高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直精品练习题

第八章 立体几何初步 8.6空间直线、平面的垂直

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1.如图,将矩形沿对角线把折起来,使移到点,且在平面上的射影恰好在上,则与所成角为(   )

A.  B.  C.  D.

2.正方体中, 与平面所成角的余弦值为(   )

A.  B.  C.  D.

3.直三棱柱中,若,则异面直线与所成的角等于(   )

A.  B.  C.  D.

4.在正方体中, 为棱的中点,则(   )

A.  B.  C.  D.

5.在正三棱柱中,侧棱长为,底面三角形的边长为1,则与侧面所成角的大小为(   )

A.  B.  C.  D.

6.在正方体中,下列说法不正确的是(   )

A.

B. 与所成的角为

C.二面角的平面角为

D. 与平面所成的角为

7.如图,在三棱柱中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点是侧面的中心,则与平面所成角的大小是(   )

A.  B.  C. D.

8.设是两条不重合的直线, 是两个不重合的平面,下列说法正确的是(   )

A.若,则

B.若,则

C.若，则

D.若,则

9.如图所示,将等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角,此时那么这个二面角的大小是(   )

A.  B.  C.  D.

10.已知为不同的平面, 为不同的直线,则下列命题中正确的是(   )

A.若,则

B.若,则

C.若,则

D.若 ，则

二、填空题

11.如图,四棱锥的底面为正方形, 底面,则下列结论中:

①;

②平面 ;

③是与平面所成的角;

④与所成的角等于与所成的角;

⑤二面角的大小为 .

正确的序号是________.

12.如图,以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕,把和折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:

①;

②是等边三角形;

③三棱锥是正三棱锥;

④平面平面,

其中正确的是__________.

13.二面角的平面角为,点为空间内一定点,过点的直线与平面都成角,这样的直线有_______条.

14.如图(1)，在正方形中，分别是边的中点，是的中点，现沿及把这个正方形折成一个几何体,如图(2)，使三点重合于点，这样，下面结论成立的是________(填序号)．

①平面;②平面；③平面；④平面

三、解答题

15.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中,侧棱底面,且,点是的中点,连接.

（1）证明: 平面,试判断四面体是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;
（2）记阳马的体积为,四面体的体积为,求的值.

参考答案

1.答案：D

解析：因为在平面上的射影在上，所以平面.

又平面,所以.

又平面平面,所以平面.

又平面,所以.

故与所成角为.

2.答案：D

解析：如图,连接交于,连接，

由于，∴与平面所成的角就是与 平面所成的角.易知即为所求.

设正方体的棱长为1，则，

∴，

∴与平面所成角的余弦值为.

3.答案：C

解析：如图,可补成一个正方体，

∴, ∴与所成角的大小为.

又易知为正三角形，

∴，∴与 成 的角.

4.答案：C

解析：∵在平面上的投影为，而不与垂直，∴B，D错误.

∵在平面上的投影为，且，

∴，故 C 正确.

(证明：由条件易知，又， ∴平面.又平面，∴)

∵在平面上的投影为,而不与垂直, 故A错误.故选C.

5.答案：A

解析：在正三棱柱中，取的中点,连接，则易证侧面.

故是与侧面所成的角.

∵,

∴，即 .故选 A.

6.答案：D

解析：对于A项，如图,连接,则，∴，故 A 正确.

对于B项，∵，即与所成的角为, 如图,连接,则为等边三角形，∴与 所成的角为,故B正确.

 对于C项，∵平面平面，

∴.

∵，平面平面，

平面平面，

∴是二面角的平面角.

∵是等腰直角三角形，

∴，故 C 正确.

对于D项，∵平面，

平面，

∴是与平面所成的角.

∵，∴，故 D 错误.故选D.

7.答案：C

解析：取的中点，连接 (图略).依题意易得平面，故为与平面所成的角.设各棱长为1,则，∴.故选C.

8.答案：B

解析：对于A选项，两个平面平行，则一个平面内的直线， 和另一个平面内的直线可能异面，故A选项错误.对于B选项， 若两个平面平行，则一个平面内的直线和另一个平面平行，故B选项正确.对于C选项，两个平面垂直，则一个平面内的直线和另一个平面不一定垂直，故C选项错误.对于D选项，根据面面垂直的性质定理可知：若两个平面垂直，则在一个平面内，垂直于交线的直线和另一个平面垂直.但是D选项中直线不一定在这两个垂直的平面内，所以D选项错误.故选B.

9.答案：A

解析：设在等腰直角中，,则，∴.

∵等腰三角形斜边上的高，∴，

∴是二面角的平面角.

如图,连接.

∵, ∴,

∴,

∴,

∴二面角的大小是 .故选A.

10.答案：D

解析：A选项直线有可能在平面内，故不正确.B选项由于的位置不确定，不满足线面垂直的性质定理，故不正确.C选项位置关系不能确定，故不正确.D选项是面面平行的判定定理，故正确.

11.答案：①②③⑤

解析：∵底面, 底面，∴. ∵，∴平面, ∴，故①正确.

∵平面平面，∴平面，故②正确.

∵底面，是与平面所成的角，故③正确.

∵，∴(为锐角）是与所成的角， (为直角)是与所成的角，而, 故④错误.

∵底面，∴, ∴即为二面角的平面角.∵底面为正方形，∴.故⑤正确.

12.答案：①②③

解析：如图,设等腰直角三角形的腰为，则斜边为的中点，∴. 又平面平面，平面平面，，平面，∴平面.又平面,∴ ,故①正确.

②由①, 平面,平面 , ∴.

又 ,

∴由勾股定理得.

又.∴是等边三角形，故②正确.

③∵是等边三角形，,

∴三棱锥是正三棱锥，故③正确.

④如图, ∵为等腰直角三角形，取斜边 的中点,连接，则.又为等边三角形， 连接，则，∴为平面与平面的 二面角的平面角.

由平面可知为直角，不是直角，故平面与平面不垂直，故④错误.

综上所述，正确的结论是①②③.

13.答案：3

解析：首先给出下面两个结论：①两条平行线与同一个平面所成的角相等，②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上.

(1)如图①，过二面角内任一点作棱的垂面,交棱于点,与两半平面的交线为,则为二面角的平面角，.

设为的平分线，则,与平面所成的角都是,此时过且与平行的直线 符合要求，有一条，当以为轴心，在二面角的平 分面上转动时, 与两平面夹角变小，不再会出现情形.

(2)如图②，设为的补角的平分线，则,与平面所成的角都是,当以为轴心，在二面角的平分面上转动时, 与两平面夹角变小，对称地在图中两侧会出现的 情形，有2条.此时过且与平行的直线符合要求，有2条.

综上所述，这样的直线共有3条.

14.答案：①③④

解析：∵在折叠过程中，始终有，，，

即，，,

平面，平面，平面.

15.答案：（1）因为底面,
所以.
由底面为长方形,有,而 ,
所以平面.
又平面,所以.
又因为,点是的中点,所以.
而,所以平面.
由平面,平面,
可知四面体的四个面都是直角三角形,
即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为
.
（2）由已知, 是阳马的高,所以;
由1知是鳖臑的高, ,
所以,
在中,因为,点是的中点,所以,
于是.

解析：