高考数学一轮复习总教案：2.10 函数的综合应用

2.10函数的综合应用

典例精析

题型一　抽象函数的计算或证明

【例1】已知函数 f (x)对于任何实数x，y都有 f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.

求证： f(x)是偶函数.

【证明】因为对于任何实数x、y都有  f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，

令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝2f(0)f(0)，所以2f(0)＝2f(0)f(0)，

因为f(0)≠0，所以f(0)＝1，

令x＝0，y＝x，则f(0＋x)＋f(0－x)＝2f(0)f(x)，

所以f(x)＋f(－x)＝2f(x)，所以f(－x)＝f(x)，

故f(x)是偶函数.

【点拨】对于判断抽象函数的奇偶性问题常常采用“赋值法”探索求解途径；判断或证明抽象函数的奇偶性单调性时，既要扣紧函数奇偶性单调性的定义，又要灵活多变，以创造条件满足定义的要求.

【变式训练1】已知函数f(x)对任意的x，y有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(x)的定义域为R，请判定f(x)的奇偶性.

【解析】取x＝y＝0，得f(0)＝0.

取y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.

题型二　函数与导数的综合应用[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

【例2】已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1.

(1)若函数f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为4，求实数a的值；

(2)若函数g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，求实数a的取值范围.

【解析】由题意得g(x)＝f′(x)＝3x2＋4x－a.

(1)f′(1)＝3＋4－a＝4，所以a＝3.

(2)方法一：①当g(－1)＝－a－1＝0，即a＝－1时，g(x)＝f′(x)的零点x＝－∈(－1,1)；

②当g(1)＝7－a＝0，即a＝7时，

f′(x)的零点x＝－∉(－1,1)，不合题意；[来源:www.shulihua.net数理化网]

③当g(1)g(－1)＜0时，－1＜a＜7；

当时，－≤a＜－1.综上所述，a∈[－，7).

方法二：g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x2＋4x＝a在区间(－1,1)上有解，也等价于直线y＝a与曲线y＝3x2＋4x，x∈(－1,1)有公共点，作图可得a∈[－，7).

方法三：等价于当x∈(－1,1)时，求值域：a＝3x2＋4x＝3(x＋)2－∈[－，7).

【变式训练2】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与坐标轴交于(－1,0)和(0，－1)，且其顶点在第四象限，则a＋b＋c的取值范围为　　　　.[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

【解析】由已知c＝－1，a－b＋c＝0，所以a＋b＋c＝2a－2.

又⇒0＜a＜1，所以a＋b＋c∈(－2,0).

题型三　化归求函数的最大值和最小值问题

【例3】某个体经营者把开始6个月试销售A、B两种商品的逐月投资与所获得的纯利润列成下表：

该经营者下月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A、B两种商品各多少才能获得最大的利润，请你帮助制定一个资金投入方案，使该经营者能获得最大利润，并根据你的方案求出经营者下个月可能获得的最大利润(结果保留两个有效数字).

【解析】以投资金额为横坐标，纯利润为纵坐标，可以在直角坐标系中画出图象.

据此可以考虑用下列函数描述上述两组数据之间的对应关系

y＝－a(x－4)2＋2 (a＞0)，①

y＝bx，②

把x＝1，y＝0.65代入①得a＝0.15，故前6个月所获得的纯利润关于投资A商品的金额函数关系式可近似的用y＝－0.15(x－4)2＋2表示，

再把x＝4，y＝1代入②可得b＝0.25，故前6个月所获得的纯利润关于投资B商品的金额函数关系式可近似的用y＝0.25x表示，

设下个月投资A商品x万元，则投资B商品(12－x)万元，则可获得纯利润为

y＝－0.15(x－4)2＋2＋0.25(12－x)＝－0.15x2＋0.95x＋2.6，

可得当x≈3.2时，y取最大值4.1万元.

故下个月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元可获得最大利润4.1万元.

【点拨】本题可以用两个函数近似地表示两种投资方案，是估计思想的体现.根据表中所列数据，把近似函数的解析式求出来，由此求得最大利润.解决此类问题的关键在于根据列出的散点图来选取适当的函数模型，然后求出待定系数便可求得函数解析式，再由解析式求最优解.

【变式训练3】求函数y＝的值域.

【解析】x＝0时，y＝0；

x＞0时，y＝，所以0＜y＜1；

x＜0时，y＝，所以－≤y＜0.

综上，－≤y＜1.

总结提高

1.函数把数学各个分支紧紧地连在一起，函数与方程、不等式、数列、几何、三角函数彼此渗透、互相融合，构成了函数应用的广泛性、解法的多样性、思维的创造性.解这类综合问题应注意如下几点：

  (1)在解题时有些函数的性质并不明显，深入挖掘这些隐含条件，将获得简捷解法；

  (2)应坚持“定义域优先”的原则，先弄清自变量的取值范围；

  (3)函数思想处处存在，要重视对函数思想的研究和应用，在解题时，要有意识地引进变量，建立相关函数关系，利用有关函数知识解决问题.

2.解函数应用题的基本步骤：

(1)阅读理解，审清题意.读题要逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所表达的实际背景，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；

(2)引进数学符号，建立数学模型.一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引进其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后再根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识和其他相关知识建立关系式，在此基础上，将实际问题转化为函数问题，实现问题数学化，即建立数学模型；

(3)利用数学方法将得到的常规函数问题予以解答，求出结果；[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

(4)将所得结果转译成具体问题的解答.