高考数学一轮复习总教案：7.1　不等式的性质

第七章　不等式

高考导航

知识网络

7.1　不等式的性质

典例精析

题型一　比较大小

【例1】已知a＞0，a≠1，P＝loga(a3－a＋1)，Q＝loga(a2－a＋1)，试比较P与Q的大小.

【解析】因为a3－a＋1－(a2－a＋1)＝a2(a－1)，

当a＞1时，a3－a＋1＞a2－a＋1，P＞Q；

当0＜a＜1时，a3－a＋1＜a2－a＋1，P＞Q；

综上所述，a＞0，a≠1时，P＞Q.

【点拨】作差比较法是比较两个实数大小的重要方法之一，其解题步骤为：①作差；

②变形；③判断符号；④得出结论.[来源:www.shulihua.net]

【变式训练1】已知m＝a＋(a＞2)，n＝x－2(x≥)，则m，n之间的大小关系为(　　)

A.m＜n    B.m＞n    C.m≥n     D.m≤n

【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.

m＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，而n＝x－2≤()－2＝4.

题型二　确定取值范围

【例2】已知－≤α＜β≤，求，的取值范围.

【解析】因为－≤α＜β≤，所以－≤＜，－＜≤，

两式相加得－＜＜.

又－≤＜，所以－≤＜，

又因为α＜β，所以＜0，所以－≤＜0，

综上－＜＜，－≤＜0为所求范围.

【点拨】求含字母的数(式)的取值范围，一定要注意题设的条件，否则易出错，同时在变换过程中，要注意准确利用不等式的性质.

【变式训练2】已知函数f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.

【解析】由已知－4≤f(1)＝a－c≤－1，－1≤f(2)＝4a－c≤5.

令f(3)＝9a－c＝γ(a－c)＋μ(4a－c)，

所以

故f(3)＝－(a－c)＋(4a－c)∈[－1,20].

题型三　开放性问题[来源:www.shulihua.net]

【例3】已知三个不等式：①ab＞0；② ＞；③bc＞ad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？

【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:＞⇔＞0.[来源:www.shulihua.net

(1)由ab＞0，bc＞ad⇒＞0，即①③⇒②；

(2)由ab＞0，＞0⇒bc－ad＞0⇒bc＞ad，即①②⇒③；

(3)由bc－ad＞0，＞0⇒ab＞0，即②③⇒①.

故可组成3个正确命题.

【点拨】这是一类开放性问题，要求熟练掌握不等式的相关性质，并能对题目条件进行恰当的等价变形.

【变式训练3】a、b、c、d均为实数，使不等式＞＞0和ad＜bc都成立的一组值(a，b，c，d)是_______________(只要写出符合条件的一组即可).

【解析】写出一个等比式子，如＝＞0.此时内项的积和外项的积相等，减小的分子，把上式变成不等式＞＞0，此时不符合ad＜bc的条件，进行变换可得＞＞0，此时2×

(－2)＜1×(－3).故(2,1，－3，－2)是符合要求的一组值.

总结提高

1.不等式中有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质.一般地，要判断一个命题是真命题，必须严格证明.要判断一个命题是假命题，只要举出反例，或者由题设条件推出与结论相反的结果.在不等式证明和推理过程中，关键是要弄清每个性质的条件与结论及其逻辑关系，要注意条件的弱化与加强，不可想当然.如在应用ab＞0，a＞b⇒＜这一性质时，不可弱化为a＞b⇒＜，也不可强化为a＞b＞0⇒＜.

2.题设条件含有字母，而结论唯一确定的选择题，采用赋值法解答可事半功倍.

3.比较大小的常用方法是作差比较法和作商比较法，变形是关键.

天星教育网  来源：天星教育 

Tesoon 

 www.shulihua.net

来源：天~星~教~育~网