数学必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示优秀随堂练习题

第六章平面向量及其应用-6.3.1平面向量基本定理

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1.在中, 为边上任意一点, 为的中点, ,则的值为(   )

A.  B.  C.  D. 1

2.已知中,分别是的中点,则(   )

A.   B.   C.   D.

3.在下列向量组中,可以把向量表示出来的是(   )。

A.  B.

C.  D.

4.如图6-1,在三角形中,是边上的中线,是边的中点,若,则等于(   )。

A. B. C. D.

5.如图6-3-6所示,在四边形中,为的中点,且,则的值为(   )。

A. B. C.1 D.2

6.在中,点在上,平分。若,则等于(   )。

A. B. C. D.

7.若,则,那么下面关于向量的判断正确的是(   )。

A.与一定共线  B.与一定不共线 

C.与垂直  D.与中至少有一个为

8.如果是平面内两个不共线的向量,那么在下列各命题中不正确的有(   )。

①可以表示平面内的所有向量；

②对于平面内的任一向量,使的实数有无数多对；

③若向量与共线,则有且只有一个实数,使；

④若实数,使,则。

A.①② B.②③ C.③④ D. ②

9.下面三种说法中,正确的是(   )。

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；

②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；

③零向量不可作为基底中的向量。

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③

10.在中,是直线上一点,且若,则(   )

A. B.  C. D.

二、填空题

11.如图所示,在正方形中,点为的中点,点为上靠近点的四等分点,点为上靠近点的三等分点,则向量用与表示为_____________。

12.已知是两个不共线的向量,若它们起点相同,且三个向量的终点在一条直线上,则实数____________。

13.分别为的边的中点,且,给出下列结论：

①；

②；

③；

④。

其中所有正确结论的序号为____________。

14.设为的重心,为坐标原点,,试用表示___________。

15.在平行四边形中,,则__________。(用表示)

三、解答题

16.如图6-3-8所示,平行四边形中,为的中点,是的中点,设,。

(1)试以为基底表示；

(2)试以为基底表示。

四、证明题

17.如图，在中，E是线段的中点，，与交于点F，求证:F是的中点.

参考答案

1.答案：A

解析：因为为边上任意一点,故将中的化为得变形得,则,可得

详解:因为为的中点, ,

所以,即

因为为边上任意一点,

所以,

所以

故选A

2.答案：A

解析：依题意，故.

3.答案：B

解析：A选项中,且与不共线,C,D选项中两向量均共线,且C,D选项中的向量均不与共线。故选B。

4.答案：D

解析：在三角形中,是边上的中线,

,

是边的中点,,

.

所以D选项是正确的.

5.答案：C

解析：由题意得。因为,所以。因为与不共线,所以由平面向量基本定理,得所以。故选C。

6.答案：B

解析：因为平分,所以。所以,所以。

7.答案：B

解析：由平面向量基本定理可知,当不共线时,。

8.答案：B

解析：由平面向量基本定理可知,①④是正确的。对于②,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的。对于③,当两向量的系数均为零,即时,这样的有无数个。故选B。

9.答案：B

解析：只要平面内一对向量不共线,就可以作为该平面向量的一组基底,故①不正确,②正确；因为零向量与任意一个向量平行,所以③正确,故选B。

10.答案：D

解析：

.

11.答案：

解析：设正方形的边长为12,以为坐标原点,以的方向分别为轴、轴的正方向,建立平面直角坐标系,则,,设,则,解得,即。

12.答案：

解析：如图,因为三个向量的终点在一条直线上,所以存在实数使,即。又因为不共线,所以且,解得。

13.答案：①②③

解析：如图,, ①正确；,②正确；,,③正确；④,④错误。

14.答案：

解析：。

15.答案：

解析：如图,。

16.答案：(1)。

(2)因为,①

又由,

得。②

所以由①②消去,得。

解析：

17.答案：解法一:几何法：作的中点P，所以.由知，，所以，所以.证毕.

解法二:向量法.设，，所以.

又因为，

所以，解得，所以.即F为中点.

解析：