高考数学一轮复习总教案：2.6　对数与对数函数

2.6　对数与对数函数

典例精析

题型一　对数的运算

【例1】计算下列各题：

(1)2(lg)2＋lglg 5＋；

(2).

【解析】[来源:www.shulihua.net]

(1)原式＝2×(lg 2)2＋lg 2lg 5＋

＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝1.

(2)原式＝＝＝1.

【点拨】运用对数的运算性质以及式子的恒等变形.

【变式训练1】已知log89＝a，log25＝b，用a，b表示lg 3为　　　　.

【解析】由⇒lg 3＝.

题型二　对数函数性质的应用

【例2】设函数f(x)＝loga(x－2) (a＞0，且a≠1).

(1)求函数f(x)经过的定点坐标；

(2)讨论函数f(x)的单调性；

(3)解不等式log3(x－2)＜1.

【解析】(1)当x＝3时，loga1＝0恒成立，所以函数f(x)所经过的定点坐标为(3,0).[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

(2)当a＞1时，函数f(x)在区间(2，＋∞)上为单调递增函数；当0＜a＜1时，函数f(x)在区间(2，＋∞)上为单调递减函数.

(3)不等式log3(x－2)＜1等价于不等式组

解得2＜x＜5，所以原不等式的解集为(2,5).

【变式训练2】已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为　　　　　.

【解析】要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则分段函数应该在各自定义域内分别单调递增.若f(x)＝(a－2)x－1在区间(－∞，1]上单调递增，则a－2＞0，即a＞2.若f(x)＝logax在区间(1，＋∞)上单调递增，则a＞1.另外要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a－2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故实数a的取值范围为2＜a≤3.[来源:www.shulihua.net]

题型三　对数函数综合应用

【例3】已知函数f(x)＝loga(3－ax).

(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.

【解析】(1)由题设知3－ax＞0对一切x∈[0,2]恒成立，a＞0，且a≠1.

因为a＞0，所以g(x)＝3－ax在[0,2]上为减函数，

从而g(2)＝3－2a＞0，所以a＜，

所以a的取值范围为(0,1)∪(1，).

(2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)＝1，

即loga(3－a)＝1，所以a＝，

此时f(x)＝(3－x).

当x＝2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在.

【点拨】这是一道探索性问题，注意函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知条件进行转化求解，如推出矛盾，则不存在，反之，存在性成立.[来源:www.shulihua.net]

【变式训练3】给出下列四个命题：

①函数f(x)＝ln x－2＋x在区间(1，e)上存在零点；

②若f′(x0)＝0，则函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值；[来源:www.shulihua.net]

③若m≥－1，则函数y＝(x2－2x－m)的值域为R；

④“a＝1”是“函数f(x)＝在定义域上是奇函数”的充分不必要条件.

则其中正确的序号是　　　　(把全部正确命题的序号都填上).

【解析】因为f(1)＝ln 1－2＋1＝－1＜0，f(e)＝ln e－2＋e＝e－1＞0，故函数f(x)在区间(1，e)上存在零点，命题①正确；对于函数f(x)＝x3来说，f′(x)＝3x2，显然有f′(0)＝0，但f(x)在定义域上为增函数，故x＝0不是函数的极值点，命题②错误；令t＝x2－2x－m，若m≥－1，则Δ＝(－2)2－4×1×(－m)＝4＋4m≥0，所以t＝x2－2x－m可以取遍所有的正数，所以函数[来源:www.shulihua.net]

y＝(x2－2x－m)的值域为R，命题③正确；由f(－x)＝－f(x)，可得＝－，解得a＝±1，即函数f(x)为奇函数的充要条件为a＝±1，故 “a＝1”是“函数f(x)＝为奇函数”的充分不必要条件，所以命题④正确.综上所述，正确的命题为①③④.

总结提高

1.熟练运用对数的运算公式是解决对数运算的基础和前提，运用对数的运算法则，要注意各字母的取值范围，同时，不要将积、商、幂、方根的对数与对数的积、商、幂、方根混淆起来.[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

2.研究对数问题时，要尽量化成同底，另外，研究对数问题时要注意对数的底数与真数的限制条件.

3.对数函数的重要性质是单调性，比较大小是单调性的重要运用，在比较时，通常利用函数的单调性或借助于中间量－1,0,1来比较，但要注意分类讨论.

4.利用对数函数的概念、图象、性质讨论一些函数的应用问题是常考题型，应注意数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法的灵活运用.