞0,b＞0）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
3.若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点, F1, F2是焦点, , ，则（或）.
4.P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点, F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且P和在y轴同侧时，等号成立.
5.双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.
6.已知双曲线（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.
1）;
2）OP2+OQ2的最小值为;
3）的最小值是.
7.过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.
8.已知双曲线（a＞0,b＞0）, A,B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.
9.设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点, F1,F2为其焦点记，则(1).(2) SΔPF1F2=b2ctθ2.
典例精讲
1．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则|PF||PA|的最小值是（ ）
A．12B．22C．32D．233
2．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A（72，4），则|PA|+|PM|的最小值是（ ）
A．72B．4C．92D．5
3．已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）与双曲线x2m2−y2n2=1(m＞0，n＞0)有共同的焦点F1，F2，且在第一象限内相交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2．若∠F1PF2=π3，则e1•e2的最小值是（ ）
A．12B．22C．32D．32
4．设抛物线M：x2＝4py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线N：x2a2−y2=1的两个交点分别是A，B，若存在抛物线M使得△FAB是等边三角形，则双曲线N的离心率的取值范围是（ ）
A．（72，+∞）B．（1，233）C．（233，+∞）D．（1，+∞）
5．已知双曲线x22−y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M（x0，y0）在双曲线上，且满足MF1→⋅MF2→≤0，则y0取值范围是（ ）
A．[−33，33]B．[−36，36]C．[−233，233]D．[−322，322]
综合练习
一．选择题（共6小题）
1．已知椭圆与双曲线，有相同的左右焦点，．若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是
A．B．
C．D．以上答案都不对
2．已知抛物线方程为，为其焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，且抛物线在，两点处的切线分别交轴于，两点，则的取值范围为
A．B．，C．D．，
3．已知点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，点A(2，y1)、B(12，y2)分别是抛物线上位于第四象限的点，若|AF|＝10，则△ABF的面积为（ ）
A．42B．30C．18D．14
4．若曲线|y|＝x+2与C：x24λ+y24=1恰有两个不同交点，则实数λ取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]
C．（1，+∞）D．[﹣1，0）∪（1，+∞）
5．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝8，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1+1e2的取值范围是（ ）
A．(0，12)B．(12，43)C．(43，2)D．(12，+∞)
6．已知点F1，F2分别是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且∠F1PF2=2π3，若e2∈(2，7)，则e1的取值范围是（ ）
A．(55，23)B．(23，255)C．(55，73)D．(73，255)