高考数学一轮复习总教案：7.4　基本不等式及应用

　7.4　基本不等式及应用

典例精析

题型一　利用基本不等式比较大小

【例1】(1)设x，y∈R＋，且xy－(x＋y)＝1，则(　　)[来源:数理化网]

A.x＋y≥2(＋1)         B.x＋y≤2(＋1)

C.x＋y≤2(＋1)2         D.x＋y≥(＋1)2

(2)已知a，b∈R＋，则，，，的大小顺序是　　　　　　　　　.

【解析】(1)选A.由已知得xy＝1＋(x＋y)，又xy≤()2，所以()2≥1＋(x＋y).

解得x＋y≥2(＋1)或x＋y≤2(1－).

因为x＋y＞0，所以x＋y≥2(＋1).[来源:www.shulihua.net]

(2)由≥有a＋b≥2，即a＋b≥，所以≥.

又＝≤，所以≥，

所以≥≥≥.

【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用.

【变式训练1】设a＞b＞c，不等式＋＞恒成立，则λ的取值范围是　　　　.

【解析】(－∞，4).因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.

而(a－c)(＋)＝[(a－b)＋(b－c)](＋)≥4，所以λ＜4.

题型二　利用基本不等式求最值

【例2】(1)已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值为　　　　；

(2)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数f′(x)，f′(0)＞0，对任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为(　　)

A.3      B.      C.2      D.

【解析】(1)因为x＜，所以5－4x＞0.

所以y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.

所以x＝1时，ymax＝1.

(2)选C.因为f(x)≥0，所以

所以c≥.又f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＞0，

＝＝1＋≥1＋≥1＋＝2，

当且仅当c＝且4a2＝b2时等号成立.

【点拨】应用基本不等式求最值时，常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正、二定、三相等”这三个条件，避免出现错误.

【变式训练2】已知x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，求的取值范围.

【解析】由等差数列、等比数列的性质得a＋b＝x＋y，

cd＝xy，所以＝＝2＋＋，[来源:www.shulihua.net]

当＞0时，≥4；当＜0时，≤0，

故的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).

题型三　应用基本不等式解实际应用问题

【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.

(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)；

(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由.

【解析】(1)设该厂x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1).

设平均每天所支付的总费用为y1，则

y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝＋9x＋10 809≥2＋10 809＝10 989，

当且仅当9x＝，即x＝10时，取等号.[来源:www.shulihua.net]

即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.

(2)若厂家利用此优惠条件，则至少应35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则

y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.9＝＋9x＋9 729(x≥35).

因为y2′＝9－，当x≥35时，y2′＞0.

所以y2＝＋9x＋9 729在[35，＋∞)上是增函数.

所以x＝35时，y2取最小值.

由＜10 989知，该厂可以利用此优惠条件.

【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构，再求最值.当等号不能成立时，常利用函数的单调性来处理.

【变式训练3】已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值.

【解析】因为a＞0，b＞0,2a＋b＝1，

所以4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab，

且1＝2a＋b≥2，即≤，ab≤.

所以S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤，

当且仅当a＝，b＝时，等号成立.

总结提高[来源:www.shulihua.net]

1.基本不等式的几种常见变形公式：

ab≤()2≤(a，b∈R)；

≤≤≤(a＞0，b＞0).

注意不等式成立的条件及等号成立的条件.

2.合理拆分或配凑因子是常用的技巧，配、凑的目的在于使几个数的积为定值或和为定值，且等号能够成立.

3.多次使用基本不等式求最值时，要特别注意等号能否同时成立.