高考数学一轮复习总教案：3.1　导数的概念与运算

第三章　导数及其应用

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3.1　导数的概念与运算

典例精析

题型一　导数的概念

【例1】 已知函数f(x)＝2ln 3x＋8x，

求的值.

【解析】由导数的定义知：

＝－2＝－2f′(1)＝－20.

【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx→0时， 平均变化率的极限.

【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可以近似地表示为f(t)＝，则在时刻t＝10 min的降雨强度为(　　)

A. mm/min         B. mm/min

C. mm/min         D.1 mm/min

【解析】选A.

题型二　求导函数

【例2】 求下列函数的导数.

(1)y＝ln(x＋)；

(2)y＝(x2－2x＋3)e2x；

(3)y＝.

【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.

(1)y′＝(x＋)′

＝(1＋)＝.

(2)y′＝(2x－2)e2x＋2(x2－2x＋3)e2x

＝2(x2－x＋2)e2x.

(3)y′＝(

＝(

＝x (1－x)

 【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝　　　　　   　；＝　　  　　　　(用数字作答).

【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2，

由导数定义＝f′(1).

当0≤x≤2时，f(x)＝4－2x，f′(x)＝－2，f′(1)＝－2.

题型三　利用导数求切线的斜率

【例3】 已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x， 直线l：y＝kx，且l与C切于点P(x0，y0) (x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标.

【解析】由l过原点，知k＝ (x0≠0)，又点P(x0，y0) 在曲线C上，y0＝x－3x＋2x0，

所以 ＝x－3x0＋2.

而y′＝3x2－6x＋2，k＝3x－6x0＋2.

又 k＝，

所以3x－6x0＋2＝x－3x0＋2，其中x0≠0，

解得x0＝.

所以y0＝－，所以k＝＝－，

所以直线l的方程为y＝－x，切点坐标为(，－).

【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数来列方程，即可求得切点的坐标.

 【变式训练3】若函数y＝x3－3x＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程.

【解析】设切点为P(x0，y0)，则由

y′＝3x2－3得切线的斜率为k＝3x－3.

所以函数y＝x3－3x＋4在P(x0，y0)处的切线方程为

y－y0＝(3x－3)(x－x0).

又切线经过点(－2,2)，得

2－y0＝(3x－3)(－2－x0)，①

而切点在曲线上，得y0＝x－3x0＋4， ②

由①②解得x0＝1或x0＝－2.

则切线方程为y＝2 或 9x－y＋20＝0.

总结提高

1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数通常有以下两种求法：

(1) 导数的定义，即求＝的值；

(2)先求导函数f′(x)，再将x＝x0的值代入，即得f′(x0)的值.

2.求y＝f(x)的导函数的几种方法：

(1)利用常见函数的导数公式；

(2)利用四则运算的导数公式；

(3)利用复合函数的求导方法.

3.导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，就是函数y＝f(x)的曲线在点P(x0，y0)处的切线的斜率.

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