高考数学一轮复习总教案：6.3　等比数列

　6.3　等比数列

典例精析[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

题型一　等比数列的基本运算与判定

【例1】数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…).求证：

(1)数列{}是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.

【解析】(1)因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，

所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn).

整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，所以＝2·，

故{}是以2为公比的等比数列.

(2)由(1)知＝4·＝(n≥2)，

于是Sn＋1＝4(n＋1)·＝4an(n≥2).

又a2＝3S1＝3，故S2＝a1＋a2＝4.[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

因此对于任意正整数n≥1，都有Sn＋1＝4an.

【点拨】①运用等比数列的基本公式，将已知条件转化为关于等比数列的特征量a1、q的方程是求解等比数列问题的常用方法之一，同时应注意在使用等比数列前n项和公式时，应充分讨论公比q是否等于1；②应用定义判断数列是否是等比数列是最直接，最有依据的方法，也是通法，若判断一个数列是等比数列可用＝q(常数)恒成立，也可用a＝an·an＋2 恒成立，若判定一个数列不是等比数列则只需举出反例即可，也可以用反证法.

【变式训练1】等比数列{an}中，a1＝317，q＝－.记f(n)＝a1a2…an，则当f(n)最大时，n的值为(　　)

A.7     B.8     C.9     D.10

【解析】an＝317×(－)n－1，易知a9＝317×＞1，a10＜0,0＜a11＜1.又a1a2…a9＞0，故f(9)＝a1a2…a9的值最大，此时n＝9.故选C.

题型二　性质运用

【例2】在等比数列{an}中，a1＋a6＝33，a3a4＝32，an＞an＋1(n∈N*).

(1)求an；

(2)若Tn＝lg a1＋lg a2＋…＋lg an，求Tn.

 【解析】(1)由等比数列的性质可知a1a6＝a3a4＝32，

又a1＋a6＝33，a1＞a6，解得a1＝32，a6＝1，

所以＝，即q5＝，所以q＝，

所以an＝32·()n－1＝26－n .

(2)由等比数列的性质可知，{lg an}是等差数列，

因为lg an＝lg 26－n＝(6－n)lg 2，lg a1＝5lg 2，

所以Tn＝＝lg 2.[来源:www.shulihua.net]

【点拨】历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握.

【变式训练2】在等差数列{an}中，若a15＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a29－n(n＜29，n∈N*)成立，类比上述性质，相应地在等比数列{bn}中，若b19＝1，能得到什么等式？

 【解析】由题设可知，如果am＝0，在等差数列中有

a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a2m－1－n(n＜2m－1，n∈N*)成立，

我们知道，如果m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，

而对于等比数列{bn}，则有若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，

所以可以得出结论：

若bm＝1，则有b1b2…bn＝b1b2…b2m－1－n(n＜2m－1，n∈N*)成立.

在本题中则有b1b2…bn＝b1b2…b37－n(n＜37，n∈N*).

题型三　综合运用

【例3】设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝1－Sn，问是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，则求出a1的值；若不存在，说明理由.

【解析】(1)由题意可得2Sn＝an＋1－a1.

所以当n≥2时，有

两式相减得an＋1＝3an(n≥2).

又a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，

所以{an}是以首项为a1，公比为q＝3的等比数列.

所以an＝a1·3n－1.

(2)因为Sn＝＝－a1＋a1·3n，所以bn＝1－Sn＝1＋a1－a1·3n.

要使{bn}为等比数列，当且仅当1＋a1＝0，即a1＝－2，此时bn＝3n.[来源:数理化网]

所以{bn}是首项为3，公比为q＝3的等比数列.

所以{bn}能为等比数列，此时a1＝－2.

【变式训练3】已知命题：若{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m＜n，m、n∈N*)，则am＋n＝.现在已知数列{bn}(bn＞0，n∈N*)为等比数列，且bm＝a，bn＝b(m＜n，m，n∈N*)，类比上述结论得bm＋n＝　　　　　.

【解析】.

总结提高

1.方程思想，即等比数列{an}中五个量a1，n，q，an，Sn，一般可“知三求二”，通过求和与通项两公式列方程组求解.[来源:www.shulihua.net]

2.对于已知数列{an}递推公式an与Sn的混合关系式，利用公式an＝Sn－Sn－1(n≥2)，再引入辅助数列，转化为等比数列问题求解.

3.分类讨论思想：当a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1时，等比数列{an}为递增数列；当a1＞0,0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，{an}为递减数列；q＜0时，{an}为摆动数列；q＝1时，{an}为常数列.