高考数学一轮复习总教案：7.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

7.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

典例精析[来源:www.shulihua.net]

题型一　平面区域

【例1】已知函数f(x)的定义域为[－2，＋∞)，且f(4)＝f(－2)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，则平面区域所围成的面积是(　　)

A.2     B.4    C.5    D.8

【解析】选B.由f′(x)的图象可知，f(x)在[－2,0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数.

因为f(－2)＝f(4)＝1，所以当且仅当x∈(－2,4)时，有f(x)＜f(－2)＝f(4)＝1.[来源:www.shulihua.net]

作出可行域如图所示，其围成的图形面积为4.[来源:数理化网]

【点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

【变式训练1】若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax＋by≤1，则以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积是(                            )　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.     B.     C.1     D.

【解析】选C.当a＝b＝1时，满足x＋y≤1，且可知0≤a≤1，0≤b≤1，所以点P(a，b)所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以面积为1.本题关键是确定点所形成的区域形状.

题型二　利用线性规划求最值

(1)z＝x＋2y－4的最大值；

(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；

(3)z＝的取值范围.

【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).

(1)易知直线x＋2y－4＝z过点C时，z最大.

所以x＝7，y＝9时，z取最大值21.

(2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，

过点M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，

故z的最小值是()2＝.

(3)z＝2·表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1，－)连线斜率的2倍.

因为kQA＝，kQB＝，所以z的取值范围为[，].

【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得，充分理解目标函数赋予的几何意义是本例的关键.

【变式训练2】已知函数f(x)＝x3＋ax2－bx＋1(a，b∈R)在区间[－1,3]上是减函数，求

a＋b的最小值.

【解析】因为f′(x)＝x2＋2ax－b，f(x)在区间[－1,3]上是减函数.

所以f′(x)≤0在[－1,3]上恒成立.则

作出点(a，b)表示的平面区域.

令z＝a＋b，求出直线－2a－b＋1＝0与6a－b＋9＝0的交点A的坐标为(－1,3).

当直线z＝a＋b过点A(－1,3)时，z＝a＋b取最小值2.

题型三　线性规划的实际应用

【例3】某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72 m3，第二种有56 m3.假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需要用第一种木料0.18 m3，第二种木料0.08m3，可获利润6元，生产一个衣柜需要用第一种木料0.09 m3，第二种木料0.28 m3，可获利润10元.木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最大？最大利润是多少？

【解析】设圆桌生产的张数为x，衣柜生产的个数为y，所获利润为z，则z＝6x＋10y，

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当直线l：6x＋10y＝0平移到经过点M(350,100)时，z＝6x＋10y最大.

zmax＝6×350＋10×100＝3 100，

所以生产圆桌350张，衣柜100个可获得最大利润3 100元.

【点拨】解实际线性规划问题，首先设出变量，建立不等式模型表示出约束条件，一定要注意问题的实际意义(如本题中x≥0，y≥0)，然后画出可行域，利用图形求解.

【变式训练3】某实验室需购某种化工原料至少106千克，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费　　　元.

【解析】500.设需35千克的x袋，24千克的y袋，则目标函数z＝140x＋120y，约束条件为当x＝1时，y≥，即y＝3，这时zmin＝140＋120×3＝500.

总结提高

1.用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知，找出约束条件和目标函数是关键.

2.可行域是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，亦可是一侧开放的无限大的平面区域.

3.若可行域是一个多边形，那么一般在顶点处，使目标函数值取得最值，最优解一般是多边形的某个顶点.

4.实际问题的最优解要求是整数解时，这时要对最优解(非整数解)进行适当调整，其方法是在边界直线的附近寻求与目标函数直线距离最近的整点，而不要在最优解的附近寻找.[来源:数理化网]